Dışbükey Optimizasyon - afin Küme

Bir $ A $ kümesinin, herhangi iki farklı nokta için, bu noktalardan geçen çizgi $ A $ kümesinde yer alması durumunda, afin küme olduğu söylenir.

Note -

• $ S $, ancak ve ancak noktalarının her afin kombinasyonunu içeriyorsa bir afin kümedir.

• Boş ve tekli setler hem afin hem de konveks settir.

  Örneğin, doğrusal bir denklemin çözümü afin bir kümedir.

Kanıt

S doğrusal bir denklemin çözümü olsun.

Tanıma göre, $ S = \ left \ {x \ in \ mathbb {R} ^ n: Ax = b \ right \} $

$ X_1, x_2 \ in S \ Rightarrow Ax_1 = b $ ve $ Ax_2 = b $ olsun

Kanıtlamak için: $ A \ left [\ theta x_1 + \ left (1- \ theta \ right) x_2 \ right] = b, \ forall \ theta \ in \ left (0,1 \ right) $

$ A \ left [\ theta x_1 + \ left (1- \ theta \ right) x_2 \ right] = \ theta Ax_1 + \ left (1- \ theta \ right) Ax_2 = \ theta b + \ left (1- \ theta \ sağ ) b = b $

Böylece S, afin bir kümedir.

Teoremi

Eğer $ C $ bir afin kümesiyse ve C $ 'da $ x_0 \ ise, C \ right \} $ içinde $ V = C-x_0 = \ left \ {x-x_0: x \ kümesi C \ right \} $' ın bir alt uzaydır

Kanıt

$ X_1, x_2 \ in V $

Göstermek için: Bazı $ \ alpha, \ beta $ için V $ içinde $ \ alpha x_1 + \ beta x_2 \

Şimdi, V'nin tanımına göre, C $ için $ x_1 + x_0 \ ve C $ için $ x_2 + x_0 \

Şimdi $ \ alpha x_1 + \ beta x_2 + x_0 = \ alpha \ left (x_1 + x_0 \ right) + \ beta \ left (x_2 + x_0 \ right) + \ left (1- \ alpha - \ beta \ right) x_0 $

Ancak C $ 'da $ \ alpha \ left (x_1 + x_0 \ right) + \ beta \ left (x_2 + x_0 \ right) + \ left (1- \ alpha - \ beta \ right) x_0 \, çünkü C bir afin kümesidir .

Bu nedenle, V $ içinde $ \ alpha x_1 + \ beta x_2 \

Dolayısıyla kanıtladı.