Teoria sieci - krótki przewodnik

Network theoryjest nauką o rozwiązywaniu problemów obwodów elektrycznych lub sieci elektrycznych. W tym rozdziale wprowadzającym omówimy najpierw podstawową terminologię obwodów elektrycznych oraz rodzaje elementów sieci.

Podstawowa terminologia

W teorii sieci często napotykamy następujące terminy -

• Obwód elektryczny
• Sieć elektryczna
• Current
• Voltage
• Power

Dlatego konieczne jest zebranie podstawowej wiedzy na temat tych terminów, zanim przejdziemy dalej. Zacznijmy od obwodu elektrycznego.

Obwód elektryczny

Obwód elektryczny zawiera zamkniętą ścieżkę zapewniającą przepływ elektronów ze źródła napięcia lub źródła prądu. Elementy obecne w obwodzie elektrycznym będą wseries connection, parallel connectionlub w dowolnej kombinacji połączeń szeregowych i równoległych.

Sieć elektryczna

Sieć elektryczna nie musi zawierać zamkniętej ścieżki zapewniającej przepływ elektronów ze źródła napięcia lub źródła prądu. Stąd możemy wywnioskować, że „wszystkie obwody elektryczne są sieciami elektrycznymi”, ale sytuacja odwrotna nie musi być prawdą.

obecny

Obecny "I"przepływający przez przewodnik to nic innego jak szybkość przepływu ładunku w czasie. Matematycznie można to zapisać jako

$$I = \frac{dQ}{dt}$$

Gdzie,

• Q jest ładunkiem, a jego jednostką jest Coloumb.

• t to czas, a jego jednostką jest sekunda.

Analogicznie, prąd elektryczny można traktować jako przepływ wody przez rurę. Prąd jest mierzony w kategoriachAmpere.

Ogólnie, Electron current przepływa z bieguna ujemnego źródła do bieguna dodatniego, natomiast Conventional current przepływa z dodatniego terminalu źródła do ujemnego terminalu.

Electron current uzyskuje się w wyniku ruchu swobodnych elektronów, natomiast Conventional currentuzyskuje się dzięki przepływowi bezpłatnych opłat dodatnich. Oba są nazywane jakoelectric current.

Napięcie

Napięcie "V"jest niczym innym jak siłą elektromotoryczną, która powoduje przepływ ładunku (elektronów). Matematycznie można to zapisać jako

$$V = \frac{dW}{dQ}$$

Gdzie,

• W jest energią potencjalną, a jej jednostką jest dżul.

• Q jest ładunkiem, a jego jednostką jest Coloumb.

Analogicznie, napięcie można traktować jako ciśnienie wody, które powoduje przepływ wody przez rurę. Jest mierzony w kategoriachVolt.

Moc

Moc "P"to nic innego jak szybkość przepływu energii elektrycznej w czasie. Matematycznie można to zapisać jako

$$P = \frac{dW}{dt}$$

Gdzie,

• W jest energią elektryczną i jest mierzona w kategoriach Joule.

• t to czas i jest mierzony w sekundach.

Możemy przepisać powyższe równanie a

$$P = \frac{dW}{dt} = \frac{dW}{dQ} \times \frac{dQ}{dt} = VI$$

W związku z tym, power to nic innego jak product napięcia V i aktualne I. Jego jednostką jestWatt.

Rodzaje elementów sieci

Możemy podzielić elementy sieci na różne typy w oparciu o pewne parametry. Poniżej przedstawiono typy elementów sieci -

• Elementy aktywne i elementy pasywne

• Elementy liniowe i elementy nieliniowe

• Elementy dwustronne i elementy jednostronne

Elementy aktywne i elementy pasywne

Możemy zaklasyfikować elementy sieci do jednego z nich active lub passive w oparciu o zdolność dostarczania mocy.

• Active Elementsdostarczają moc do innych elementów, które są obecne w obwodzie elektrycznym. Czasami mogą pochłaniać moc jak elementy pasywne. Oznacza to, że elementy aktywne mają zdolność zarówno dostarczania, jak i pochłaniania mocy.Examples: Źródła napięcia i źródła prądu.

• Passive Elementsnie mogą dostarczać mocy (energii) innym elementom, jednak mogą absorbować moc. Oznacza to, że elementy te albo rozpraszają moc w postaci ciepła, albo magazynują energię w postaci pola magnetycznego lub pola elektrycznego.Examples: Rezystory, cewki i kondensatory.

Elementy liniowe i elementy nieliniowe

Możemy sklasyfikować elementy sieci jako linear lub non-linear w oparciu o ich charakterystykę, aby zachować właściwość liniowości.

• Linear Elements to elementy, które wykazują liniową zależność między napięciem a prądem. Examples: Rezystory, cewki i kondensatory.

• Non-Linear Elements to takie, które nie wykazują liniowej zależności między napięciem a prądem. Examples: Źródła napięcia i źródła prądu.

Elementy dwustronne i elementy jednostronne

Elementy sieci można również sklasyfikować jako oba bilateral lub unilateral na podstawie kierunku przepływu prądu przez elementy sieci.

Bilateral Elements to elementy, które pozwalają na przepływ prądu w obu kierunkach i oferują taką samą impedancję w każdym kierunku przepływu prądu. Examples: Rezystory, cewki i kondensatory.

Na poniższych rysunkach przedstawiono koncepcję elementów dwustronnych.

Na powyższym rysunku prąd (I) przepływa z zacisków A do B przez element pasywny o impedancji Z Ω. Jest to stosunek napięcia (V) na tym elemencie między zaciskami A i B a prądem (I).

Na powyższym rysunku prąd (I) przepływa z zacisków B do A przez element pasywny o impedancji Z Ω. Oznacza to, że prąd (–I) płynie z zacisków A do B. Również w tym przypadku uzyskamy taką samą wartość impedancji, ponieważ zarówno prąd, jak i napięcie mają znaki ujemne w odniesieniu do zacisków A i B.

Unilateral Elementsto takie, które pozwalają na prąd tylko w jednym kierunku. Dlatego oferują różne impedancje w obu kierunkach.

Omówiliśmy rodzaje elementów sieciowych w poprzednim rozdziale. Teraz zidentyfikujmy pliknature of network elements z charakterystyk VI podanych w poniższych przykładach.

Przykład 1

Plik V-I characteristics elementu sieci pokazano poniżej.

Step 1 - Weryfikacja elementu sieciowego jako linear lub non-linear.

Z powyższego rysunku charakterystyka VI elementu sieci to prosta linia przechodząca przez początek. Dlatego jest to plikLinear element.

Step 2 - Weryfikacja elementu sieciowego jako active lub passive.

Podane cechy VI elementu sieci znajdują się w pierwszej i trzeciej ćwiartce.

• w first quadrantwartości napięcia (V) i prądu (I) są dodatnie. Tak więc stosunki napięcia (V) i prądu (I) dają dodatnie wartości impedancji.

• Podobnie w third quadrantwartości zarówno napięcia (V), jak i prądu (I) mają wartości ujemne. Zatem stosunki napięcia (V) i prądu (I) dają dodatnie wartości impedancji.

Ponieważ podane charakterystyki VI oferują dodatnie wartości impedancji, element sieci to a Passive element.

Step 3 - Weryfikacja elementu sieciowego jako bilateral lub unilateral.

Dla każdego punktu (I, V) na charakterystyce istnieje odpowiadający mu punkt (-I, -V) na danej charakterystyce. W związku z tym element sieci toBilateral element.

Dlatego podane charakterystyki VI pokazują, że element sieciowy jest Linear, Passive, i Bilateral element.

Przykład 2

Plik V-I characteristics elementu sieci pokazano poniżej.

Step 1 - Weryfikacja elementu sieciowego jako linear lub non-linear.

Z powyższego rysunku charakterystyka VI elementu sieci jest linią prostą tylko między punktami (-3A, -3V) i (5A, 5V). Poza tymi punktami cechy VI nie są zgodne z zależnością liniową. Dlatego jest to plikNon-linear element.

Step 2 - Weryfikacja elementu sieciowego jako active lub passive.

Podane cechy VI elementu sieci znajdują się w pierwszej i trzeciej ćwiartce. W tych dwóch kwadrantach stosunki napięcia (V) i prądu (I) dają dodatnie wartości impedancji. W związku z tym element sieci toPassive element.

Step 3 - Weryfikacja elementu sieciowego jako bilateral or unilateral.

Rozważ punkt (5 A, 5 V) dotyczący charakterystyki. Odpowiedni punkt (-5A, -3V) występuje na danej charakterystyce zamiast (-5A, -5V). W związku z tym element sieci toUnilateral element.

Dlatego podane charakterystyki VI pokazują, że element sieciowy jest Non-linear, Passive, i Unilateral element.

Active Elementsto elementy sieci, które dostarczają energię do innych elementów obecnych w obwodzie elektrycznym. Tak więc elementy aktywne są również nazywane źródłami napięcia lub prądu. Możemy podzielić te źródła na następujące dwie kategorie -

• Niezależne źródła
• Zależne źródła

Niezależne źródła

Jak sama nazwa wskazuje, niezależne źródła wytwarzają stałe wartości napięcia lub prądu, które nie są zależne od żadnego innego parametru. Niezależne źródła można dalej podzielić na następujące dwie kategorie -

• Niezależne źródła napięcia
• Niezależne źródła prądu

Niezależne źródła napięcia

Niezależne źródło napięcia wytwarza stałe napięcie na swoich dwóch zaciskach. Napięcie to jest niezależne od ilości prądu przepływającego przez dwa zaciski źródła napięcia.

Niezależny ideal voltage source a jego charakterystykę VI pokazano na poniższym rysunku.

Plik V-I characteristicsniezależnym idealnym źródłem napięcia jest linia stała, która jest zawsze równa napięciu źródła (VS) niezależnie od wartości prądu (I). Zatem rezystancja wewnętrzna niezależnego idealnego źródła napięcia wynosi zero omów.

Stąd niezależne idealne źródła napięcia do not exist practically, ponieważ będzie jakiś wewnętrzny opór.

Niezależny practical voltage source a jego charakterystykę VI pokazano na poniższym rysunku.

Istnieje odchylenie charakterystyk VI niezależnego praktycznego źródła napięcia od VI charakterystyk niezależnego idealnego źródła napięcia. Wynika to ze spadku napięcia na rezystancji wewnętrznej (R _S ) niezależnego praktycznego źródła napięcia.

Niezależne źródła prądu

Niezależne źródło prądu wytwarza prąd stały. Prąd ten jest niezależny od napięcia na jego dwóch zaciskach. Niezależnyideal current source a jego charakterystykę VI pokazano na poniższym rysunku.

Plik V-I characteristicsniezależnym idealnym źródłem prądu jest ciągła linia, która jest zawsze równa prądowi źródła (I _S ) niezależnie od wartości napięcia (V). Zatem rezystancja wewnętrzna niezależnego idealnego źródła prądu wynosi nieskończenie wiele omów.

Stąd niezależne idealne źródła prądu do not exist practically, ponieważ będzie jakiś wewnętrzny opór.

Niezależny practical current source a jego charakterystykę VI pokazano na poniższym rysunku.

Istnieje odchylenie w charakterystyce VI niezależnego praktycznego źródła prądu od VI charakterystyki niezależnego idealnego źródła prądu. Wynika to z ilości prądu przepływającego przez wewnętrzną rezystancję bocznikową (R _S ) niezależnego praktycznego źródła prądu.

Zależne źródła

Jak sama nazwa wskazuje, zależne źródła wytwarzają napięcie lub prąd zależny od innego napięcia lub prądu. Zależne źródła są również nazywane jakocontrolled sources. Zależne źródła można dalej podzielić na następujące dwie kategorie -

• Zależne źródła napięcia
• Zależne źródła prądu

Zależne źródła napięcia

Zależne źródło napięcia wytwarza napięcie na swoich dwóch zaciskach. Wielkość tego napięcia zależy od innego napięcia lub prądu. W związku z tym zależne źródła napięcia można dalej podzielić na następujące dwie kategorie -

• Źródło napięcia zależne od napięcia (VDVS)
• Zależne od prądu źródło napięcia (CDVS)

Zależne źródła napięcia są oznaczone znakami „+” i „-” wewnątrz kształtu rombu. Wielkość źródła napięcia można przedstawić poza kształtem diamentu.

Zależne źródła prądu

Zależne źródło prądu wytwarza prąd. Wielkość tego prądu zależy od innego napięcia lub prądu. W związku z tym zależne źródła prądu można dalej podzielić na następujące dwie kategorie -

• Źródło prądu zależne od napięcia (VDCS)
• Bieżące zależne źródło prądu (CDCS)

Zależne źródła prądu są reprezentowane strzałką wewnątrz kształtu rombu. Wielkość obecnego źródła można przedstawić poza kształtem diamentu.

