Türevlenebilir Quasiconvex Fonksiyonu

Teoremi

S, $ \ mathbb {R} ^ n $ ve $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ içinde türevlendirilebilen boş olmayan bir dışbükey olsun, bu durumda f, ancak ve ancak herhangi bir $ x_1, x_2 için yarı konveks \ S $ ve $ f \ left (x_1 \ right) \ leq f \ left (x_2 \ right) $ içinde, $ \ bigtriangledown f \ left (x_2 \ right) ^ T \ left (x_2-x_1 \ sağ) \ leq 0 $

Kanıt

F yarı konveks bir fonksiyon olsun.

$ X_1, x_2 \ S $ içinde, $ f \ left (x_1 \ right) \ leq f \ left (x_2 \ right) $

F'nin $ x_2, \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right) $ konumunda türevlenebilirliğine göre

$ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) = f \ left (x_2 + \ lambda \ left (x_1-x_2 \ sağ) \ sağ) = f \ left (x_2 \ sağ ) + \ bigtriangledown f \ left (x_2 \ sağ) ^ T \ left (x_1-x_2 \ sağ) $

$ + \ lambda \ left \ | x_1-x_2 \ sağ \ | \ alpha \ left (x_2, \ lambda \ left (x_1-x_2 \ sağ) \ sağ) $

$ \ Rightarrow f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ sağ) x_2 \ sağ) -f \ left (x_2 \ sağ) -f \ left (x_2 \ sağ) = \ bigtriangledown f \ left (x_2 \ sağ) ^ T \ sol (x_1-x_2 \ sağ) $

$ + \ lambda \ left \ | x_1-x_2 \ sağ \ | \ alpha \ left (x2, \ lambda \ left (x_1-x_2 \ sağ) \ sağ) $

Ancak f yarı konveks olduğundan, $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq f \ left (x_2 \ right) $

$ \ bigtriangledown f \ left (x_2 \ sağ) ^ T \ left (x_1-x_2 \ sağ) + \ lambda \ left \ | x_1-x_2 \ sağ \ | \ alpha \ left (x_2, \ lambda \ left (x_1, x_2 \ sağ) \ sağ) \ leq 0 $

Ancak $ \ alpha \ left (x_2, \ lambda \ left (x_1, x_2 \ right) \ right) \ rightarrow 0 $, $ \ lambda \ rightarrow 0 $ olarak

Bu nedenle, $ \ bigtriangledown f \ left (x_2 \ right) ^ T \ left (x_1-x_2 \ right) \ leq 0 $

Converse

$ x_1, x_2 \ in S $ ve $ f \ left (x_1 \ right) \ leq f \ left (x_2 \ right) $, $ \ bigtriangledown f \ left (x_2 \ right) ^ T \ left (x_1, x_2 \ sağ) \ leq 0 $

F'nin yarı konveks olduğunu göstermek için, yani $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq f \ left (x_2 \ right) $

Proof by contradiction

Bir $ \ lambda \ in için $ f \ left (x_2 \ right) <f \ left (x_3 \ right) $ olacak şekilde bir $ x_3 = \ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 $ olduğunu varsayalım \ left (0, 1 \ right) $

$ X_2 $ ve $ x_3 için, \ bigtriangledown f \ left (x_3 \ right) ^ T \ left (x_2-x_3 \ right) \ leq 0 $

$ \ Rightarrow - \ lambda \ bigtriangledown f \ left (x_3 \ sağ) ^ T \ left (x_2-x_3 \ sağ) \ leq 0 $

$ \ Rightarrow \ bigtriangledown f \ left (x_3 \ sağ) ^ T \ left (x_1-x_2 \ sağ) \ geq 0 $

$ X_1 $ ve $ x_3 için, \ bigtriangledown f \ left (x_3 \ right) ^ T \ left (x_1-x_3 \ right) \ leq 0 $

$ \ Rightarrow \ left (1- \ lambda \ right) \ bigtriangledown f \ left (x_3 \ sağ) ^ T \ left (x_1-x_2 \ sağ) \ leq 0 $

