Quasiconvex ve Quasiconcave fonksiyonları

$ F: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ burada $ S \ subküme \ mathbb {R} ^ n $ boş olmayan bir dışbükey kümedir. S $ içindeki her $ x_1, x_2 \ için $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq max \ left \ varsa, f fonksiyonunun yarı konveks olduğu söylenir. {f \ left (x_1 \ sağ), f \ sol (x_2 \ sağ) \ sağ \}, \ lambda \ in \ left (0, 1 \ sağ) $

Örneğin, $ f \ left (x \ right) = x ^ {3} $

$ F: S \ rightarrow R $ olsun, burada $ S \ subset \ mathbb {R} ^ n $ boş olmayan bir dışbükey kümedir. S $ içindeki her $ x_1, x_2 \ için $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ geq min \ left \ varsa, f fonksiyonunun yarı konveks olduğu söylenir. {f \ left (x_1 \ sağ), f \ sol (x_2 \ sağ) \ sağ \}, \ lambda \ in \ left (0, 1 \ sağ) $

Uyarılar

• Her dışbükey işlev yarı dışbükeydir, ancak tersi doğru değildir.
• Hem yarı-konveks hem de yarı-içbükey olan bir işleve yarı-tonton denir.

Teoremi

$ F: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ ve S $ \ mathbb {R} ^ n $ içinde boş olmayan bir dışbükey kümedir. F işlevi yarı-konvekstir ancak ve ancak $ S _ {\ alpha} = \ left (x \ in S: f \ left (x \ right) \ leq \ alpha \ right \} $ her gerçek sayı için dışbükeyse \ alpha $

Kanıt

F, S üzerinde yarı konveks olsun.

$ X_1, x_2 \ in S _ {\ alpha} $, dolayısıyla $ x_1, x_2 \ in S $ ve $ max \ left \ {f \ left (x_1 \ sağ), f \ left (x_2 \ sağ) \ sağ \} \ leq \ alpha $

$ \ Lambda \ in \ left (0, 1 \ right) $ ve $ x = \ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ leq max \ left \ {f \ left (x_1 \ right) olsun , f \ left (x_2 \ sağ) \ sağ \} \ Rightarrow x \ S $ içinde

Böylece, $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq max \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ sağ \} \ leq \ alpha $

Bu nedenle, $ S _ {\ alpha} $ dışbükeydir.

Converse

$ S _ {\ alpha} $, her $ \ alpha $ için dışbükey olsun

$ x_1, x_2 \ in S, \ lambda \ in \ left (0,1 \ right) $

$ x = \ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 $

$ X = \ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 $ olsun

$ X_1, x_2 \ in S _ {\ alpha}, \ alpha = max \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ sağ) \ sağ \} $ için

$ \ Rightarrow \ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ in S _ {\ alpha} $

$ \ Rightarrow f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ sağ) x_2 \ sağ) \ leq \ alpha $

Dolayısıyla kanıtladı.

Teoremi

$ F: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ ve S $ \ mathbb {R} ^ n $ içinde boş olmayan bir dışbükey kümedir. F işlevi yarı içbükeydir ancak ve ancak S: f \ left (x \ right) $ içinde $ S _ {\ alpha} = \ left \ {x \ her gerçek sayı için $ \ dışbükey ise alfa $.

Teoremi

$ F: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ ve S $ \ mathbb {R} ^ n $ içinde boş olmayan bir dışbükey kümedir. F işlevi quasimonotone'dur ancak ve ancak S: f \ left (x \ right) = $ S _ {\ alpha} = \ left \ {x \ in S: f \ left (x \ right \} $ her gerçek sayı için $ \ alpha dışbükey ise $.