Caratheodory Teoremi

S $ \ mathbb {R} ^ n $ içinde rastgele bir küme olsun. Co \ left (S \ right) $ içinde $ x \ ise, Co \ left (x_1, x_2, ...., x_n, x_ {n + 1} \ sağ) $.

Kanıt

Co \ left (S \ right) $ 'da $ x \ olduğundan, $ x $, S'deki sonlu sayıda noktanın dışbükey birleşimi ile temsil edilir, yani,

$ x = \ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 1} ^ k \ lambda_jx_j, \ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 1} ^ k \ lambda_j = 1, \ lambda_j \ geq 0 $ ve $ x_j \ S, \ forall j \ in \ left (1, k \ right) $

$ K \ leq n + 1 $ ise, elde edilen sonuç açıkça doğrudur.

$ K \ geq n + 1 $ ise, $ \ left (x_2-x_1 \ right) \ left (x_3-x_1 \ right), ....., \ left (x_k-x_1 \ right) $ doğrusal olarak bağımlıdır .

$ \ Rightarrow \ var \ mu _j \ mathbb {R}, 2 \ leq j \ leq k $ (tümü sıfır değil) öyle ki $ \ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 2} ^ k \ mu _j \ left (x_j-x_1 \ sağ) = 0 $

$ \ Mu_1 = - \ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 2} ^ k \ mu _j $, ardından $ \ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 1} ^ k \ mu_j x_j = 0, \ displaystyle \ sum \ limitler_ {j = 1} ^ k \ mu_j = 0 $

burada tüm $ \ mu_j $ değerleri sıfıra eşit değildir. $ \ Displaystyle \ sum \ limits_ {j = 1} ^ k \ mu_j = 0 $ olduğundan, $ \ mu_j> 0,1 \ leq j \ leq k $ değerlerinden en az biri

Ardından, $ x = \ displaystyle \ sum \ limits_ {1} ^ k \ lambda_j x_j + 0 $

$ x = \ displaystyle \ sum \ limits_ {1} ^ k \ lambda_j x_j- \ alpha \ displaystyle \ sum \ limits_ {1} ^ k \ mu_j x_j $

$ x = \ displaystyle \ sum \ limits_ {1} ^ k \ left (\ lambda_j- \ alpha \ mu_j \ sağ) x_j $

$ \ Alpha $ seçin öyle ki $ \ alpha = min \ left \ {\ frac {\ lambda_j} {\ mu_j}, \ mu_j \ geq 0 \ right \} = \ frac {\ lambda_j} {\ mu _j}, $ bazı $ i = 1,2, ..., k $ için

Eğer $ \ mu_j \ leq 0, \ lambda_j- \ alpha \ mu_j \ geq 0 $ ise

$ \ Mu_j> 0 ise, \: \ frac {\ lambda _j} {\ mu_j} \ geq \ frac {\ lambda_i} {\ mu _i} = \ alpha \ Rightarrow \ lambda_j- \ alpha \ mu_j \ geq 0, j = 1,2, ... k $

Özellikle, $ \ lambda_i- \ alpha \ mu_i = 0 $, $ \ alpha $ tanımına göre

$ x = \ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 1} ^ k \ left (\ lambda_j- \ alpha \ mu_j \ sağ) x_j $, nerede

$ \ lambda_j- \ alpha \ mu_j \ geq0 $ ve $ \ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 1} ^ k \ left (\ lambda_j- \ alpha \ mu_j \ sağ) = 1 $ ve $ \ lambda_i- \ alpha \ mu_i = 0 $

Bu nedenle, x, en çok (k-1) noktanın dışbükey bir kombinasyonu olarak gösterilebilir.

Bu indirgeme süreci, x (n + 1) elemanlarının dışbükey bir kombinasyonu olarak temsil edilene kadar tekrar edilebilir.