Twierdzenie o maksymalnym przenoszeniu mocy

Ilość mocy pobieranej przez obciążenie jest ważnym parametrem w zastosowaniach elektrycznych i elektronicznych. W obwodach prądu stałego obciążenie możemy przedstawić za pomocą rezystora o rezystancji R L omów. Podobnie w obwodach prądu przemiennego możemy to przedstawić za pomocą złożonego obciążenia o impedancji Z L Ω.

Maximum power transfer theorem stwierdza, że ​​źródło napięcia stałego będzie dostarczać maksymalną moc do rezystora zmiennego obciążenia tylko wtedy, gdy rezystancja obciążenia jest równa rezystancji źródła.

Podobnie, Maximum power transfer theorem stwierdza, że ​​źródło napięcia prądu przemiennego będzie dostarczać maksymalną moc do zmiennego złożonego obciążenia tylko wtedy, gdy impedancja obciążenia jest równa złożonemu sprzężonemu impedancji źródła.

W tym rozdziale omówimy twierdzenie o maksymalnym przenoszeniu mocy dla obwodów prądu stałego.

Dowód twierdzenia o maksymalnym przenoszeniu mocy

Wymień dowolne dwa zaciski liniowej sieci lub obwodu po lewej stronie rezystora zmiennego obciążenia o rezystancji R L omów na równoważny obwód Thevenina. Wiemy, że równoważny obwód Thevenina przypomina praktyczne źródło napięcia.

Koncepcję tę zilustrowano na poniższych rysunkach.

Ilość mocy rozproszonej na rezystorze obciążenia wynosi

$$ P_L = I ^ 2 R_L $$

Podstaw $ I = \ frac {V_ {Th}} {R_ {Th} + R_L} $ w powyższym równaniu.

$$ P_L = \ lgroup \ frac {V_ {Th}} {(R_ {Th} + R_L)} \ rgroup ^ 2 R_L $$

$ \ Rightarrow P_L = {V_ {Th}} ^ 2 \ lbrace \ frac {R_L} {(R_ {Th} + R_L) ^ 2} \ rbrace $ Equation 1

Warunek maksymalnego transferu mocy

Dla maksimum lub minimum pierwsza pochodna będzie wynosić zero. Rozróżnij więc równanie 1 względem R L i zrób z niego zero.

$$ \ frac {dP_L} {dR_L} = {V_ {Th}} ^ 2 \ lbrace \ frac {(R_ {Th} + R_L) ^ 2 \ times 1 - R_L \ times 2 (R_ {Th} + R_L) } {(R_ {Th} + R_L) ^ 4} \ rbrace = 0 $$

$$ \ Rightarrow (R_ {Th} + R_L) ^ 2 -2R_L (R_ {Th} + R_L) = 0 $$

$$ \ Rightarrow (R_ {Th} + R_L) (R_ {Th} + R_L - 2R_L) = 0 $$

$$ \ Rightarrow (R_ {Th} - R_L) = 0 $$

$$ \ Rightarrow R_ {Th} = R_L \: lub \: R_L = R_ {Th} $$

Dlatego też condition for maximum powerrozproszenie na obciążeniu wynosi $ R_L = R_ {Th} $. Oznacza to, że jeśli wartość rezystancji obciążenia jest równa wartości rezystancji źródła, czyli rezystancji Thevenina, wówczas moc rozpraszana na obciążeniu będzie miała wartość maksymalną.

Wartość maksymalnego transferu mocy

Podstaw $ R_L = R_ {Th} \: \ & \: P_L = P_ {L, Max} $ w równaniu 1.

$$ P_ {L, Max} = {V_ {Th}} ^ 2 \ lbrace \ frac {R_ {Th}} {(R_ {Th} + R_ {Th}) ^ 2} \ rbrace $$

$$ P_ {L, Max} = {V_ {Th}} ^ 2 \ lbrace \ frac {R_ {Th}} {4 {R_ {Th}} ^ 2} \ rbrace $$

$$ \ Rightarrow P_ {L, Max} = \ frac {{V_ {Th}} ^ 2} {4 R_ {Th}} $$

$$ \ Rightarrow P_ {L, Max} = \ frac {{V_ {Th}} ^ 2} {4 R_ {L}}, \: od \: R_ {L} = R_ {Th} $$

Dlatego też maximum amount of power przeniesiony do obciążenia

$$ P_ {L, Max} = \ frac {{V_ {Th}} ^ 2} {4R_ {L}} = \ frac {{V_ {Th}} ^ 2} {4R_ {Th}} $$

Wydajność maksymalnego transferu mocy

Możemy obliczyć sprawność maksymalnego transferu mocy, $ \ eta_ {Max} $, używając następującego wzoru.