Te zależne lub kontrolowane źródła możemy obserwować w równoważnych modelach tranzystorów.

Technika Transformacji Źródła

Wiemy, że istnieją dwa praktyczne źródła, a mianowicie: voltage source i current source. Możemy przekształcić (przekonwertować) jedno źródło na drugie w oparciu o wymagania, jednocześnie rozwiązując problemy sieciowe.

Technika przekształcania jednego źródła w drugie nosi nazwę source transformation technique. Oto dwie możliwe transformacje źródła -

• Praktyczne źródło napięcia w praktyczne źródło prądu
• Praktyczne źródło prądu w praktyczne źródło napięcia

Praktyczne źródło napięcia w praktyczne źródło prądu

Transformację praktycznego źródła napięcia w praktyczne źródło prądu przedstawiono na poniższym rysunku

Practical voltage sourceskłada się ze źródła napięcia (V _S ) połączonego szeregowo z rezystorem (R _S ). Można to przekształcić w praktyczne źródło prądu, jak pokazano na rysunku. Składa się ze źródła prądu (I _S ) równolegle z rezystorem (R _S ).

Wartość IS będzie równy stosunkowi V _S i R _S . Matematycznie można to przedstawić jako

$$I_S = \frac{V_S}{R_S}$$

Praktyczne źródło prądu w praktyczne źródło napięcia

Przekształcenie praktycznego źródła prądu w praktyczne źródło napięcia pokazano na poniższym rysunku.

Praktyczne źródło prądu składa się ze źródła prądowego (I _S ) połączonego równolegle z rezystorem (R _S ). Można to przekształcić w praktyczne źródło napięcia, jak pokazano na rysunku. Składa się ze źródła napięcia (V _S ) połączonego szeregowo z rezystorem (R _S ).

Wartość V _S będzie równa iloczynowi I _S i R _S . Matematycznie można to przedstawić jako

$$V_S = I_S R_S$$

W tym rozdziale omówimy szczegółowo elementy pasywne, takie jak rezystor, cewka indukcyjna i kondensator. Zacznijmy od rezystorów.

Rezystor

Główną funkcją rezystora jest przeciwdziałanie lub ograniczanie przepływu prądu elektrycznego. W związku z tym rezystory są używane w celu ograniczenia wielkości przepływu prądu i / lub dzielenia (współdzielenia) napięcia.

Niech prąd przepływający przez rezystor ma wartość 1 amperów, a napięcie na nim wynosi V woltów. Pliksymbol rezystora wraz z prądem, I i napięciem, V pokazano na poniższym rysunku.

Według Ohm’s law, napięcie na rezystorze jest iloczynem przepływającego przez niego prądu i rezystancji tego rezystora. Mathematically, można go przedstawić jako

$V = IR$ Equation 1

$\Rightarrow I = \frac{V}{R}$Equation 2

Gdzie, R jest rezystancją rezystora.

Z równania 2 możemy wywnioskować, że prąd przepływający przez rezystor jest wprost proporcjonalny do przyłożonego napięcia na rezystorze i odwrotnie proporcjonalny do rezystancji rezystora.

Power w elemencie obwodu elektrycznego można przedstawić jako

$P = VI$Equation 3

Zastąp równanie 1 w równaniu 3.

$P = (IR)I$

$\Rightarrow P = I^2 R$ Equation 4

Zastąp równanie 2 w równaniu 3.

$P = V \lgroup \frac{V}{R} \rgroup$

$\Rightarrow P = \frac{V^2}{R}$ Equation 5

Tak więc możemy obliczyć ilość mocy rozproszonej w rezystorze za pomocą jednego ze wzorów wymienionych w równaniach od 3 do 5.

Induktor

Ogólnie cewki indukcyjne będą miały liczbę zwojów. Dlatego wytwarzają strumień magnetyczny, gdy przepływa przez nie prąd. Zatem wielkość całkowitego strumienia magnetycznego wytwarzanego przez cewkę indukcyjną zależy od prądu, przez który przepływam i mają one liniową zależność.

Mathematically, można go zapisać jako

$$\Psi \: \alpha \: I$$

$$\Rightarrow \Psi = LI$$

Gdzie,

• Ψ to całkowity strumień magnetyczny

• L jest indukcyjnością cewki indukcyjnej

Niech prąd przepływający przez cewkę wynosi 1 amper, a napięcie na nim wynosi V woltów. Pliksymbolcewki indukcyjnej wraz z prądem I i napięciem V pokazano na poniższym rysunku.

Według Faraday’s law, napięcie na cewce można zapisać jako

$$V = \frac{d\Psi}{dt}$$

Zastąpić * F = LI w powyższym równaniu.

$$V = \frac{d(LI)}{dt}$$

$$\Rightarrow V = L \frac{dI}{dt}$$

$$\Rightarrow I = \frac{1}{L} \int V dt$$

Z powyższych równań możemy wywnioskować, że istnieje linear relationship między napięciem na cewce a przepływającym przez nią prądem.

Wiemy to power w elemencie obwodu elektrycznego można przedstawić jako

$$P = VI$$

Zastąpić $V = L \frac{dI}{dt}$ w powyższym równaniu.

$$P = \lgroup L \frac{dI}{dt}\rgroup I$$

$$\Rightarrow P = LI \frac{dI}{dt}$$

Całkując powyższe równanie, otrzymamy energy przechowywane w induktorze jako

$$W = \frac{1}{2} LI^2$$

Zatem induktor przechowuje energię w postaci pola magnetycznego.

Kondensator

Generalnie kondensator ma dwie płytki przewodzące, oddzielone dielektrykiem. Jeśli do kondensatora zostanie przyłożone napięcie dodatnie, to zachowuje ładunek dodatni. Podobnie, jeśli napięcie ujemne zostanie przyłożone do kondensatora, wówczas przechowuje ładunek ujemny.

Tak więc ilość ładunku przechowywanego w kondensatorze zależy od przyłożonego napięcia Vw poprzek i mają liniową zależność. Matematycznie można to zapisać jako

$$Q \: \alpha \: V$$

$$\Rightarrow Q = CV$$

Gdzie,

• Q to ładunek przechowywany w kondensatorze.

• C to pojemność kondensatora.

Niech prąd przepływający przez kondensator ma wartość 1 amperów, a napięcie na nim wynosi V woltów. Symbol kondensatora wraz z prądem I i napięciem V pokazano na poniższym rysunku.

Wiemy, że current to nic innego jak time rate of flow of charge. Matematycznie można to przedstawić jako

$$I = \frac{dQ}{dt}$$

Zastąpić $Q = CV$ w powyższym równaniu.

$$I = \frac{d(CV)}{dt}$$

$$\Rightarrow I = C \frac{dV}{dt}$$

$$\Rightarrow V = \frac{1}{C} \int I dt$$

Z powyższych równań możemy wywnioskować, że istnieje linear relationship między napięciem na kondensatorze a przepływającym przez niego prądem.

Wiemy to power w elemencie obwodu elektrycznego można przedstawić jako

$$P = VI$$

Zastąpić $I = C \frac{dV}{dt}$ w powyższym równaniu.

$$P = V \lgroup C \frac{dV}{dt} \rgroup$$

$$\Rightarrow P = CV \frac{dV}{dt}$$

Całkując powyższe równanie, otrzymamy energy przechowywane w kondensatorze jako

$$W = \frac{1}{2}CV^2$$

Zatem kondensator magazynuje energię w postaci pola elektrycznego.

Elementy sieci mogą być dowolnymi z active lub passiverodzaj. Każdy obwód elektryczny lub sieć zawiera jeden z tych dwóch typów elementów sieci lub ich kombinację.

Omówmy teraz następujące dwa prawa, które są powszechnie znane jako Kirchhoff’s laws.

• Aktualne prawo Kirchhoffa
• Prawo napięcia Kirchhoffa

Aktualne prawo Kirchhoffa

Bieżące prawo Kirchhoffa (KCL) stwierdza, że ​​algebraiczna suma prądów opuszczających (lub wchodzących) węzeł jest równa zeru.

ZA Nodeto punkt, w którym są do niego podłączone dwa lub więcej elementów obwodu. Jeśli tylko dwa elementy obwodu są podłączone do węzła, mówi się, że jest to węzeł prosty. Jeśli trzy lub więcej elementów obwodu jest podłączonych do węzła, mówi się, że takPrincipal Node.

Mathematically, KCL można przedstawić jako

$$\displaystyle\sum\limits_{m=1}^M I_m = 0$$

Gdzie,

• I_mto m- ^ta gałąź prądu opuszczająca węzeł.

• M to liczba gałęzi połączonych z węzłem.

Powyższe oświadczenie z dnia KCLmożna również wyrazić jako „algebraiczna suma prądów wchodzących do węzła jest równa algebraicznej sumie prądów opuszczających węzeł”. Zweryfikujmy to stwierdzenie na następującym przykładzie.

Przykład

pisać KCL equation w węźle P poniższego rysunku.

• Na powyższym rysunku prądy gałęzi I ₁ , I ₂ i I ₃ sąentering w węźle P. Rozważ więc znaki ujemne dla tych trzech prądów.

• Na powyższym rysunku prądy gałęzi I ₄ i I ₅ sąleaving z węzła P. Rozważ więc pozytywne znaki dla tych dwóch prądów.

Plik KCL equation w węźle P będzie

$$- I_1 - I_2 - I_3 + I_4 + I_5 = 0$$

$$\Rightarrow I_1 + I_2 + I_3 = I_4 + I_5$$

W powyższym równaniu lewa strona reprezentuje sumę prądów wchodzących, a prawa strona sumę prądów opuszczających.

W tym samouczku rozważymy znak dodatni, gdy prąd opuszcza węzeł i znak ujemny, gdy wchodzi do węzła. Podobnie można rozważyć znak ujemny, gdy prąd opuszcza węzeł i znak dodatni, gdy wchodzi do węzła. W obu przypadkachresult will be same.

Note - KCL jest niezależny od charakteru elementów sieci, które są połączone z węzłem.

Prawo napięcia Kirchhoffa

Prawo Kirchhoffa (KVL) stwierdza, że ​​algebraiczna suma napięć wokół pętli lub siatki jest równa zeru.

ZA Loopjest ścieżką, która kończy się w tym samym węźle, w którym się rozpoczęła. W przeciwieństwie do tego aMesh jest pętlą, która nie zawiera żadnych innych pętli.

Matematycznie KVL można przedstawić jako

$$\displaystyle\sum\limits_{n=1}^N V_n = 0$$

Gdzie,

• V_njest napięciem n- ^tego elementu w pętli (siatce).

• N jest liczbą elementów sieci w pętli (siatce).

Powyższe oświadczenie z dnia KVLmożna również wyrazić jako „suma algebraiczna źródeł napięcia jest równa sumie algebraicznej spadków napięć występujących w pętli”. Zweryfikujmy to stwierdzenie za pomocą następującego przykładu.

Przykład

pisać KVL equation wokół pętli następnego obwodu.

Powyższy schemat obwodu składa się ze źródła napięcia V _S połączonego szeregowo z dwoma rezystorami R ₁ i R ₂ . Spadki napięcia na rezystorach R ₁ i R ₂ wynoszą odpowiednio V ₁ i V ₂ .

Zastosować KVL wokół pętli.

$$V_S - V_1 - V_2 = 0$$

$$\Rightarrow V_S = V_1 + V_2$$

W powyższym równaniu, termin po lewej stronie reprezentuje pojedyncze źródło napięcia VS. Podczas gdy prawa strona reprezentujesum of voltage drops. W tym przykładzie rozważaliśmy tylko jedno źródło napięcia. Dlatego po lewej stronie znajduje się tylko jeden termin. Jeśli weźmiemy pod uwagę wiele źródeł napięcia, to lewa strona zawiera sumę źródeł napięcia.

W tym samouczku traktujemy znak napięcia każdego elementu jako polaryzację drugiego zacisku, który jest obecny podczas podróżowania po pętli. Podobnie można uznać znak każdego napięcia za polaryzację pierwszego zacisku, który jest obecny podczas podróżowania po pętli. W obu przypadkachresult will be same.

Note - KVL jest niezależne od charakteru elementów sieci obecnych w pętli.

W tym rozdziale omówimy następujące dwie zasady podziału wielkości elektrycznych.

