Karush-Kuhn-Tucker Optimalliği Gerekli Koşullar

Sorunu düşünün -

$ min \: f \ left (x \ right) $ öyle ki X $ 'da $ x \, burada X, $ \ mathbb {R} ^ n $ ve $ g_i \ left (x \ right) \ leq'de açık bir küme. 0, ben = 1, 2, ..., m $

$ S = \ left \ {x \ in X: g_i \ left (x \ right) \ leq 0, \ forall i \ right \} $ olsun

S $ 'da $ \ hat {x} \ ve $ f $ ve $ g_i, i \ in I $ $ \ hat {x} $ ve $ g_i'de türevlenebilir, J $ da i \ $ \ hat'ta sürekli olsun {x} $. Ayrıca, $ \ bigtriangledown g_i \ left (\ hat {x} \ right), i \ in I $ doğrusal olarak bağımsızdır. $ \ Hat {x} $ yukarıdaki sorunu yerel olarak çözerse, o zaman $ u_i, i \ in I $ 'da vardır öyle ki

$ \ bigtriangledown f \ left (x \ sağ) + \ displaystyle \ sum \ limits_ {i \ in I} u_i \ bigtriangledown g_i \ left (\ hat {x} \ right) = 0 $, $ \: \: u_i \ geq 0, i \ içinde I $

$ G_i ise, J $ 'da i \ $ \ hat {x} $ konumunda da türevlenebilir. sonra $ \ hat {x} $, sonra

$ \ bigtriangledown f \ left (\ hat {x} \ sağ) + \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ m u_i \ bigtriangledown g_i \ left (\ hat {x} \ sağ) = 0 $

$ u_ig_i \ left (\ hat {x} \ right) = 0, \ forall i = 1,2, ..., m $

$ u_i \ geq 0 \ forall i = 1,2, ..., m $

Misal

Şu sorunu düşünün -

$ min \: f \ left (x_1, x_2 \ sağ) = \ left (x_1-3 \ sağ) ^ 2 + \ left (x_2-2 \ sağ) ^ 2 $

öyle ki $ x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} \ leq 5 $,

$ x_1,2x_2 \ geq 0 $ ve $ \ hat {x} = \ left (2,1 \ right) $

$ G_1 \ left (x_1, x_2 \ right) = x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} -5 $ olsun,

$ g_2 \ left (x_1, x_2 \ sağ) = x_ {1} + 2x_2-4 $

$ g_3 \ left (x_1, x_2 \ sağ) = - x_ {1} $ ve $ g_4 \ left (x_1, x_2 \ sağ) = - x_2 $

Böylece yukarıdaki kısıtlamalar şu şekilde yazılabilir:

$ g_1 \ left (x_1, x_2 \ sağ) \ leq 0, g_2 \ left (x_1, x_2 \ sağ) \ leq 0 $

$ g_3 \ left (x_1, x_2 \ right) \ leq 0, $ ve $ g_4 \ left (x_1, x_2 \ right) \ leq 0 $ Böylece, $ I = \ left \ {1,2 \ right \} $ dolayısıyla , $ u_3 = 0, \: \: u_4 = 0 $

$ \ bigtriangledown f \ left (\ hat {x} \ right) = \ left (2, -2 \ right), \ bigtriangledown g_1 \ left (\ hat {x} \ right) = \ left (4,2 \ sağ ) $ ve

$ \ bigtriangledown g_2 \ left (\ hat {x} \ right) = \ left (1,2 \ right) $

Böylece bu değerleri Karush-Kuhn-Tucker koşullarının ilk durumuna koyarsak şunu elde ederiz -

$ u_1 = \ frac {1} {3} $ ve $ u_2 = \ frac {2} {3} $

Böylece Karush-Kuhn-Tucker koşulları sağlanmıştır.