Konveks Optimizasyon - Weierstrass Teoremi

S $ \ mathbb {R} ^ n $ içinde boş olmayan, kapalı ve sınırlı bir küme (kompakt küme olarak da adlandırılır) olsun ve $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $, S üzerinde sürekli bir işlev olsun, sonra problem min $ \ left \ {f \ left (x \ right): x \ in S \ right \} $ minimum değerine ulaşır.

Kanıt

S boş olmadığından ve sınırlı olduğundan, bir alt sınır vardır.

$ \ alpha = Inf \ left \ {f \ left (x \ sağ): x \ in S \ right \} $

Şimdi $ S_j = \ left \ {x \ in S: \ alpha \ leq f \ left (x \ right) \ leq \ alpha + \ delta ^ j \ right \} \ forall j = 1,2, ... $ ve $ \ delta \ in \ left (0,1 \ right) $

Infimium'un tanımına göre, her $ j $ için $ S_j $ boş değildir.

$ J = 1,2, ... $ için $ \ left \ {x_j \ right \} $ dizisi elde etmek için S_j $ içinde $ x_j \ seçin

S sınırlı olduğu için, dizi de sınırlıdır ve $ \ hat {x} $ 'a yakınsayan $ \ left \ {y_j \ right \} $ yakınsak bir alt dizisi vardır. Dolayısıyla $ \ hat {x} $ bir sınır noktasıdır ve S kapalıdır, bu nedenle, S $ içinde $ \ hat {x} \. F sürekli olduğundan, $ f \ left (y_i \ right) \ rightarrow f \ left (\ hat {x} \ right) $.

$ \ Alpha \ leq f \ left (y_i \ right) \ leq \ alpha + \ delta ^ k, \ alpha = \ displaystyle \ lim_ {k \ rightarrow \ infty} f \ left (y_i \ sağ) = f \ sol ( \ hat {x} \ sağ) $

Bu nedenle, $ \ hat {x} $ küçültme çözümüdür.

Uyarılar

Weierstrass Teoreminin tutması için iki önemli gerekli koşul vardır. Bunlar aşağıdaki gibidir -

• Step 1 - S kümesi sınırlı bir küme olmalıdır.

  F \ left (x \ right) = x $ işlevini düşünün.

  Sınırsız bir kümedir ve etki alanındaki herhangi bir noktada minimuma sahiptir.

  Bu nedenle, minimumun elde edilmesi için S sınırlandırılmalıdır.

• Step 2 - S seti kapatılmalıdır.

  \ Left (0,1 \ right) etki alanında $ f \ left (x \ right) = \ frac {1} {x} $ işlevini düşünün.

  Bu işlev verilen etki alanında kapalı değildir ve minimum değeri de yoktur.

  Bu nedenle minimumun elde edilmesi için S'nin kapatılması gerekir.