• Obecna zasada podziału
• Zasada podziału napięcia

Obecna zasada podziału

Kiedy dwa lub więcej elementów pasywnych jest połączonych równolegle, ilość prądu przepływającego przez każdy element wzrasta divided (współdzielone) między sobą od prądu, który wchodzi do węzła.

Rozważ następujące circuit diagram.

Powyższy schemat obwodu składa się ze źródła prądu wejściowego I_S równolegle z dwoma rezystorami R₁ i R₂. Napięcie na każdym elemencie wynosiV_S. Prądy przepływające przez rezystoryR₁ i R₂ są I₁ i I₂ odpowiednio.

Plik KCL equation w węźle P będzie

$$I_S = I_1 + I_2$$

• Zastąpić $I_1 = \frac{V_S}{R_1}$ i $I_2 = \frac{V_S}{R_2}$ w powyższym równaniu.

$$I_S = \frac{V_S}{R_1} + \frac{V_S}{R_2} = V_S \lgroup \frac {R_2 + R_1 }{R_1 R_2} \rgroup$$

$$\Rightarrow V_S = I_S \lgroup \frac{R_1R_2}{R_1 + R_2} \rgroup$$

• Zastąp wartość V _S w$I_1 = \frac{V_S}{R_1}$.

$$I_1 = \frac{I_S}{R_1}\lgroup \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} \rgroup$$

$$\Rightarrow I_1 = I_S\lgroup \frac{R_2}{R_1 + R_2} \rgroup$$

• Zastąp wartość V _S w$I_2 = \frac{V_S}{R_2}$.

$$I_2 = \frac{I_S}{R_2} \lgroup \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} \rgroup$$

$$\Rightarrow I_2 = I_S \lgroup \frac{R_1}{R_1 + R_2} \rgroup$$

Z równań I ₁ i I ₂ możemy uogólnić, że prąd płynący przez dowolny element pasywny można znaleźć za pomocą następującego wzoru.

$$I_N = I_S \lgroup \frac{Z_1\rVert Z_2 \rVert...\rVert Z_{N-1}}{Z_1 + Z_2 + ... + Z_N}\rgroup$$

Jest to znane jako current division principle i ma to zastosowanie, gdy dwa lub więcej elementów pasywnych jest połączonych równolegle i tylko jeden prąd wpływa do węzła.

Gdzie,

• I _N jest prąd płynący przez bierny element N ^-tego oddziału.

• I _S to prąd wejściowy, który wchodzi do węzła.

• Z ₁ , Z ₂ , ..., Z _N są impedancje 1 ^st oddziału, 2 ^nd oddziału, ..., n ^th oddział odpowiednio.

Zasada podziału napięcia

Kiedy dwa lub więcej elementów pasywnych jest połączonych szeregowo, napięcie obecne na każdym elemencie wzrasta divided (współdzielone) między sobą z napięcia, które jest dostępne w całej tej kombinacji.

Rozważ następujące circuit diagram.

Powyższy schemat obwodu składa się ze źródła napięcia V _S połączonego szeregowo z dwoma rezystorami R ₁ i R ₂ . Prąd płynący przez te elementy ja _S . Spadki napięcia na rezystorach R ₁ i R ₂ wynoszą odpowiednio V ₁ i V ₂ .

Plik KVL equation wokół pętli będzie

$$V_S = V_1 + V_2$$

• Podstawienie V ₁ = I _S R ₁ i V ₂ = I _S R ₂ w powyższym równaniu

$$V_S = I_S R_1 + I_S R_2 = I_S(R_1 + R_2)$$

$$I_S = \frac{V_S}{R_1 + R_2}$$

• Zastąp wartość I _S w V ₁ = I _S R ₁ .

$$V_1 = \lgroup \frac {V_S}{R_1 + R_2} \rgroup R_1$$

$$\Rightarrow V_1 = V_S \lgroup \frac {R_1}{R_1 + R_2} \rgroup$$

• Zastąp wartość I _S w V ₂ = I _S R ₂ .

$$V_2 = \lgroup \frac {V_S}{R_1 + R_2} \rgroup R_2$$

$$\Rightarrow V_2 = V_S \lgroup \frac {R_2}{R_1 + R_2} \rgroup$$

Z równań V ₁ i V ₂ możemy uogólnić, że napięcie na dowolnym elemencie pasywnym można znaleźć za pomocą następującego wzoru.

$$V_N = V_S \lgroup \frac {Z_N}{Z_1 + Z_2 +....+ Z_N}\rgroup$$

Jest to znane jako voltage division principle i ma zastosowanie, gdy dwa lub więcej elementów pasywnych jest połączonych szeregowo i tylko jedno napięcie jest dostępne w całej kombinacji.

Gdzie,

• V _N jest napięciem na N- ^tym elemencie pasywnym.

• V _S jest napięciem wejściowym, które występuje w całej kombinacji szeregowych elementów pasywnych.

• Z ₁ , Z ₂ , ..., Z ₃ są impedancje 1 ^st elementu biernego, 2 ^nd biernego elementu, ..., n ^-tego elementu pasywnego odpowiednio.

Istnieją dwie podstawowe metody rozwiązywania dowolnej sieci elektrycznej: Nodal analysis i Mesh analysis. W tym rozdziale omówimy tematNodal analysis metoda.

W analizie węzłowej rozważymy napięcia węzłowe w odniesieniu do uziemienia. Stąd analiza węzłowa jest również nazywana jakoNode-voltage method.

Procedura analizy węzłowej

Wykonaj poniższe czynności podczas rozwiązywania dowolnej sieci elektrycznej lub obwodu za pomocą analizy węzłowej.

• Step 1 - Zidentyfikuj principal nodes i wybierz jeden z nich jako reference node. Będziemy traktować ten węzeł odniesienia jako Ziemię.

• Step 2 - Oznacz plik node voltages w odniesieniu do ziemi ze wszystkich głównych węzłów z wyjątkiem węzła odniesienia.

• Step 3 - Napisz nodal equationswe wszystkich głównych węzłach z wyjątkiem węzła odniesienia. Równanie węzłowe uzyskuje się stosując najpierw KCL, a następnie prawo Ohma.

• Step 4 - Rozwiąż równania węzłowe uzyskane w kroku 3, aby uzyskać napięcia węzłowe.

Teraz możemy znaleźć prąd przepływający przez dowolny element i napięcie na dowolnym elemencie obecnym w danej sieci za pomocą napięć węzłowych.

Przykład

Znajdź prąd przepływający przez rezystor 20 Ω następującego obwodu za pomocą Nodal analysis.

Step 1 - Są three principle nodesw powyższym obwodzie. Są one oznaczone jako 1, 2 i 3 na poniższym rysunku.

Rozważ na powyższym rysunku node 3 jako węzeł odniesienia (Ziemia).

Step 2- Napięcia węzłowe, V ₁ i V ₂ , są oznaczone na poniższym rysunku.

Na powyższym rysunku V ₁ jest napięciem z węzła 1 względem ziemi, a V ₂ jest napięciem z węzła 2 względem masy.

Step 3 - W takim razie dostaniemy two nodal equations, ponieważ istnieją dwa główne węzły, 1 i 2, inne niż Ground. Kiedy piszemy równania węzłów w węźle, załóżmy, że wszystkie prądy wychodzą z węzła, dla którego nie jest wymieniony kierunek prądu, a napięcie tego węzła jest większe niż inne napięcia węzłowe w obwodzie.

Plik nodal equation w węźle 1 jest

$$\frac{V_1 - 20}{5} + \frac{V_1}{10} + \frac{V_1 - V_2}{10} = 0$$

$$\Rightarrow \frac{2 V_1 - 40 + V_1 + V_1 - V_2}{10} = 0$$

$$\Rightarrow 4V_1 - 40 - V_2 = 0$$

$\Rightarrow V_2 = 4V_1 - 40$ Equation 1

Plik nodal equation w węźle 2 jest

$$-4 + \frac{V_2}{20} + \frac{V_2 - V_1}{10} = 0$$

$$\Rightarrow \frac{-80 + V_2 + 2V_2 - 2V_2}{20} = 0$$

$\Rightarrow 3V_2 − 2V_1 = 80$ Equation 2

Step 4- Znajdowanie napięć węzłowych, V ₁ i V ₂ , rozwiązując równanie 1 i równanie 2.

Zastąp równanie 1 w równaniu 2.

$$3(4 V_1 - 40) - 2 V_1 = 80$$

$$\Rightarrow 12 V_1 - 120 - 2V_1 =80$$

$$\Rightarrow 10 V_1 = 200$$

$$\Rightarrow V_1 = 20V$$

Zastąp V ₁ = 20 V w równaniu 1.

$$V_2 = 4(20) - 40$$

$$\Rightarrow V_2 = 40V$$

Tak więc otrzymaliśmy napięcia węzłowe V ₁ i V ₂ jako20 V i 40 V odpowiednio.

Step 5- Napięcie na rezystorze 20 Ω to nic innego jak napięcie węzła V ₂ i wynosi ono 40 V. Teraz możemy znaleźć prąd przepływający przez rezystor 20 Ω, korzystając z prawa Ohma.

$$I_{20 \Omega} = \frac{V_2}{R}$$

Zastąp wartości V ₂ i R w powyższym równaniu.

$$I_{20 \Omega} = \frac{40}{20}$$

$$\Rightarrow I_{20 \Omega} = 2A$$

Zatem prąd przepływający przez rezystor 20 Ω danego obwodu wynosi 2 A.

Note- Z powyższego przykładu możemy wywnioskować, że musimy rozwiązać „n” równań węzłowych, jeśli obwód elektryczny ma „n” głównych węzłów (poza węzłem odniesienia). Dlatego możemy wybrać analizę węzłową, gdy pliknumber of principal nodes (z wyjątkiem węzła odniesienia) jest mniejsza niż liczba oczek dowolnego obwodu elektrycznego.

W analizie siatki rozważymy prądy przepływające przez każdą siatkę. Dlatego analiza siatki jest również nazywana jakoMesh-current method.

ZA branchto ścieżka łącząca dwa węzły i zawierająca element obwodu. Jeśli gałąź należy tylko do jednej siatki, wówczas prąd gałęzi będzie równy prądowi siatki.

Jeśli gałąź jest wspólna dla dwóch siatek, wówczas prąd odgałęzienia będzie równy sumie (lub różnicy) dwóch prądów siatki, gdy są one w tym samym (lub przeciwnym) kierunku.

Procedura analizy siatki

Wykonaj poniższe czynności podczas rozwiązywania dowolnej sieci elektrycznej lub obwodu za pomocą analizy siatki.

• Step 1 - Zidentyfikuj meshes i oznacz prądy siatki w kierunku zgodnym lub przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.

• Step 2 - Obserwuj wielkość prądu przepływającego przez każdy element pod względem prądów siatki.

• Step 3 - Napisz mesh equationsdo wszystkich oczek. Równanie siatki uzyskuje się, stosując najpierw KVL, a następnie prawo Ohma.

• Step 4 - Rozwiąż równania siatki uzyskane w kroku 3, aby uzyskać mesh currents.

Teraz możemy znaleźć prąd przepływający przez dowolny element i napięcie na dowolnym elemencie obecnym w danej sieci za pomocą prądów siatkowych.

Przykład

Znajdź napięcie na rezystorze 30 Ω za pomocą Mesh analysis.

Step 1- W powyższym obwodzie są dwa oczka. Plikmesh currentsI ₁ i I ₂ są rozpatrywane zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Te prądy siatkowe pokazano na poniższym rysunku.

Step 2- Prąd siatki I ₁ przepływa przez źródło napięcia 20 V i rezystor 5 Ω. Podobnie prąd siatki I ₂ przepływa przez rezystor 30 Ω i źródło napięcia -80 V. Ale różnica dwóch prądów siatki, I ₁ i I ₂ , przepływa przez rezystor 10 Ω, ponieważ jest to wspólna gałąź dwóch oczek.

Step 3 - W takim razie dostaniemy two mesh equationsponieważ w danym obwodzie są dwa oczka. Kiedy piszemy równania siatki, załóżmy, że prąd siatki tej konkretnej siatki jest większy niż wszystkie inne prądy siatki w obwodzie.

Plik mesh equation pierwszej siatki jest

$$20 - 5I_1 -10(I_1 - I_2) = 0$$

$$\Rightarrow 20 - 15I_1 + 10I_2 = 0$$

$$\Rightarrow 10I_2 = 15I_1 - 20$$

Podziel powyższe równanie przez 5.

$$2I_2 = 3I_1 - 4$$

Pomnóż powyższe równanie przez 2.

