Dışbükey Optimizasyon - Fritz-John Koşulları

Gerekli Koşullar

Teoremi

- $ min f \ left (x \ right) $ problemini ele alalım ki X $ 'da $ x \, X $ \ mathbb {R} ^ n $' da açık bir küme ve $ g_i \ left (x \ right) \ leq 0, \ forall i = 1,2, .... m $.

$ F: X \ rightarrow \ mathbb {R} $ ve $ g_i: X \ rightarrow \ mathbb {R} $ olsun

$ \ Hat {x} $ uygun bir çözüm olsun ve f ve $ g_i, i \ in I $ $ \ hat {x} $ ve $ g_i'de türevlenebilir, i \ in J $ $ \ hat { x} $.

$ \ Hat {x} $ yukarıdaki sorunu yerel olarak çözerse, $ u_0, u_i \ in \ mathbb {R}, i \ in I $ öyle ki $ u_0 \ bigtriangledown f \ left (\ hat {x} \ sağ) + \ displaystyle \ sum \ limits_ {i \ I} u_i \ bigtriangledown g_i \ left (\ hat {x} \ sağ) $ = 0

$ u_0, u_i \ geq 0, i \ in I $ ve $ \ left (u_0, u_I \ right) \ neq \ left (0,0 \ right) $

Ayrıca, $ g_i, i \ in J $ da $ \ hat {x} $ konumunda türevlenebilirse, yukarıdaki koşullar şu şekilde yazılabilir:

$ u_0 \ bigtriangledown f \ left (\ hat {x} \ sağ) + \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ m u_i \ bigtriangledown g_i \ left (\ hat {x} \ sağ) = 0 $

$ u_ig_i \ left (\ hat {x} \ right) $ = 0

$ u_0, u_i \ geq 0, \ forall i = 1,2, ...., m $

$ \ left (u_0, u \ right) \ neq \ left (0,0 \ right), u = \ left (u_1, u_2, s, u_m \ right) \ in \ mathbb {R} ^ m $

Uyarılar

  • $ u_i $, Lagrangian çarpanları olarak adlandırılır.

  • $ \ Hat {x} $ 'ın verilen problem için uygun olması koşulu, birincil uygulanabilir koşul olarak adlandırılır.

  • $ U_0 \ bigtriangledown f \ left (\ hat {x} \ right) + \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ m ui \ bigtriangledown g_i \ left (x \ right) = 0 $ şartına ikili fizibilite denir durum.

  • $ U_ig_i \ left (\ hat {x} \ right) = 0, i = 1, 2, ... m $ koşulu tamamlayıcı gevşeklik koşulu olarak adlandırılır. Bu koşul $ u_i = 0, i \ in J $ gerektirir

  • İlk uygulanabilir koşul, ikili fizibilite koşulu ve tamamlayıcı gevşeklik birlikte Fritz-John Koşulları olarak adlandırılır.

Yeterli Koşullar

Teoremi

$ \ Varepsilon $ -neighbourhood $ \ hat {x} N_ \ varepsilon \ left (\ hat {x} \ right), \ varepsilon> 0 $ varsa, f $ N_ \ varepsilon \ left ( \ hat {x} \ right) \ cap S $ ve $ g_i, i \ içindeki i \ kesinlikle $ N_ \ varepsilon \ left (\ hat {x} \ right) \ cap S $, ardından $ \ hat { x} $, yukarıda açıklanan soruna yerel olarak en uygun çözümdür. F $ \ hat {x} $ konumunda sözde-konveks ise ve $ g_i ise, I $ içindeki i \ hem tam anlamıyla sözde-konveks hem de $ \ hat {x} konumunda yarı-konveks fonksiyonuysa, \ hat {x} $ soruna genel olarak en uygun çözümdür Yukarıda tarif edilen.

Misal

  • $ min \: f \ left (x_1, x_2 \ sağ) = \ left (x_1-3 \ sağ) ^ 2 + \ left (x_2-2 \ sağ) ^ 2 $

    öyle ki $ x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} \ leq 5, x_1 + 2x_2 \ leq 4, x_1, x_2 \ geq 0 $ And $ \ hat {x} = \ left (2 , 1 \ sağ) $

    $ G_1 \ left (x_1, x_2 \ right) = x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} -5, $

    $ g_2 \ left (x_1, x_2 \ sağ) = x_1 + 2x_2-4, $

    $ g_3 \ left (x_1, x_2 \ sağ) = - x_1 $ ve $ g_4 \ left (x_1, x_2 \ sağ) = -x_2 $.

    Böylece yukarıdaki kısıtlamalar şu şekilde yazılabilir:

    $ g_1 \ left (x_1, x_2 \ sağ) \ leq 0, $

    $ g_2 \ left (x_1, x_2 \ sağ) \ leq 0, $

    $ g_3 \ left (x_1, x_2 \ sağ) \ leq 0 $ ve

    $ g_4 \ left (x_1, x_2 \ right) \ leq 0 $ Böylece, $ I = \ left \ {1,2 \ right \} $ dolayısıyla, $ u_3 = 0, u_4 = 0 $

    $ \ bigtriangledown f \ left (\ hat {x} \ right) = \ left (2, -2 \ right), \ bigtriangledown g_1 \ left (\ hat {x} \ right) = \ left (4,2 \ sağ ) $ ve $ \ bigtriangledown g_2 \ left (\ hat {x} \ right) = \ left (1,2 \ right) $

    Böylece bu değerleri Fritz-John koşullarının ilk durumuna koyarsak şunu elde ederiz -

    $ u_0 = \ frac {3} {2} u_2, \: \: u_1 = \ frac {1} {2} u_2, $ ve $ u_2 = 1 $ olsun, dolayısıyla $ u_0 = \ frac {3} {2} , \: \: u_1 = \ frac {1} {2} $

    Böylelikle Fritz John koşulları sağlandı.

  • $ min f \ left (x_1, x_2 \ sağ) = - x_1 $.

    öyle ki $ x_2- \ left (1-x_1 \ right) ^ 3 \ leq 0 $,

    $ -x_2 \ leq 0 $ ve $ \ hat {x} = \ left (1,0 \ right) $

    $ G_1 \ left (x_1, x_2 \ right) = x_2- \ left (1-x_1 \ right) ^ 3 $ olsun,

    $ g_2 \ left (x_1, x_2 \ sağ) = - x_2 $

    Böylece yukarıdaki kısıtlamalar şu şekilde yazılabilir:

    $ g_1 \ left (x_1, x_2 \ sağ) \ leq 0, $

    $ g_2 \ left (x_1, x_2 \ sağ) \ leq 0, $

    Böylece, $ I = \ left \ {1,2 \ right \} $

    $ \ bigtriangledown f \ left (\ hat {x} \ right) = \ left (-1,0 \ right) $

    $ \ bigtriangledown g_1 \ left (\ hat {x} \ right) = \ left (0,1 \ right) $ ve $ g_2 \ left (\ hat {x} \ right) = \ left (0, -1 \ right ) $

    Böylece bu değerleri Fritz-John koşullarının ilk durumuna koyarsak şunu elde ederiz -

    $ u_0 = 0, \: \: u_1 = u_2 = a> 0 $

    Böylelikle Fritz John koşulları sağlandı.