Pseudoconvex İşlevi

$ F: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ türevlenebilir bir fonksiyon ve S $ \ mathbb {R} ^ n $ içinde boş olmayan bir dışbükey küme olsun, o zaman f'nin her $ x_1 için sözde konveks olduğu söylenir, $ \ bigtriangledown f \ left (x_1 \ right) ^ T \ left (x_2-x_1 \ right) \ geq 0 $ ile S $ içinde x_2 \, $ f \ left (x_2 \ right) \ geq f \ left ( x_1 \ right) $ veya eşdeğer olarak $ f \ left (x_1 \ right)> f \ left (x_2 \ right) $ sonra $ \ bigtriangledown f \ left (x_1 \ right) ^ T \ left (x_2-x_1 \ sağ ) <0 $

Sözde içbükey işlevi

$ F: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ türevlenebilir bir fonksiyon ve S $ \ mathbb {R} ^ n $ içinde boş olmayan bir dışbükey küme olsun, o zaman f'nin her $ x_1 için sözde konveks olduğu söylenir, $ \ bigtriangledown f \ left (x_1 \ right) ^ T \ left (x_2-x_1 \ right) \ geq 0 $ ile S $ içinde x_2 \, $ f \ left (x_2 \ right) \ leq f \ left ( x_1 \ right) $ veya eşdeğer olarak $ f \ left (x_1 \ right)> f \ left (x_2 \ right) $ sonra $ \ bigtriangledown f \ left (x_1 \ right) ^ T \ left (x_2-x_1 \ sağ )> 0 $

Uyarılar

• Bir işlev hem psödoconvex hem de psödoconcave ise, buna sözde-doğrusal denir.

• Türevlenebilir bir dışbükey fonksiyon da psödokonvekstir.

• Bir sözde konveks işlevi dışbükey olmayabilir. Örneğin,

  $ f \ left (x \ right) = x + x ^ 3 $ dışbükey değildir. $ X_1 \ leq x_2, x_ {1} ^ {3} \ leq x_ {2} ^ {3} $ ise

  Böylece, $ \ bigtriangledown f \ left (x_1 \ right) ^ T \ left (x_2-x_1 \ right) = \ left (1 + 3x_ {1} ^ {2} \ right) \ left (x_2-x_1 \ sağ) \ geq 0 $

  Ve $ f \ left (x_2 \ right) -f \ left (x_1 \ right) = \ left (x_2-x_1 \ sağ) + \ left (x_ {2} ^ {3} -x_ {1} ^ {3 } \ sağ) \ geq 0 $

  $ \ Rightarrow f \ left (x_2 \ sağ) \ geq f \ left (x_1 \ sağ) $

  Bu nedenle sözde konvekstir.

  Psödokonveks işlevi kesinlikle yarı konvekstir. Böylece, psödokonveksin her yerel minimum değeri aynı zamanda küresel minimumdur.

Kesinlikle sözde konveks işlevi

$ F: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ türevlenebilir bir fonksiyon ve S $ \ mathbb {R} ^ n $ içinde boş olmayan bir dışbükey küme olsun, o zaman f'nin her $ x_1 için sözde konveks olduğu söylenir, $ \ bigtriangledown f \ left (x_1 \ right) ^ T \ left (x_2-x_1 \ right) \ geq 0 $ ile S $ içinde x_2 \, $ f \ left (x_2 \ right)> f \ left (x_1 \ right) $ veya eşdeğer olarak $ f \ left (x_1 \ right) \ geq f \ left (x_2 \ right) $ sonra $ \ bigtriangledown f \ left (x_1 \ right) ^ T \ left (x_2-x_1 \ sağ ) <0 $

Teoremi

F pseudoconvex bir fonksiyon olsun ve S $ 'daki bazı $ \ hat {x} \ için $ \ bigtriangledown f \ left (\ hat {x} \ right) = 0 $ varsayalım, o zaman $ \ hat {x} $ global optimal f'nin S'ye göre çözümü

Kanıt

$ \ Hat {x} $ f'nin kritik noktası olsun, yani $ \ bigtriangledown f \ left (\ hat {x} \ right) = 0 $

F pseudoconvex işlevi olduğundan, S içindeki $ x \ için $

$$ \ bigtriangledown f \ left (\ hat {x} \ right) \ left (x- \ hat {x} \ right) = 0 \ Rightarrow f \ left (\ hat {x} \ right) \ leq f \ left (x \ sağ), \ forall x \ S $$

Dolayısıyla, $ \ hat {x} $ küresel olarak en uygun çözümdür.

Açıklama

F tam anlamıyla sözde konveks işleviyse, $ \ hat {x} $ benzersiz bir küresel en iyi çözümdür.

Teoremi

Eğer f, S'ye göre türevlenebilir sözde-konveks fonksiyonuysa, f hem tam olarak yarı-konveks hem de yarı-konveks fonksiyondur.

Uyarılar

• Açık bir $ \ mathbb {R} ^ n $ kümesinde tanımlanan iki sözde konveks fonksiyonun toplamı sözde konveks olmayabilir.

• $ F: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ bir yarı konveks işlevi ve S $ \ mathbb {R} ^ n $ 'ın boş olmayan bir dışbükey alt kümesi olsun, bu durumda f sözde konveks olabilir, ancak ve ancak her kritik nokta bir global ise minimum f bölü S

• S, $ \ mathbb {R} ^ n $ 'ın boş olmayan bir dışbükey alt kümesi ve $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ olsun, $ \ bigtriangledown f \ left (x \ right) \ neq S $ içindeki her $ x \ için 0 $, ancak ve ancak bu bir yarı-konveks işlevi ise f sözde konveks olur.