$4I_2 = 6I_1 - 8$ Equation 1

Plik mesh equation drugiej siatki jest

$$-10(I_2 - I_1) - 30I_2 + 80 = 0$$

Podziel powyższe równanie przez 10.

$$-(I_2 - I_1) - 3I_2 + 8 = 0$$

$$\Rightarrow -4I_2 + I_1 + 8 = 0$$

$4I_2 = I_1 + 8$ Equation 2

Step 4- Znajdowanie prądów siatkowych I ₁ i I ₂ poprzez rozwiązanie równania 1 i równania 2.

Wyrażenia po lewej stronie Równania 1 i Równania 2 są takie same. Dlatego zrównaj prawostronne wyrazy Równania 1 i Równania 2, aby znaleźć wartość I ₁ .

$$6I_1 - 8 = I_1 + 8$$

$$\Rightarrow 5I_1 = 16$$

$$\Rightarrow I_1 = \frac{16}{5} A$$

Zastąp wartość I ₁ w równaniu 2.

$$4I_2 = \frac{16}{5} + 8$$

$$\Rightarrow 4I_2 = \frac{56}{5}$$

$$\Rightarrow I_2 = \frac{14}{5} A$$

Tak więc otrzymaliśmy prądy siatki I ₁ i I ₂ jako$\mathbf{\frac{16}{5}}$ A i $\mathbf{\frac{14}{5}}$ A odpowiednio.

Step 5- Prąd przepływający przez rezystor 30 Ω to nic innego jak prąd siatki I ₂ i jest równy$\frac{14}{5}$ A. Teraz możemy znaleźć napięcie na rezystorze 30 Ω, korzystając z prawa Ohma.

$$V_{30 \Omega} = I_2 R$$

Zastąp wartości I ₂ i R w powyższym równaniu.

$$V_{30 \Omega} = \lgroup \frac{14}{5} \rgroup 30$$

$$\Rightarrow V_{30 \Omega} = 84V$$

Dlatego napięcie na rezystorze 30 Ω danego obwodu wynosi 84 V.

Note 1- Z powyższego przykładu możemy wywnioskować, że musimy rozwiązać równania siatki „m”, jeśli obwód elektryczny ma oczka „m”. Dlatego możemy wybrać analizę Mesh, gdy liczba oczek jest mniejsza niż liczba głównych węzłów (poza węzłem odniesienia) dowolnego obwodu elektrycznego.

Note 2 - Możemy wybrać analizę węzłową lub analizę siatkową, gdy liczba oczek jest równa liczbie głównych węzłów (poza węzłem odniesienia) w dowolnym obwodzie elektrycznym.

Jeśli obwód składa się z dwóch lub więcej podobnych elementów pasywnych i są połączone wyłącznie szeregowo lub równolegle, to możemy je zastąpić jednym równoważnym elementem pasywnym. Stąd ten obwód nazywa sięequivalent circuit.

W tym rozdziale omówimy następujące dwa równoważne obwody.

• Obwód równoważny serii
• Równoległy obwód równoważny

Obwód równoważny serii

Jeśli podłączone są podobne elementy pasywne series, wtedy ten sam prąd przepłynie przez wszystkie te elementy. Ale napięcie zostaje podzielone na każdy element.

Rozważ następujące circuit diagram.

Posiada jedno źródło napięcia (V _S ) i trzy rezystory o rezystancji R ₁ , R ₂ i R ₃ . Wszystkie te elementy są połączone szeregowo. Obecny SI przepływa przez wszystkie te elementy.

Powyższy obwód ma tylko jedną siatkę. PlikKVL equation wokół tej siatki jest

$$V_S = V_1 + V_2 + V_3$$

Zastąpić $V_1 = I_S R_1, \: V_2 = I_S R_2$ i $V_3 = I_S R_3$ w powyższym równaniu.

$$V_S = I_S R_1 + I_S R_2 + I_S R_3$$

$$\Rightarrow V_S = I_S(R_1 + R_2 + R_3)$$

Powyższe równanie ma postać $V_S = I_S R_{Eq}$ gdzie,

$$R_{Eq} = R_1 + R_2 + R_3$$

Plik equivalent circuit diagram danego obwodu pokazano na poniższym rysunku.

Oznacza to, że jeśli kilka rezystorów jest połączonych szeregowo, możemy je zastąpić equivalent resistor. Rezystancja tego równoważnego rezystora jest równa sumie rezystancji wszystkich tych wielu rezystorów.

Note 1- Jeżeli cewki indukcyjne `` N '' o indukcyjności L ₁ , L ₂ , ..., L _N są połączone szeregowo, toequivalent inductance będzie

$$L_{Eq} = L_1 + L_2 + ... + L_N$$

Note 2- Jeśli kondensatory `` N '' o pojemnościach C ₁ , C ₂ , ..., C _N są połączone szeregowo, toequivalent capacitance będzie

$$\frac{1}{C_{Eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + ... + \frac{1}{C_N}$$

Równoległy obwód równoważny

Jeśli podłączone są podobne elementy pasywne parallel, to takie samo napięcie będzie utrzymywane na każdym elemencie. Ale prąd przepływający przez każdy element zostaje podzielony.

Rozważ następujące circuit diagram.

Posiada jedno źródło prądu (I _S ) i trzy rezystory o rezystancji R ₁ , R ₂ i R ₃ . Wszystkie te elementy są połączone równolegle. Napięcie (V _S ) jest dostępne na wszystkich tych elementach.

Powyższy obwód ma tylko jeden główny węzeł (P) oprócz węzła uziemienia. PlikKCL equation w tym głównym węźle (P) jest

$$I_S = I_1 + I_2 + I_3$$

Zastąpić $I_1 = \frac{V_S}{R_1}, \: I_2 = \frac{V_S}{R_2}$ i $I_3 = \frac{V_S}{R_3}$ w powyższym równaniu.

$$I_S = \frac{V_S}{R_1} + \frac{V_S}{R_2} + \frac{V_S}{R_3}$$

$$\Rightarrow I_S = V_S \lgroup \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} \rgroup$$

$$\Rightarrow V_S = I_S\left [ \frac{1}{\lgroup \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} \rgroup} \right ]$$

Powyższe równanie ma postać V _S = I _S R _Eq gdzie,

$$R_{Eq} = \frac{1}{\lgroup \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} \rgroup}$$

$$\frac{1}{R_{Eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}$$

Plik equivalent circuit diagram danego obwodu pokazano na poniższym rysunku.

Oznacza to, że jeśli kilka rezystorów jest połączonych równolegle, możemy je zastąpić równoważnym rezystorem. Opór tegoequivalent resistor jest równe odwrotności sumy odwrotności każdego oporu wszystkich tych wielokrotnych rezystorów.

Note 1- Jeżeli cewki indukcyjne `` N '' o indukcyjności L ₁ , L ₂ , ..., L _N są połączone równolegle, toequivalent inductance będzie

$$\frac{1}{L_{Eq}} = \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2} + ... + \frac{1}{L_N}$$

Note 2- Jeśli kondensatory `` N '' o pojemnościach C ₁ , C ₂ , ..., C _N są połączone równolegle, toequivalent capacitance będzie

$$C_{Eq} = C_1 + C_2 + ... + C_N$$

W poprzednim rozdziale omówiliśmy obwody równoważne w kombinacji szeregowej i kombinacji równoległej indywidualnie. W tym rozdziale rozwiążmy przykładowy problem, biorąc pod uwagę zarówno szeregowe, jak i równoległe kombinacje podobnych elementów pasywnych.

Przykład

Znajdźmy plik equivalent resistance przez zaciski A i B następującej sieci elektrycznej.

Uzyskamy równoważną rezystancję na zaciskach A i B, minimalizując powyższą sieć do pojedynczego rezystora między tymi dwoma zaciskami. W tym celu musimyidentify the combination of resistors które są połączone szeregowo i równolegle, a następnie znajdź równoważny opór odpowiedniej formy na każdym kroku.

Podana sieć elektryczna to modified w poniższy formularz, jak pokazano na poniższym rysunku.

Na powyższym rysunku litery od C do G służą do oznaczania różnych zacisków.

Step 1 - W powyższej sieci dwa 6 Ω resistors są podłączone parallel. Tak więc równoważna rezystancja między D i E będzie wynosić 3 Ω. Można to uzyskać, wykonując następujące uproszczenie.

$$R_{DE} = \frac{6 \times 6}{6 + 6} = \frac{36}{12} = 3 \Omega$$

W powyższej sieci rezystory 4 Ω i 8 Ω są podłączone series. Tak więc równoważna rezystancja między F i G będzie wynosić 12 Ω. Można to uzyskać, wykonując następujące uproszczenie.

$$R_{FG} = 4 + 8 = 12 \Omega$$

Step 2 - Uproszczona instalacja elektryczna network after Step 1 pokazano na poniższym rysunku.

W powyższej sieci dwa 3 Ω resistors są podłączone series. Tak więc równoważny opór między C i E będzie6 Ω. Można to uzyskać, wykonując następujące uproszczenie.

$$R_{CE} = 3 + 3 = 6 \Omega$$

Step 3 - Uproszczona instalacja elektryczna network after Step 2 pokazano na poniższym rysunku.

W powyższej sieci rezystory 6 Ω i 12 Ω są podłączone parallel. Tak więc równoważna rezystancja między C i B będzie wynosić 4 Ω. Można to uzyskać, wykonując następujące uproszczenie.

$$R_{CB} = \frac{6 \times 12}{6 + 12} = \frac{72}{18} = 4 \Omega$$

Step 4 - Uproszczona instalacja elektryczna network after Step 3 pokazano na poniższym rysunku.

W powyższej sieci rezystory 2 Ω i 4 Ω są podłączone seriesmiędzy zaciskami A i B. Zatem równoważna rezystancja między A i B będzie wynosić 6 Ω. Można to uzyskać, wykonując następujące uproszczenie.

$$R_{AB} = 2 + 4 = 6 \Omega$$

Dlatego równoważna rezystancja między zaciskami A i B danej sieci elektrycznej wynosi 6 Ω.

W poprzednim rozdziale omówiliśmy przykładową rezystancję równoważną związaną z problemem. Tam obliczyliśmyequivalent resistancełatwo między zaciskami A i B danej sieci elektrycznej. Ponieważ na każdym kroku otrzymaliśmy kombinację rezystorów połączonych szeregowo lub równolegle.

Jednak w niektórych sytuacjach trudno jest uprościć sieć, stosując poprzednie podejście. Na przykład rezystory połączone w kształcie trójkąta (δ) lub gwiazdy. W takich sytuacjach musimyconvertsieć jednej postaci do drugiej w celu dalszego uproszczenia jej poprzez zastosowanie kombinacji szeregowej lub kombinacji równoległej. W tym rozdziale omówimy tematDelta to Star Conversion.

Delta Network

Rozważ następujące delta network jak pokazano na poniższym rysunku.

Poniższe równania reprezentują equivalent resistance między dwoma terminalami sieci delta, gdy trzeci terminal jest otwarty.

$$R_{AB} = \frac{(R_1 + R_3)R_2}{R_1 + R_2 + R_3}$$

$$R_{BC} = \frac{(R_1 + R_2)R_3}{R_1 + R_2 + R_3}$$

$$R_{CA} = \frac{(R_2 + R_3)R_1}{R_1 + R_2 + R_3}$$

Star Network

Poniższy rysunek przedstawia equivalent star network odpowiadające powyższej sieci delta.

Poniższe równania reprezentują equivalent resistance między dwoma terminalami sieci gwiazdy, gdy trzeci terminal jest otwarty.

$$R_{AB} = R_A + R_B$$

$$R_{BC} = R_B + R_C$$

$$R_{CA} = R_C + R_A$$

Star Network Resistances w kategoriach Delta Network Resistances

Otrzymamy następujące równania, zrównując wyrazy po prawej stronie powyższych równań, dla których wyrazy po lewej stronie są takie same.

$R_A + R_B = \frac{(R_1 + R_3)R_2}{R_1 + R_2 + R_3}$ Equation 1

$R_B + R_C = \frac{(R_1 + R_2)R_3}{R_1 + R_2 + R_3}$ Equation 2

$R_C + R_A = \frac{(R_2 + R_3)R_1}{R_1 + R_2 + R_3}$ Equation 3

Dodając powyższe trzy równania, otrzymamy

$$2(R_A + R_B + R_C) = \frac{2(R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1)}{R_1 + R_2 + R_3}$$

$\Rightarrow R_A + R_B + R_C = \frac{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1}{R_1 + R_2 + R_3}$ Equation 4

Odejmij równanie 2 od równania 4.