$ \ eta_ {Max} = \ frac {P_ {L, Max}} {P_S} $ Equation 2

Gdzie,

  • $ P_ {L, Max} $ to maksymalna ilość mocy przekazanej do obciążenia.

  • $ P_S $ to ilość energii generowanej przez źródło.

Plik amount of power generated według źródła

$$ P_S = I ^ 2 R_ {Th} + I ^ 2 R_L $$

$$ \ Rightarrow P_S = 2 I ^ 2 R_ {Th}, \: od \: R_ {L} = R_ {Th} $$

  • Podstaw $ I = \ frac {V_ {Th}} {2 R_ {Th}} $ w powyższym równaniu.

$$ P_S = 2 \ lgroup \ frac {V_ {Th}} {2 R_ {Th}} \ rgroup ^ 2 R_ {Th} $$

$$ \ Rightarrow P_S = 2 \ lgroup \ frac {{V_ {Th}} ^ 2} {4 {R_ {Th}} ^ 2} \ rgroup R_ {Th} $$

$$ \ Rightarrow P_S = \ frac {{V_ {Th}} ^ 2} {2 R_ {Th}} $$

  • Zastąp wartości $ P_ {L, Max} $ i $ P_S $ w Równaniu 2.

$$ \ eta_ {Max} = \ frac {\ lgroup \ frac {{V_ {Th}} ^ 2} {4R_ {Th}} \ rgroup} {\ lgroup \ frac {{V_ {Th}} ^ 2} { 2R_ {Th}} \ rgroup} $$

$$ \ Rightarrow \ eta_ {Max} = \ frac {1} {2} $$

Możemy przedstawić wydajność maksymalnego transferu mocy w kategoriach percentage w następujący sposób -

$$ \% \ eta_ {Max} = \ eta_ {Max} \ times 100 \% $$

$$ \ Rightarrow \% \ eta_ {Max} = \ lgroup \ frac {1} {2} \ rgroup \ times 100 \% $$

$$ \ Rightarrow \% \ eta_ {Max} = 50 \% $$

Dlatego wydajność maksymalnego transferu mocy wynosi 50 %.

Przykład

Znaleźć maximum powerktóre można dostarczyć do rezystora obciążającego R L obwodu pokazanego na poniższym rysunku.

Step 1- W rozdziale Twierdzenie Thevenina obliczyliśmy obwód zastępczy Thevenina po lewej stronie zacisków A i B. Teraz możemy użyć tego obwodu. Przedstawiono to na poniższym rysunku.

Tutaj napięcie Thevenina $ V_ {Th} = \ frac {200} {3} V $ i opór Thevenina $ R_ {Th} = \ frac {40} {3} \ Omega $

Step 2- Zamień część obwodu, która jest po lewej stronie zacisków A i B danego obwodu, na powyższy obwód zastępczy Thevenina. Powstały schemat obwodu pokazano na poniższym rysunku.

Step 3- Maksymalną moc, która zostanie dostarczona do rezystora obciążenia, R L, możemy znaleźć za pomocą następującego wzoru.

$$ P_ {L, Max} = \ frac {{V_ {Th}} ^ 2} {4 R_ {Th}} $$

Podstaw $ V_ {Th} = \ frac {200} {3} V $ i $ R_ {Th} = \ frac {40} {3} \ Omega $ w powyższym wzorze.

$$ P_ {L, Max} = \ frac {\ lgroup \ frac {200} {3} \ rgroup ^ 2} {4 \ lgroup \ frac {40} {3} \ rgroup} $$

$$ P_ {L, Max} = \ frac {250} {3} W $$

Dlatego też maximum power który zostanie dostarczony do rezystora obciążenia RL danego obwodu to $ \ mathbf {\ frac {250} {3}} $ W