$ \ Rightarrow \ bigtriangledown f \ left (x_3 \ sağ) ^ T \ left (x_1-x_2 \ sağ) \ leq 0 $

dolayısıyla, yukarıdaki denklemlerden, $ \ bigtriangledown f \ left (x_3 \ right) ^ T \ left (x_1-x_2 \ right) = 0 $

$ U = \ left \ {x: f \ left (x \ right) \ leq f \ left (x_2 \ right), x = \ mu x_2 + \ left (1- \ mu \ right) x_3, \ mu \ in tanımlayın \ left (0,1 \ sağ) \ sağ \} $

Böylece, U $ içinde $ x_0 \ bulabiliriz öyle ki $ x_0 = \ mu_0 x_2 = \ mu x_2 + \ left (1- \ mu \ right) x_3 $ bazı $ \ mu _0 \ in \ left (0,1 \ right ) $ x_3 $ ve $ \ hat {x} \ in \ left (x_0, x_1 \ right) $ değerlerine en yakın olan $ ortalama değer teoremine göre,

$$ \ frac {f \ left (x_3 \ right) -f \ left (x_0 \ right)} {x_3-x_0} = \ bigtriangledown f \ left (\ hat {x} \ right) $$

$$ \ Rightarrow f \ left (x_3 \ sağ) = f \ left (x_0 \ right) + \ bigtriangledown f \ left (\ hat {x} \ right) ^ T \ left (x_3-x_0 \ sağ) $$

$$ \ Rightarrow f \ left (x_3 \ sağ) = f \ left (x_0 \ sağ) + \ mu_0 \ lambda f \ left (\ hat {x} \ sağ) ^ T \ left (x_1-x_2 \ sağ) $ $

$ X_0 $, $ x_1 $ ve $ x_2 $ ile $ f \ left (x_2 \ right) <f \ left (\ hat {x} \ right) $ 'ın bir kombinasyonu olduğundan

Başlangıç ​​prosedürünü tekrarlayarak, $ \ bigtriangledown f \ left (\ hat {x} \ right) ^ T \ left (x_1-x_2 \ right) = 0 $

Böylece, yukarıdaki denklemleri birleştirerek şunu elde ederiz:

$$ f \ left (x_3 \ sağ) = f \ left (x_0 \ sağ) \ leq f \ left (x_2 \ sağ) $$

$$ \ Rightarrow f \ left (x_3 \ sağ) \ leq f \ left (x_2 \ sağ) $$

Dolayısıyla çelişkidir.

Örnekler

Step 1 - $ f \ left (x \ sağ) = X ^ 3 $

$ F \ left (x_1 \ sağ) \ leq f \ left (x_2 \ sağ) $

$ \ Rightarrow x_ {1} ^ {3} \ leq x_ {2} ^ {3} \ Rightarrow x_1 \ leq x_2 $

$ \ bigtriangledown f \ left (x_2 \ right) \ left (x_1-x_2 \ sağ) = 3x_ {2} ^ {2} \ left (x_1-x_2 \ sağ) \ leq 0 $

Böylece, $ f \ left (x \ right) $ yarı konvekstir.

Step 2 - $ f \ left (x \ sağ) = x_ {1} ^ {3} + x_ {2} ^ {3} $

$ \ Hat {x_1} = \ left (2, -2 \ right) $ ve $ \ hat {x_2} = \ left (1, 0 \ right) $ olsun

dolayısıyla, $ f \ left (\ hat {x_1} \ right) = 0, f \ left (\ hat {x_2} \ right) = 1 \ Rightarrow f \ left (\ hat {x_1} \ right) \ setminus <f \ left (\ hat {x_2} \ sağ) $

Böylece, $ \ bigtriangledown f \ left (\ hat {x_2} \ right) ^ T \ left (\ hat {x_1} - \ hat {x_2} \ right) = \ left (3, 0 \ right) ^ T \ left (1, -2 \ sağ) = 3> 0 $

Dolayısıyla, $ f \ left (x \ right) $ yarı konveks değildir.