$R_A + R_B + R_C - (R_B + R_C) = \frac{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1}{R_1 + R_2 + R_3} - \frac{(R_1 + R_2)R_3}{R_1 + R_2 + R_3}$

$$R_A = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2 + R_3}$$

Odejmując równanie 3 od równania 4, otrzymamy

$$R_B = \frac{R_2 R_3}{R_1 + R_2 + R_3}$$

Odejmując równanie 1 od równania 4, otrzymamy

$$R_C = \frac{R_3 R_1}{R_1 + R_2 + R_3}$$

Korzystając z powyższych zależności, możemy znaleźć opory sieci gwiazd na podstawie rezystancji sieci delta. W ten sposób możemy przekonwertować plikdelta network do star network.

Przykład

Obliczmy resistances of star network, które są równoważne sieci typu trójkąt, jak pokazano na poniższym rysunku.

Biorąc pod uwagę resistances of delta networkjako R ₁ = 10 Ω, R ₂ = 60 Ω i R ₃ = 30 Ω.

Znamy następujące relacje oporów sieci gwiazd w zakresie oporów sieci delta.

$$R_A = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2 + R_3}$$

$$R_B = \frac{R_2 R_3}{R_1 + R_2 + R_3}$$

$$R_C = \frac{R_3 R_1}{R_1 + R_2 + R_3}$$

Zastąp wartości R ₁ , R ₂ i R ₃ w powyższych równaniach.

$$R_A = \frac{10 \times 60}{10 +60+30} = \frac{600}{100} = 6\Omega$$

$$R_B = \frac{60 \times 30}{10 +60+30} = \frac{1800}{100} = 18\Omega$$

$$R_C = \frac{30 \times 10}{10 +60+30} = \frac{300}{100} = 3\Omega$$

Więc otrzymaliśmy rezystancje sieci gwiazd jako R_A = 6 Ω, R_B = 18 Ω i R_C = 3 Ω, które są równoważne rezystancjom danej sieci trójkątnej.

W poprzednim rozdziale omówiliśmy konwersję sieci delta w równoważną sieć gwiazd. Omówmy teraz konwersję sieci gwiazdowej na równoważną sieć delta. Ta konwersja nazywa sięStar to Delta Conversion.

W poprzednim rozdziale otrzymaliśmy plik resistances of star network z sieci delta jako

$R_A = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2 + R_3}$ Equation 1

$R_B = \frac{R_2 R_3}{R_1 + R_2 + R_3}$ Equation 2

$R_C = \frac{R_3 R_1}{R_1 + R_2 + R_3}$ Equation 3

Delta Network Resistances w kategoriach Star Network Resistances

Posługujmy się powyższymi równaniami, aby uzyskać rezystancje sieci delta w kategoriach rezystancji sieci gwiazd.

• Multiply każdy zestaw dwóch równań, a następnie add.

$$R_A R_B + R_B R_C + R_C R_A = \frac{R_1 R_2^2 R_3 + R_2 R_3^2 R_1 + R_3 R_1^2 R_2}{(R_1 + R_2 + R_3)^2}$$

$$\Rightarrow R_A R_B + R_B R_C + R_C R_A = \frac{R_1 R_2 R_3(R_1 + R_2 + R_3)}{(R_1 + R_2 + R_3)^2}$$

$\Rightarrow R_A R_B + R_B R_C + R_C R_A = \frac{R_1 R_2 R_3}{R_1 + R_2 + R_3}$ Equation 4

• Dzieląc równanie 4 przez równanie 2, otrzymamy

$$\frac{R_A R_B + R_B R_C + R_C R_A}{R_B} = R_1$$

$$\Rightarrow R_1 = R_C + R_A + \frac{R_C R_A}{R_B}$$

• Dzieląc równanie 4 przez równanie 3, otrzymamy

$$R_2 = R_A + R_B + \frac{R_A R_B}{R_C}$$

• Dzieląc równanie 4 przez równanie 1, otrzymamy

$$R_3 = R_B + R_C + \frac{R_B R_C}{R_A}$$

Korzystając z powyższych zależności, możemy znaleźć opory sieci delta na podstawie rezystancji sieci gwiazdowej. W ten sposób możemy konwertowaćstar network into delta network.

Przykład

Obliczmy resistances of delta network, które są równoważne sieci gwiazdowej, jak pokazano na poniższym rysunku.

Biorąc pod uwagę resistances of star networkjako R _A = 6 Ω, R _B = 18 Ω i R _C = 3 Ω .

Znamy następujące relacje resistances of delta network pod względem rezystancji sieci gwiazdowej.

$$R_1 = R_C + R_A + \frac{R_C R_A}{R_B}$$

$$R_2 = R_A + R_B + \frac{R_A R_B}{R_C}$$

$$R_3 = R_B + R_C + \frac{R_B R_C}{R_A}$$

Zastąpić wartości R _A , R _B i R _C, w powyższych równań.

$$R_1 = 3 + 6 + \frac{3 \times 6}{18} = 9 + 1 = 10 \Omega$$

$$R_2 = 6 + 18 + \frac{6 \times 18}{3} = 24 + 36 = 60 \Omega$$

$$R_3 = 18 + 3 + \frac{18 \times 3}{6} = 21 + 9 = 30 \Omega$$

Więc otrzymaliśmy rezystancje sieci delta jako R₁ = 10 Ω, R₂ = 60 Ω i R₃ = 30 Ω, które są równoważne rezystancjom danej sieci gwiazd.

Topologia sieci to graficzna reprezentacja obwodów elektrycznych. Jest to przydatne do analizowania złożonych obwodów elektrycznych poprzez przekształcanie ich w wykresy sieciowe. Topologia sieci jest również nazywana jakoGraph theory.

Podstawowa terminologia topologii sieci

Omówmy teraz podstawową terminologię związaną z tą topologią sieci.

Wykres

Graf sieci nazywa się po prostu as graph. Składa się z zestawu węzłów połączonych gałęziami. Na wykresach węzeł to wspólny punkt dwóch lub więcej gałęzi. Czasami tylko jedna gałąź może łączyć się z węzłem. Gałąź to odcinek linii, który łączy dwa węzły.

Każdy obwód elektryczny lub sieć można przekształcić w jej odpowiednik graphpoprzez wymianę elementów biernych i źródeł napięcia na zwarcia, a źródeł prądowych na obwody otwarte. Oznacza to, że odcinki linii na wykresie reprezentują gałęzie odpowiadające elementom pasywnym lub źródłom napięcia w obwodzie elektrycznym.

Przykład

Rozważmy następujące kwestie electric circuit.

W powyższym obwodzie są four principal nodes a te są oznaczone 1, 2, 3 i 4. Są seven branches w powyższym obwodzie, w którym jedna gałąź zawiera źródło napięcia 20 V, druga gałąź zawiera źródło prądowe 4 A, a pozostałe pięć gałęzi zawiera rezystory o rezystancji odpowiednio 30 Ω, 5 Ω, 10 Ω, 10 Ω i 20 Ω.

Równoważny graph odpowiadający powyższemu obwodowi elektrycznemu pokazano na poniższym rysunku.

Na powyższym wykresie są four nodesa te są oznaczone odpowiednio 1, 2, 3 i 4. Są takie same, jak w przypadku głównych węzłów w obwodzie elektrycznym. Tam sąsix branches na powyższym wykresie, a te są oznaczone odpowiednio a, b, c, d, e i f.

W tym przypadku mamy one branch less na wykresie, ponieważ źródło prądu 4 A jest wykonane jako obwód otwarty, podczas przekształcania obwodu elektrycznego w jego równoważny wykres.

Z tego przykładu możemy wywnioskować następujące punkty -

• Plik number of nodes obecny na wykresie będzie równy liczbie głównych węzłów obecnych w obwodzie elektrycznym.

• Plik number of branches obecny na wykresie będzie mniejszy lub równy liczbie gałęzi obecnych w obwodzie elektrycznym.

Rodzaje wykresów

Poniżej przedstawiono rodzaje wykresów -

• Połączony wykres
• Niepowiązany wykres
• Kierowany wykres
• Niekierowany wykres

Omówmy teraz te wykresy jeden po drugim.

Połączony wykres

Jeśli istnieje co najmniej jedna gałąź między którymkolwiek z dwóch węzłów grafu, wówczas jest nazywana connected graph. Oznacza to, że każdy węzeł w połączonym grafie będzie miał jedną lub więcej gałęzi, które są z nim połączone. Zatem żaden węzeł nie będzie prezentowany jako izolowany lub oddzielony.

Wykres przedstawiony w poprzednim przykładzie to connected graph. Tutaj wszystkie węzły są połączone trzema gałęziami.

Niepowiązany wykres

Jeśli istnieje co najmniej jeden węzeł na wykresie, który pozostaje niepołączony nawet pojedynczą gałęzią, wówczas jest nazywany unconnected graph. Tak więc na niepołączonym grafie będzie jeden lub więcej izolowanych węzłów.

Rozważ wykres pokazany na poniższym rysunku.

Na tym wykresie węzły 2, 3 i 4 są połączone po dwie gałęzie. Ale ani jedna gałąź nie została podłączona donode 1. Zatem węzeł 1 staje sięisolated node. Stąd powyższy wykres jestunconnected graph.

Kierowany wykres

Jeśli wszystkie gałęzie wykresu są reprezentowane za pomocą strzałek, wówczas ten wykres jest nazywany directed graph. Te strzałki wskazują kierunek przepływu prądu w każdej gałęzi. Stąd ten wykres jest również nazywany jakooriented graph.

Rozważ wykres pokazany na poniższym rysunku.

Na powyższym wykresie kierunek przepływu prądu jest przedstawiony strzałką w każdej gałęzi. Dlatego jest to plikdirected graph.

Niekierowany wykres

Jeśli gałęzie wykresu nie są reprezentowane strzałkami, wtedy ten wykres jest nazywany undirected graph. Ponieważ nie ma kierunków przepływu prądu, ten wykres jest również nazywanyunoriented graph.

Wykres, który został pokazany w pierwszym przykładzie tego rozdziału, to plik unoriented graphponieważ nie ma strzałek na gałęziach tego wykresu.

Podgraf i jego rodzaje

Część wykresu nosi nazwę subgraph. Podgrafy otrzymujemy usuwając niektóre węzły i / lub gałęzie danego grafu. Tak więc liczba gałęzi i / lub węzłów podgrafu będzie mniejsza niż w oryginalnym wykresie. Stąd możemy wywnioskować, że podgraf jest podzbiorem wykresu.

Poniżej znajdują się two types podgrafów.

• Tree
• Co-Tree

Drzewo

Drzewo jest połączonym podgrafem danego grafu, który zawiera wszystkie węzły wykresu. Ale w tym podgrafie nie powinno być żadnej pętli. Gałęzie drzewa nazywane są jakotwigs.

Rozważ następujące connected subgraph wykresu, który przedstawiono na przykładzie na początku tego rozdziału.

Ten połączony podgraf zawiera wszystkie cztery węzły danego wykresu i nie ma pętli. Dlatego jest to plikTree.

To drzewo ma tylko trzy gałęzie z sześciu gałęzi danego wykresu. Ponieważ, jeśli weźmiemy pod uwagę choćby jedną gałąź pozostałych gałęzi wykresu, to w powyższym połączonym podgrafie będzie pętla. Wtedy wynikowy połączony podgraf nie będzie Drzewem.

Z powyższego drzewa możemy wywnioskować, że plik number of branches które są obecne w drzewie, powinny być równe n - 1 gdzie „n” to liczba węzłów danego wykresu.

Co-Tree

Co-Tree to podgraf, który jest tworzony z gałęzi, które są usuwane podczas tworzenia drzewa. Dlatego nazywa się toComplementdrzewa. Każdemu Drzewu będzie odpowiadać Drzewo Co, a jego gałęzie nazywane są jakolinkslub akordy. Ogólnie linki są przedstawiane liniami przerywanymi.

Plik Co-Tree odpowiadające powyższemu drzewu pokazano na poniższym rysunku.

To drzewo wspólne ma tylko trzy węzły zamiast czterech węzłów danego wykresu, ponieważ węzeł 4 jest odizolowany od powyższego drzewa wspólnego. Dlatego Drzewo Co nie musi być połączonym podgrafem. To drzewo ma trzy gałęzie i tworzą one pętlę.

Plik number of brancheswystępujące w jednym drzewie będą równe różnicy między liczbą gałęzi danego wykresu a liczbą gałązek. Matematycznie można to zapisać jako

$$l = b - (n - 1)$$

$$l = b - n + 1$$

Gdzie,

• l to liczba linków.
• b to liczba gałęzi obecnych na danym wykresie.
• n to liczba węzłów obecnych na danym wykresie.

Jeśli połączymy drzewo i odpowiadające mu drzewo wspólne, otrzymamy plik original graph jak pokazano niżej.

