オイラー定数

「え」。私たちは皆、「e」に出くわしたことがあります。それは何ですか？

英語の5番目のアルファベットと2番目の母音です。人に自分の歯を見せるときの言葉です。しかし、数学者はそれをオイラー定数として認識しています。π 、 i 、 Φ 、 sqrt{2} などの他の重要な数学定数と並んで、この定数、無理数の値は 2.718281828459045235……

数学定数のほとんどは幾何学的です。たとえば、π は円の円周と直径の比、sqrt{2} は脚の長さが 1 である直角三角形の斜辺の長さです。ただし、「e」は幾何学や形状によって定義されない定数です。これは、成長または変化率に基づいています。しかし、どのように？

ヤコブ・ベルヌーイが複利、つまりお金に利息を付けることに取り組んでいた17世紀に戻りましょう。

あなたが非常に寛大な銀行の一員であるとします。あなたが銀行に ₹1 を与え、銀行が年 100% の利息を与えるとします。（確かに非常に寛大な銀行）。これで、年末に向けて ₹2 が得られます。では、6 か月ごとに 50% の利子を得た場合、最終的に同じ額の ₹2 になりますか? それともそれ以上？それ以下？計算して見てみましょう。

これは、6 か月ごとに 50% の利息を受け取ると、年率 100% の利息よりも多くの利益を得るのに役立つことを示しています。毎月 12 分の 1 の利息を受け取るとどうなりますか?

すると、

利息の 1/52 が 1 週間に与えられる場合、最終的な金額は次のようになります。

毎日 1/365 の利子があるとすると、銀行に ₹1 を支払った後の年末に向けた金額は、

同様に、毎時間、毎分、毎秒、さらにはミリ秒ごとに得られる金額を計算できます!

それで、あなたは何を観察しますか？値は、一般式を使用して n が増加するにつれて計算されます。

したがって、n の値が大きくなるにつれて、値が特定の値にどんどん近づいていることがわかります。これが「e」の値です。

しかし、ジェイコブ・ベルヌーイは定数の値を計算しませんでした。彼は、その値が 2 から 3 の間のどこかであることを知っていました。最終的にこの定数を計算し、それが無理数であることを証明したのはオイラーでした。彼は式を使用して値を計算しましたが、

しかし、別の式。彼は次の式を使用しました。

これは連分数です。永遠に続くので、この分数にはパターンがあると言えます、2,1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,……だから、永遠に続くなら、なら無理数です。終わっていれば、分数で書けるので合理的でした。したがって、これは「e」が無理数であることを証明しています。

「e」の値を計算するために、オイラーは別の式を使用しました。あれは、

「e」は成長の自然言語であり、微積分の自然言語です。なんで？

上記の図は、e^x のグラフを示しています。ここで、e^x グラフの特徴は、グラフ上の任意の点を取る場合、その点の値が e^x であり、その点での勾配が e^xであり、その点からグラフの下の領域が得られることです。 -∞ までも e^x です。したがって、e^x を積分または微分すると、e^x 自体が得られます。この定数「e」は、微積分で非常に強力なツールを形成します。

オイラー定数「e」は、数学の大きな定数のいくつかを 1 つの式、つまり i、π、1、および 0 である -1 のルートにまとめることも知られています。数学の美しい方程式:

この方程式については、次の記事で詳しく説明します。