Temel Ayırma Teoremi

S, $ \ mathbb {R} ^ n $ ve $ y \ notin S $ içinde ayarlanmış, boş olmayan kapalı, dışbükey bir grup olsun. Sonra, $ p $ 'daki her $ x \ için $ p ^ T y> \ beta $ ve $ p ^ T x <\ beta $ olacak şekilde sıfır olmayan bir $ p $ vektörü ve $ \ beta $ skaler vardır.

Kanıt

S boş kapalı dışbükey küme olmadığından ve $ y \ notin S $ olduğundan, en yakın nokta teoremine göre, S $ 'da benzersiz bir küçültme noktası $ \ hat {x} \ vardır, öyle ki

$ \ left (x- \ hat {x} \ right) ^ T \ left (y- \ hat {x} \ right) \ leq 0 \ forall x \ S $ içinde

$ P = \ left (y- \ hat {x} \ right) \ neq 0 $ ve $ \ beta = \ hat {x} ^ T \ left (y- \ hat {x} \ right) = p ^ T olsun \ hat {x} $.

Sonra $ \ left (x- \ hat {x} \ right) ^ T \ left (y- \ hat {x} \ right) \ leq 0 $

$ \ Rightarrow \ left (y- \ hat {x} \ right) ^ T \ left (x- \ hat {x} \ right) \ leq 0 $

$ \ Rightarrow \ left (y- \ hat {x} \ right) ^ Tx \ leq \ left (y- \ hat {x} \ right) ^ T \ hat {x} = \ hat {x} ^ T \ left (y- \ hat {x} \ sağ) $ i, e., $ p ^ Tx \ leq \ beta $

Ayrıca, $ p ^ Ty- \ beta = \ left (y- \ hat {x} \ right) ^ Ty- \ hat {x} ^ T \ left (y- \ hat {x} \ right) $

$ = \ left (y- \ hat {x} \ sağ) ^ T \ left (yx \ sağ) = \ sol \ | y- \ hat {x} \ sağ \ | ^ {2}> 0 $

$ \ Rightarrow p ^ Ty> \ beta $

Bu teorem, hiper düzlemlerin ayrılmasıyla sonuçlanır. Yukarıdaki teoremi temel alan hiper düzlemler aşağıdaki gibi tanımlanabilir -

$ S_1 $ ve $ S_2 $, $ \ mathbb {R} $ ve $ H = \ left \ {X: A ^ TX = b \ right \} $ 'ın boş olmayan alt kümeleri olsun, bir hiper düzlem olsun.

• S_1 $ içindeki $ A ^ TX \ leq b \ forall X \ ve S_2 $ içindeki $ A_TX \ geq b \ forall X \ ise, H hiper düzleminin $ S_1 $ ve $ S_2 $ 'ı ayırdığı söylenir.

• S_1 $ içindeki $ A ^ TX <b \ forall X \ ve S_2 $ içindeki $ A_TX> b \ forall X \ ise, H hiper düzleminin $ S_1 $ ve $ S_2 $ 'ı kesinlikle ayırdığı söylenir.

• S_1 $ içinde $ A ^ TX \ leq b \ forall X \ ve S_2 $ içinde $ A_TX \ geq b + \ varepsilon \ forall X \ ise, $ \ varepsilon $ pozitif bir skalerdir.