Gałęzie drzewa d, e i f są przedstawione liniami ciągłymi. Gałęzie drzewa a, b i c są przedstawione liniami przerywanymi.

W poprzednim rozdziale omówiliśmy, jak przekształcić obwód elektryczny w równoważny wykres. Omówmy teraz macierze topologii sieci, które są przydatne do rozwiązywania dowolnego problemu z obwodem elektrycznym lub siecią przy użyciu ich równoważnych wykresów.

Macierze powiązane z wykresami sieci

Poniżej przedstawiono trzy macierze używane w teorii grafów.

• Macierz przypadków
• Podstawowa macierz pętli
• Matryca podstawowego zestawu cięcia

Macierz przypadków

Macierz incydentów przedstawia wykres danego obwodu elektrycznego lub sieci. W związku z tym możliwe jest narysowanie wykresu tego samego obwodu elektrycznego lub sieci z plikuincidence matrix.

Wiemy, że graf składa się ze zbioru węzłów, które są połączone niektórymi gałęziami. Tak więc łączenie gałęzi z węzłem nazywa się przypadkiem. Macierz zachorowań jest oznaczona literą A. Jest również nazywana macierzą częstości od węzła do gałęzi lubnode incidence matrix.

Jeśli istnieje „n” węzłów, a gałęzie „b” są obecne w pliku directed graph, to macierz incydencji będzie miała „n” wierszy i „b” kolumn. Tutaj wiersze i kolumny odpowiadają węzłom i gałęziom skierowanego grafu. Stądorder macierzy zapadalności będzie n × b.

Plik elements of incidence matrix będzie mieć jedną z tych trzech wartości, +1, -1 i 0.

• Jeśli prąd odgałęzienia wychodzi z wybranego węzła, to wartość elementu będzie wynosić +1.

• Jeśli prąd rozgałęzienia wchodzi w kierunku wybranego węzła, wówczas wartość elementu będzie wynosić -1.

• Jeśli prąd rozgałęzienia nie dociera do wybranego węzła ani nie wychodzi z wybranego węzła, wówczas wartość elementu będzie wynosić 0.

Procedura znajdowania macierzy zdarzeń

Wykonaj poniższe kroki, aby znaleźć macierz częstości na wykresie skierowanym.

• Wybierz węzeł w momencie danego wykresu ukierunkowanego i wypełnij wartości elementów macierzy zdarzeń odpowiadających temu węzłowi w wierszu.

• Powtórz powyższy krok dla wszystkich węzłów danego grafu skierowanego.

Przykład

Rozważ następujące directed graph.

Plik incidence matrix odpowiadający powyższemu skierowanemu wykresowi będzie

$$A = \begin{bmatrix}-1 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0\\0 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0\\1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0 & 1 & -1 & -1 \end{bmatrix}$$

Wiersze i kolumny powyższej macierzy reprezentują węzły i gałęzie danego grafu skierowanego. Rząd tej macierzy częstości wynosi 4 × 6.

Obserwując powyższą macierz zdarzeń, możemy stwierdzić, że summationkolumnowych elementów macierzy incydentów jest równa zeru. Oznacza to, że prąd odgałęzienia wychodzi z jednego węzła i wchodzi tylko do innego pojedynczego węzła.

Note- Jeśli dany wykres jest typu niekierowanego, zamień go na wykres skierowany, przedstawiając strzałki na każdej jego gałęzi. Możemy wziąć pod uwagę dowolny kierunek przepływu prądu w każdej gałęzi.

Podstawowa macierz pętli

Podstawowa pętla lub f-loopto pętla, która zawiera tylko jedno łącze i jedną lub więcej gałązek. Tak więc liczba pętli F będzie równa liczbie łączy. Podstawowa macierz pętli jest oznaczona literą B. Jest również nazywana asfundamental circuit matrixi macierz wiązana. Ta macierz przedstawia związek między prądami gałęzi i prądami łącza.

Jeśli istnieje „n” węzłów, a gałęzie „b” są obecne w pliku directed graph, wówczas liczba linków występujących w wspólnym drzewie, które odpowiada wybranemu drzewu danego wykresu, będzie wynosić b-n + 1.

Zatem podstawowa macierz pętli będzie miała wiersze „b-n + 1” i kolumny „b”. Tutaj wiersze i kolumny odpowiadają połączeniom ko-drzewa i gałęzi danego wykresu. Stąd kolejność podstawowej macierzy pętli będzie(b - n + 1) × b.

Plik elements of fundamental loop matrix będzie mieć jedną z tych trzech wartości, +1, -1 i 0.

• Wartość elementu wyniesie +1 dla łącza wybranej pętli F.

• Wartość elementów będzie wynosić 0 dla pozostałych linków i gałązek, które nie są częścią wybranej pętli F.

• Jeżeli kierunek prądu pałąka wybranej pętli f jest taki sam, jak prądu łącza pętli f, to wartość elementu będzie wynosić +1.

• Jeżeli kierunek prądu gałązki wybranej pętli f jest przeciwny do prądu łącza pętli f, to wartość elementu będzie wynosić -1.

Procedura znajdowania podstawowej macierzy pętli

Wykonaj poniższe kroki, aby znaleźć podstawową macierz pętli danego wykresu skierowanego.

• Wybierz drzewo danego wykresu skierowanego.

• Dołączając jedno łącze na raz, otrzymamy jedną pętlę F. Wypełnij wartości elementów odpowiadających tej pętli f w wierszu podstawowej macierzy pętli.

• Powtórz powyższy krok dla wszystkich linków.

Przykład

Spójrz na następujące drzewo directed graph, który jest brany pod uwagę w przypadku macierzy zdarzeń.

Powyższe drzewo zawiera trzy gałęzie d, e i f. W związku z tym gałęzie a, b i c będą łączami drzewa wspólnego odpowiadającego powyższemu drzewu. Dołączając po jednym linku do powyższego drzewa, otrzymamy jedenf-loop. Tak więc będą trzyf-loops, ponieważ istnieją trzy linki. Te trzy pętle F pokazano na poniższym rysunku.

Na powyższym rysunku gałęzie, które są przedstawione kolorowymi liniami, tworzą pętle F. Otrzymamy wartości elementów dla wierszy macierzy Tie-set z każdej pętli f. WięcTieset matrix z powyższego drzewa będzie

$$B = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & -1 & 0 & -1\\0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 1 \end{bmatrix}$$

Wiersze i kolumny powyższej macierzy reprezentują łącza i gałęzie danego skierowanego wykresu. Rząd tej macierzy częstości to 3 × 6.

Plik number of Fundamental loop matriceswykresu skierowanego będzie równa liczbie drzew tego wykresu skierowanego. Ponieważ każde drzewo będzie miało jedną podstawową macierz pętli.

Podstawowa macierz wycięć

Zestaw do cięcia podstawowego lub f-cut setjest minimalną liczbą gałęzi, które są usuwane z wykresu w taki sposób, że oryginalny wykres stanie się dwoma izolowanymi podgrafami. Zestaw f-cut zawiera tylkoone twigi co najmniej jeden link. Tak więc liczba zestawów ciętych w kształcie litery F będzie równa liczbie gałązek.

Fundamental cut set matrix jest oznaczona literą C. Ta macierz podaje zależność między napięciami gałęzi i napięciami gałęzi.

Jeśli istnieje „n” węzłów, a gałęzie „b” są obecne w pliku directed graph, to liczba gałązek obecnych w wybranym Drzewie danego wykresu wyniesie n-1. Zatem podstawowa macierz zbioru cięć będzie miała wiersze „n-1” i kolumny „b”. Tutaj rzędy i kolumny odpowiadają gałązkom wybranego drzewa i gałęziom danego wykresu. Stądorder podstawowej macierzy zestawu cięć będzie (n-1) × b.

Plik elements of fundamental cut set matrix będzie mieć jedną z tych trzech wartości, +1, -1 i 0.

• Wartość elementu wyniesie +1 dla gałązki wybranego zbioru f-cut.

• Wartość elementów będzie wynosić 0 dla pozostałych gałązek i ogniw, które nie są częścią wybranego zbioru f-cut.

• Jeśli kierunek prądu łącza wybranego zestawu f-cut jest taki sam, jak prądu f-cut set twig, to wartość elementu będzie wynosić +1.

• Jeżeli kierunek prądu łącza wybranego zestawu f-cut jest przeciwny do kierunku prądu f-cut set twig, to wartość elementu będzie wynosić -1.

Procedura znajdowania podstawowej macierzy zestawów cięć

Wykonaj poniższe kroki, aby znaleźć podstawową macierz zbioru cięć dla danego skierowanego wykresu.

• Wybierz drzewo danego skierowanego wykresu i przedstaw łącza liniami przerywanymi.

• Usuwając po jednej gałązce i niezbędnych ogniwach na raz, otrzymamy jeden zestaw f-cut. Wypełnij wartości elementów odpowiadających temu zestawowi f-cut w wierszu podstawowej macierzy zestawu cięć.

• Powtórz powyższy krok dla wszystkich gałązek.

Przykład

Rozważ to samo directed graph , które omówiliśmy w sekcji macierzy częstości występowania. Wybierz gałęzie d, e i f tego skierowanego wykresu jako gałązki. Zatem pozostałe gałęzie a, b i c tego skierowanego wykresu będą łączami.

Plik twigs d, e i f są przedstawiane liniami ciągłymi i links a, b i c są przedstawione liniami przerywanymi na poniższym rysunku.

Usuwając po jednej gałązce i niezbędnych ogniwach na raz, otrzymamy jeden zestaw f-cut. Tak więc będą trzy zestawy cięć typu F, ponieważ są trzy gałązki. Ta trójkaf-cut sets pokazano na poniższym rysunku.

Będziemy mieć trzy zestawy f-cut, usuwając zestaw gałązek i ogniw C ₁ , C ₂ i C ₃ . Otrzymamy wartości elementów wierszowych macierzy podstawowego zestawu cięć z każdego zbioru f-cut. Więcfundamental cut set matrix z powyższego drzewa będzie

$$C = \begin{bmatrix}1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0\\1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

Wiersze i kolumny powyższej macierzy reprezentują gałęzie i gałęzie danego skierowanego wykresu. Kolejność tej podstawowej macierzy zbioru cięć wynosi 3 × 6.

Plik number of Fundamental cut set matriceswykresu skierowanego będzie równa liczbie drzew tego wykresu skierowanego. Ponieważ każde drzewo będzie miało jedną macierz podstawowego zestawu cięć.

Superposition theoremopiera się na koncepcji liniowości między odpowiedzią a wzbudzeniem obwodu elektrycznego. Stwierdza, że ​​odpowiedź w określonej gałęzi obwodu liniowego, gdy wiele niezależnych źródeł działa w tym samym czasie, jest równoważna sumie odpowiedzi spowodowanych przez każde niezależne źródło działające w tym samym czasie.

W tej metodzie rozważymy tylko one independent sourcena czas. Musimy więc wyeliminować pozostałe niezależne źródła z obwodu. Możemy wyeliminować źródła napięcia, zwierając ich dwa zaciski i analogicznie, źródła prądu, otwierając oba zaciski.

Dlatego musimy znaleźć odpowiedź w konkretnej branży ‘n’ timesjeśli istnieje „n” niezależnych źródeł. Odpowiedzią w konkretnej gałęzi może być prąd przepływający przez tę gałąź lub napięcie w tej gałęzi.

Procedura twierdzenia o superpozycji

Wykonaj poniższe kroki, aby znaleźć odpowiedź w określonej gałęzi za pomocą twierdzenia o superpozycji.

Step 1 - Znajdź odpowiedź w określonej branży, biorąc pod uwagę jedno niezależne źródło i eliminując pozostałe niezależne źródła obecne w sieci.

Step 2 - Powtórz krok 1 dla wszystkich niezależnych źródeł obecnych w sieci.

Step 3 - Dodaj wszystkie odpowiedzi, aby uzyskać ogólną odpowiedź w określonej gałęzi, gdy wszystkie niezależne źródła są obecne w sieci.

Przykład

Znajdź prąd przepływający przez rezystor 20 Ω następującego obwodu za pomocą superposition theorem.

Step 1 - Znajdźmy prąd przepływający przez rezystor 20 Ω, biorąc pod uwagę tylko 20 V voltage source. W takim przypadku możemy wyeliminować źródło prądu 4 A, otwierając jego obwód. Zmodyfikowany schemat obwodu pokazano na poniższym rysunku.

