Dışbükey Optimizasyon - Norm

Bir norm, bir vektöre veya bir değişkene kesinlikle pozitif bir değer veren bir fonksiyondur.

Norm bir $ f: \ mathbb {R} ^ n \ rightarrow \ mathbb {R} $ işlevidir

Bir normun temel özellikleri şunlardır:

$ X $, $ X \ in \ mathbb {R} ^ n $ olacak şekilde bir vektör olsun

• $ \ left \ | x \ sağ \ | \ geq 0 $

• $ \ left \ | x \ sağ \ | = 0 \ Leftrightarrow x = 0 \ forall x \ X $

• $ \ left \ | \ alpha x \ right \ | = \ sol | \ alpha \ sağ | \ sol \ | x \ right \ | \ forall \: x \ in X ve \: \ alpha \: is \: a \: scalar $

• $ \ left \ | x + y \ sağ \ | \ leq \ sol \ | x \ sağ \ | + \ sol \ | y \ sağ \ | \ forall x, y \ in X $

• $ \ left \ | xy \ sağ \ | \ geq \ sol \ | \ sol \ | x \ sağ \ | - \ sol \ | y \ sağ \ | \ sağ \ | $

Tanım gereği norm şu şekilde hesaplanır -

• $ \ left \ | x \ sağ \ | _1 = \ displaystyle \ toplam \ limitler_ {i = 1} ^ n \ sol | x_i \ sağ | $

• $ \ left \ | x \ sağ \ | _2 = \ sol (\ displaystyle \ toplam \ limitler_ {i = 1} ^ n \ sol | x_i \ sağ | ^ 2 \ sağ) ^ {\ frac {1} {2}} $

• $ \ left \ | x \ sağ \ | _p = \ sol (\ displaystyle \ toplam \ limitler_ {i = 1} ^ n \ sol | x_i \ sağ | ^ p \ sağ) ^ {\ frac {1} {p}}, 1 \ leq p \ leq \ infty $

Norm, sürekli bir işlevdir.

Kanıt

Tanıma göre, $ X \ Rightarrow f \ left (x_n \ right) \ rightarrow f \ left (x \ right) $ içindeki $ x_n \ rightarrow x $ ise, $ f \ left (x \ right) $ sabit bir fonksiyondur.

$ F \ left (x \ right) = \ left \ | x \ sağ \ | $

Bu nedenle, $ \ left | f \ left (x_n \ sağ) -f \ sol (x \ sağ) \ sağ | = \ sol | \ sol \ | x_n \ sağ \ | - \ sol \ | x \ sağ \ | \ sağ | \ leq \ sol | \ sol | x_n-x \ sağ | \: \ sağ | $

$ X_n \ rightarrow x $ dolayısıyla, $ \ left \ | x_n-x \ sağ \ | \ rightarrow 0 $

Bu nedenle $ \ left | f \ left (x_n \ sağ) -f \ sol (x \ sağ) \ sağ | \ leq 0 \ Sağa \ sol | f \ left (x_n \ sağ) -f \ sol (x \ sağ) \ sağ | = 0 \ Sağarrow f \ left (x_n \ sağ) \ rightarrow f \ left (x \ sağ) $

Dolayısıyla norm, sürekli bir işlevdir.