W powyższym obwodzie jest tylko jeden główny węzeł oprócz uziemienia. Więc możemy użyćnodal analysismetoda. Napięcie węzłowe V ₁ jest oznaczone na poniższym rysunku. Tutaj V ₁ jest napięciem z węzła 1 względem masy.

Plik nodal equation w węźle 1 jest

$$\frac{V_1 - 20}{5} + \frac{V_1}{10} + \frac{V_1}{10 + 20} = 0$$

$$\Rightarrow \frac{6V_1 - 120 + 3V_1 + V_1}{30} = 0$$

$$\Rightarrow 10V_1 = 120$$

$$\Rightarrow V_1 = 12V$$

Plik current flowing through 20 Ω resistor można znaleźć, wykonując następujące uproszczenie.

$$I_1 = \frac{V_1}{10 + 20}$$

Zastąp wartość V ₁ w powyższym równaniu.

$$I_1 = \frac{12}{10 + 20} = \frac{12}{30} = 0.4 A$$

Dlatego prąd przepływający przez rezystor 20 Ω jest 0.4 A, gdy rozważane jest tylko źródło napięcia 20 V.

Step 2 - Znajdźmy prąd przepływający przez rezystor 20 Ω, biorąc pod uwagę tylko 4 A current source. W takim przypadku możemy wyeliminować źródło napięcia 20 V wykonując jego zwarcie. Zmodyfikowany schemat obwodu pokazano na poniższym rysunku.

W powyższym obwodzie po lewej stronie zacisków A i B znajdują się trzy rezystory. Możemy zastąpić te rezystory pojedynczym equivalent resistor. Tutaj rezystory 5 Ω i 10 Ω są połączone równolegle, a cała kombinacja jest połączona szeregowo z rezystorem 10 Ω.

Plik equivalent resistance na lewo od terminali A i B będą

$$R_{AB} = \lgroup \frac{5 \times 10}{5 + 10} \rgroup + 10 = \frac{10}{3} + 10 = \frac{40}{3} \Omega$$

Poniższy rysunek przedstawia uproszczony schemat obwodu.

Prąd przepływający przez rezystor 20 Ω możemy znaleźć używając current division principle.

$$I_2 = I_S \lgroup \frac{R_1}{R_1 + R_2} \rgroup$$

Zastąpić $I_S = 4A,\: R_1 = \frac{40}{3} \Omega$ i $R_2 = 20 \Omega$ w powyższym równaniu.

$$I_2 = 4 \lgroup \frac{\frac{40}{3}}{\frac{40}{3} + 20} \rgroup = 4 \lgroup \frac{40}{100} \rgroup = 1.6 A$$

Dlatego prąd przepływający przez rezystor 20 Ω jest 1.6 A, gdy brane jest pod uwagę źródło prądu tylko 4 A.

Step 3 - Prąd płynący przez rezystor 20 Ω danego obwodu uzyskamy wykonując addition of two currents który otrzymaliśmy w kroku 1 i 2. Matematycznie można to zapisać jako

$$I = I_1 + I_2$$

Podstawimy wartości I ₁ i I ₂ w powyższym równaniu.

$$I = 0.4 + 1.6 = 2 A$$

Zatem prąd przepływający przez rezystor 20 Ω danego obwodu wynosi 2 A.

Note - Nie możemy bezpośrednio zastosować twierdzenia o superpozycji w celu obliczenia ilości powerdostarczane do dowolnego rezystora, który jest obecny w obwodzie liniowym, po prostu przez dodanie mocy dostarczonych do tego rezystora z powodu każdego niezależnego źródła. Zamiast tego możemy obliczyć albo całkowity prąd przepływający przez ten rezystor, albo napięcie na tym rezystorze, używając twierdzenia o superpozycji i na tej podstawie możemy obliczyć ilość mocy dostarczonej do tego rezystora za pomocą$I^2 R$ lub $\frac{V^2}{R}$.

Thevenin’s theoremstwierdza, że ​​dowolną liniową sieć lub obwód z dwoma zaciskami można przedstawić za pomocą równoważnej sieci lub obwodu, który składa się ze źródła napięcia połączonego szeregowo z rezystorem. Jest znany jako równoważny obwód Thevenina. Obwód liniowy może zawierać niezależne źródła, źródła zależne i rezystory.

Jeśli obwód zawiera wiele niezależnych źródeł, źródeł zależnych i rezystorów, wówczas odpowiedź w elemencie można łatwo znaleźć, zastępując całą sieć po lewej stronie tego elementu Thevenin’s equivalent circuit.

Plik response in an element Może to być napięcie na tym elemencie, prąd przepływający przez ten element lub moc rozproszona na tym elemencie.

Koncepcję tę zilustrowano na poniższych rysunkach.

Thevenin’s equivalent circuitprzypomina praktyczne źródło napięcia. W związku z tym ma źródło napięcia połączone szeregowo z rezystorem.

• Źródło napięcia obecne w równoważnym obwodzie Thevenina nazywa się równoważnym napięciem Thevenina lub po prostu Thevenin’s voltage, V_Th.

• Rezystor obecny w równoważnym obwodzie Thevenina jest nazywany równoważnym rezystorem Thevenina lub po prostu Thevenin’s resistor, R_Th.

Metody znajdowania obwodu równoważnego Thevenina

Istnieją trzy metody wyszukiwania równoważnego obwodu Thevenina. Na podstawietype of sourcesktóre są obecne w sieci, możemy wybrać jedną z tych trzech metod. Omówmy teraz dwie metody jedna po drugiej. Trzecią metodę omówimy w następnym rozdziale.

Metoda 1

Wykonaj następujące kroki, aby znaleźć równoważny obwód Thevenina, gdy tylko sources of independent type są obecni.

• Step 1 - Rozważ schemat obwodu, otwierając zaciski, w odniesieniu do których należy znaleźć równoważny obwód Thevenina.

• Step 2 - Znajdź napięcie Thevenina V_Th w poprzek otwartych zacisków powyższego obwodu.

• Step 3 - Znajdź opór Thevenina R_Th przez otwarte zaciski powyższego obwodu, eliminując obecne w nim niezależne źródła.

• Step 4 - Narysuj Thevenin’s equivalent circuitpoprzez połączenie napięcia V _Th Thevenina szeregowo z oporem R _Th Thevenina .

Teraz możemy znaleźć odpowiedź w elemencie, który leży po prawej stronie równoważnego obwodu Thevenina.

Przykład

Znajdź prąd przepływający przez rezystor 20 Ω, najpierw znajdując Thevenin’s equivalent circuit po lewej stronie zacisków A i B.

Step 1 - Aby znaleźć obwód zastępczy Thevenina po lewej stronie zacisków A i B, należy usunąć rezystor 20 Ω z sieci, opening the terminals A & B. Zmodyfikowany schemat obwodu pokazano na poniższym rysunku.

Step 2 - Obliczanie Thevenin’s voltage V_Th.

W powyższym obwodzie jest tylko jeden główny węzeł oprócz uziemienia. Więc możemy użyćnodal analysismetoda. Napięcie węzłowe V ₁ i napięcie V _Th Thevenina są oznaczone na powyższym rysunku. Tutaj V ₁ jest napięciem z węzła 1 w odniesieniu do uziemienia, a V _Th jest napięciem na źródle prądu 4 A.

• Plik nodal equation w węźle 1 jest

$$\frac{V_1 - 20}{5} + \frac{V_1}{10} - 4 = 0$$

$$\Rightarrow \frac{2V_1 - 40 + V_1 - 40}{10} = 0$$

$$\Rightarrow 3V_1 - 80 = 0$$

$$\Rightarrow V_1 = \frac{80}{3}V$$

• Napięcie na rezystorze 10 Ω z gałęzi szeregowej wynosi

$$V_{10 \Omega} = (-4)(10) = -40V$$

• W powyższym obwodzie są dwa oczka. PlikKVL equation wokół drugiego oczka jest

$$V_1 - V_{10 \Omega} - V_{Th} = 0$$

• Zastąp wartości $V_1$ i $V_{10 \Omega}$ w powyższym równaniu.

$$\frac{80}{3} - (-40) - V_{Th} = 0$$

$$V_{Th} = \frac{80 + 120}{3} = \frac{200}{3}V$$

• Dlatego napięcie Thevenina jest $V_{Th} = \frac{200}{3}V$

Step 3 - Obliczanie Thevenin’s resistance R_Th.

Zewrzyj źródło napięcia i otwórz obwód źródła prądu powyższego obwodu, aby obliczyć rezystancję R _Th Thevenina na zaciskach A i B.modified circuit diagram pokazano na poniższym rysunku.

Opór Thevenina na zaciskach A i B będzie

$$R_{Th} = \lgroup \frac{5 \times 10}{5 + 10} \rgroup + 10 = \frac{10}{3} + 10 = \frac{40}{3} \Omega$$

Dlatego opór Theveninów jest $\mathbf {R_{Th} = \frac{40}{3} \Omega}$.

Step 4- Równoważny obwód Thevenina jest umieszczony po lewej stronie zacisków A i B w danym obwodzie. Ten schemat obwodu pokazano na poniższym rysunku.

Prąd przepływający przez rezystor 20 Ω można znaleźć zastępując wartości V _Th , R _Th i R w poniższym równaniu.

$$l = \frac{V_{Th}}{R_{Th} + R}$$

$$l = \frac{\frac{200}{3}}{\frac{40}{3} + 20} = \frac{200}{100} = 2A$$

Dlatego prąd przepływający przez rezystor 20 Ω jest 2 A.

Metoda 2

Wykonaj następujące kroki, aby znaleźć równoważny obwód Thevenina, gdy sources of both independent type and dependent type są obecni.

• Step 1 - Rozważ schemat obwodu, otwierając zaciski, w odniesieniu do których należy znaleźć obwód równoważny Thevenina.

• Step 2 - Znajdź napięcie Thevenina V_Th w poprzek otwartych zacisków powyższego obwodu.

• Step 3 - Znajdź prąd zwarcia I_SC zwierając dwa otwarte zaciski powyższego obwodu.

• Step 4 - Znajdź opór Thevenina R_Th za pomocą następującego wzoru.

$$R_{Th} = \frac{V_{Th}}{I_{SC}}$$

Step 5 - Narysuj Thevenin’s equivalent circuitpoprzez połączenie napięcia V _Th Thevenina szeregowo z oporem R _Th Thevenina .

Teraz możemy znaleźć odpowiedź w elemencie, który leży po prawej stronie równoważnego obwodu Thevenina.

Norton’s theoremjest podobny do twierdzenia Thevenina. Stwierdza, że ​​dowolne dwie końcowe liniowe sieci lub obwody mogą być reprezentowane przez równoważną sieć lub obwód, który składa się ze źródła prądu połączonego równolegle z rezystorem. Jest znany jakoNorton’s equivalent circuit. Obwód liniowy może zawierać niezależne źródła, źródła zależne i rezystory.

Jeśli obwód ma wiele niezależnych źródeł, źródeł zależnych i rezystorów, wówczas odpowiedź w elemencie można łatwo znaleźć, zastępując całą sieć po lewej stronie tego elementu Norton’s equivalent circuit.

Plik response in an element Może to być napięcie na tym elemencie, prąd przepływający przez ten element lub moc rozproszona na tym elemencie.

Koncepcję tę zilustrowano na poniższych rysunkach.

Norton’s equivalent circuitprzypomina praktyczne źródło prądu. W związku z tym ma źródło prądu równoległe z rezystorem.

• Obecne źródło obecne w równoważnym obwodzie Nortona jest nazywane prądem równoważnym Nortona lub po prostu Norton’s current I_N.

• Rezystor obecny w równoważnym obwodzie Nortona jest nazywany równoważnym rezystorem Nortona lub po prostu Norton’s resistor R_N.

Metody znajdowania równoważnego obwodu Nortona

Tam są three methodsza znalezienie równoważnego obwodu Nortona. Bazując na typie źródeł, które są obecne w sieci, możemy wybrać jedną z tych trzech metod. Omówmy teraz kolejno te trzy metody.

Metoda 1

Wykonaj następujące kroki, aby znaleźć równoważny obwód Norton, gdy tylko sources of independent type są obecni.

• Step 1 - Rozważ schemat obwodu, otwierając zaciski, w odniesieniu do których należy znaleźć obwód zastępczy Nortona.

• Step 2 - Znajdź prąd Nortona I_N zwierając dwa otwarte zaciski powyższego obwodu.

• Step 3 - Znajdź opór Nortona R_Nprzez otwarte zaciski obwodu rozważanego w kroku 1, eliminując obecne w nim niezależne źródła. Opór NortonaR_N będzie taki sam jak opór Thevenina R_Th.

• Step 4 - Narysuj Norton’s equivalent circuitprzez podłączenie prądu w, z Norton równolegle odporności Norton R _N .

Teraz możemy znaleźć odpowiedź w elemencie, który leży po prawej stronie równoważnego obwodu Nortona.

Metoda 2

Wykonaj poniższe czynności, aby znaleźć równoważny obwód Norton, gdy plik sources of both independent type and dependent type są obecni.

• Step 1 - Rozważ schemat obwodu, otwierając zaciski, w odniesieniu do których należy znaleźć równoważny obwód Norton.

• Step 2 - Znajdź napięcie w obwodzie otwartym V_OC w poprzek otwartych zacisków powyższego obwodu.

• Step 3 - Znajdź prąd Nortona I_N zwierając dwa otwarte zaciski powyższego obwodu.

• Step 4 - Znajdź opór Nortona R_N za pomocą następującego wzoru.

$$R_N = \frac{V_{OC}}{I_N}$$

• Step 5- Narysuj równoważny obwód Nortona, łącząc prąd I _N Nortona równolegle z rezystancją R _N Nortona .

Teraz możemy znaleźć odpowiedź w elemencie, który leży po prawej stronie równoważnego obwodu Nortona.

Metoda 3

Jest to alternatywna metoda znajdowania równoważnego obwodu Nortona.

• Step 1 - Znajdź Thevenin’s equivalent circuitmiędzy dwoma pożądanymi zaciskami. Wiemy, że składa się ze źródła napięcia Thevenina, V _Th i rezystora Thevenina, R _Th .

• Step 2 - Aplikuj source transformation techniquedo powyższego równoważnego obwodu Thevenina. Otrzymamy równoważny obwód Nortona. Tutaj,

Prąd Nortona,

$$I_N = \frac{V_{Th}}{R_{Th}}$$

Odporność Nortona,

$$R_N = R_{Th}$$

Koncepcję tę ilustruje poniższy rysunek.

Teraz możemy znaleźć odpowiedź w elemencie, umieszczając równoważny obwód Nortona po lewej stronie tego elementu.

Note- Podobnie, możemy znaleźć obwód równoważny Thevenina, najpierw znajdując obwód równoważny Nortona, a następnie stosując do niego technikę transformacji źródła. Koncepcję tę ilustruje poniższy rysunek.

To jest metoda 3 znajdowania równoważnego obwodu Thevenina.

Przykład

Znajdź prąd przepływający przez rezystor 20 Ω, najpierw znajdując Norton’s equivalent circuit po lewej stronie zacisków A i B.

Rozwiążmy ten problem za pomocą Method 3.

Step 1- W poprzednim rozdziale obliczyliśmy równoważny obwód Thevenina po lewej stronie zacisków A i B. Możemy teraz użyć tego obwodu. Przedstawiono to na poniższym rysunku.

Tutaj, napięcie Thevenina, $V_{Th} = \frac{200}{3} V$ i opór Thevenina, $R_{Th} = \frac{40}{3} \Omega$

Step 2 - Aplikuj source transformation techniquedo powyższego równoważnego obwodu Thevenina. Zastąp wartości V _Th i R _Th w następującym wzorzeNorton’s current.

$$I_N = \frac{V_{Th}}{R_{Th}}$$

$$I_N = \frac{\frac{200}{3}}{\frac{40}{3}} = 5A$$

Dlatego obecne I _N Nortona jest5 A.

Wiemy, że opór Nortona, R _N jest taki sam, jak opór R _Thvenina .

$$\mathbf {R_N = \frac{40}{3} \Omega}$$

Równoważny obwód Nortona odpowiadający powyższemu równoważnemu obwodowi Thevenina pokazano na poniższym rysunku.

Teraz umieść obwód zastępczy Nortona po lewej stronie zacisków A i B danego obwodu.

Używając current division principleprąd przepływający przez rezystor 20 Ω będzie

$$I_{20 \Omega} = 5 \lgroup \frac{\frac{40}{3}}{\frac{40}{3} + 20} \rgroup$$

$$I_{20 \Omega} = 5 \lgroup \frac{40}{100} \rgroup = 2A$$

Dlatego prąd przepływający przez rezystor 20 Ω jest 2 A.

Ilość mocy odbieranej przez obciążenie jest ważnym parametrem w zastosowaniach elektrycznych i elektronicznych. W obwodach prądu stałego obciążenie możemy przedstawić za pomocą rezystora o rezystancji R _L omów. Podobnie w obwodach prądu przemiennego możemy to przedstawić za pomocą złożonego obciążenia o impedancji Z _L Ω.

Maximum power transfer theorem stwierdza, że ​​źródło napięcia stałego dostarczy maksymalną moc do rezystora zmiennego obciążenia tylko wtedy, gdy rezystancja obciążenia jest równa rezystancji źródła.

Podobnie, Maximum power transfer theorem stwierdza, że ​​źródło napięcia AC będzie dostarczać maksymalną moc do zmiennego złożonego obciążenia tylko wtedy, gdy impedancja obciążenia jest równa złożonemu sprzężeniu impedancji źródła.

W tym rozdziale omówimy twierdzenie o maksymalnym przenoszeniu mocy dla obwodów prądu stałego.

Dowód twierdzenia o maksymalnym przenoszeniu mocy

Wymień dowolne dwa zaciski liniowej sieci lub obwodu po lewej stronie rezystora zmiennego obciążenia o rezystancji R _L ohm na równoważny obwód Thevenina. Wiemy, że równoważny obwód Thevenina przypomina praktyczne źródło napięcia.

Koncepcję tę zilustrowano na poniższych rysunkach.

Ilość mocy rozproszonej na rezystorze obciążenia wynosi

$$P_L = I^2 R_L$$

Zastąpić $I = \frac{V_{Th}}{R_{Th} + R_L}$ w powyższym równaniu.

$$P_L = \lgroup \frac{V_{Th}}{(R_{Th} + R_L)} \rgroup ^2 R_L$$

$\Rightarrow P_L = {V_{Th}}^2 \lbrace \frac{R_L}{(R_{Th} + R_L)^2} \rbrace$ Equation 1

Warunek maksymalnego transferu mocy

Dla maksimum lub minimum pierwsza pochodna będzie wynosić zero. Rozróżnij więc równanie 1 względem R _L i zrób z niego zero.

$$\frac{dP_L}{dR_L} = {V_{Th}}^2 \lbrace \frac{(R_{Th} + R_L)^2 \times 1 - R_L \times 2(R_{Th} + R_L)}{(R_{Th} + R_L)^4} \rbrace = 0$$

$$\Rightarrow (R_{Th} + R_L)^2 -2R_L(R_{Th} + R_L) = 0$$

$$\Rightarrow (R_{Th} + R_L)(R_{Th} + R_L - 2R_L) = 0$$

$$\Rightarrow (R_{Th} - R_L) = 0$$

$$\Rightarrow R_{Th} = R_L\:or\:R_L = R_{Th}$$

Dlatego też condition for maximum power rozproszenie w całym ładunku $R_L = R_{Th}$. Oznacza to, że jeśli wartość rezystancji obciążenia jest równa wartości rezystancji źródła, tj. Rezystancji Thevenina, wówczas moc rozpraszana na obciążeniu będzie miała wartość maksymalną.

Wartość maksymalnego transferu mocy

Zastąpić $R_L = R_{Th}\:\&\:P_L = P_{L, Max}$ w równaniu 1.

$$P_{L, Max} = {V_{Th}}^2 \lbrace \frac{R_{Th}}{(R_{Th} + R_{Th})^2} \rbrace$$

$$P_{L, Max} = {V_{Th}}^2 \lbrace \frac{R_{Th}}{4 {R_{Th}}^2} \rbrace$$

$$\Rightarrow P_{L, Max} = \frac{{V_{Th}}^2}{4 R_{Th}}$$

$$\Rightarrow P_{L, Max} = \frac{{V_{Th}}^2}{4 R_{L}}, \: since \: R_{L} = R_{Th}$$

Dlatego też maximum amount of power przeniesiony do obciążenia

$$P_{L, Max} = \frac{{V_{Th}}^2}{4R_{L}} = \frac{{V_{Th}}^2}{4R_{Th}}$$

Wydajność maksymalnego transferu mocy

Możemy obliczyć wydajność maksymalnego przeniesienia mocy, $\eta_{Max}$ używając następującego wzoru.

$\eta_{Max} = \frac{P_{L, Max}}{P_S}$ Equation 2

Gdzie,

• $P_{L, Max}$ to maksymalna ilość mocy przekazywanej do obciążenia.

• $P_S$ to ilość energii generowanej przez źródło.

Plik amount of power generated według źródła

$$P_S = I^2 R_{Th} + I^2 R_L$$

$$\Rightarrow P_S = 2 I^2 R_{Th},\:since\:R_{L} = R_{Th}$$

• Zastąpić $I = \frac{V_{Th}}{2 R_{Th}}$ w powyższym równaniu.

$$P_S = 2\lgroup \frac{V_{Th}}{2 R_{Th}} \rgroup ^2 R_{Th}$$

$$\Rightarrow P_S = 2\lgroup \frac{{V_{Th}}^2}{4 {R_{Th}}^2} \rgroup R_{Th}$$

$$\Rightarrow P_S = \frac{{V_{Th}}^2}{2 R_{Th}}$$

• Zastąp wartości $P_{L, Max}$ i $P_S$ w równaniu 2.

$$\eta_{Max} = \frac{\lgroup \frac{{V_{Th}}^2}{4R_{Th}} \rgroup}{\lgroup \frac{{V_{Th}}^2}{2R_{Th}}\rgroup}$$

$$\Rightarrow \eta_{Max} = \frac{1}{2}$$

Możemy przedstawić wydajność maksymalnego transferu mocy w kategoriach percentage w następujący sposób -

$$\% \eta_{Max} = \eta_{Max} \times 100\%$$

$$\Rightarrow \% \eta_{Max} = \lgroup \frac{1}{2} \rgroup \times 100\%$$

$$\Rightarrow \% \eta_{Max} = 50\%$$

Dlatego wydajność maksymalnego transferu mocy wynosi 50 %.

Przykład

Znaleźć maximum powerktóre można dostarczyć do rezystora obciążającego R _L obwodu pokazanego na poniższym rysunku.

Step 1- W rozdziale Twierdzenie Thevenina obliczyliśmy obwód zastępczy Thevenina po lewej stronie zacisków A i B. Możemy teraz użyć tego obwodu. Przedstawiono to na poniższym rysunku.

Tutaj napięcie Thevenina $V_{Th} = \frac{200}{3}V$ i opór Thevenina $R_{Th} = \frac{40}{3} \Omega$

Step 2- Zamień część obwodu, która jest po lewej stronie zacisków A i B danego obwodu, na powyższy obwód zastępczy Thevenina. Powstały schemat obwodu pokazano na poniższym rysunku.

Step 3- Maksymalną moc, która zostanie dostarczona do rezystora obciążenia, R _L, możemy znaleźć za pomocą następującego wzoru.

$$P_{L, Max} = \frac{{V_{Th}}^2}{4 R_{Th}}$$

Zastąpić $V_{Th} = \frac{200}{3}V$ i $R_{Th} = \frac{40}{3} \Omega$ w powyższym wzorze.

$$P_{L, Max} = \frac{\lgroup \frac{200}{3} \rgroup ^ 2}{4 \lgroup \frac{40}{3}\rgroup } $$

$$P_{L, Max} = \frac{250}{3} W$$

Dlatego też maximum power który zostanie dostarczony do rezystora obciążenia RL danego obwodu $\mathbf {\frac{250}{3}}$ W

Jeśli wyjście obwodu elektrycznego dla wejścia zmienia się w czasie, nazywa się to jako time response. Odpowiedź czasowa składa się z następujących dwóch części.

• Reakcja przejściowa
• Odpowiedź w stanie stacjonarnym

W tym rozdziale omówimy najpierw te dwie odpowiedzi, a następnie obserwujemy te dwie odpowiedzi w obwodzie szeregowym RL, gdy jest on wzbudzany przez źródło napięcia stałego.

Reakcja przejściowa

Po doprowadzeniu sygnału wejściowego do obwodu elektrycznego wyjście osiąga stan ustalony po pewnym czasie. Tak więc wyjście będzie w stanie przejściowym, dopóki nie przejdzie do stanu ustalonego. Dlatego odpowiedź obwodu elektrycznego w stanie przejściowym jest znana jakotransient response.

Reakcja przejściowa będzie wynosić zero dla dużych wartości „t”. Idealnie, ta wartość „t” powinna wynosić nieskończoność. Ale praktyczniefive time constants są wystarczające.

Obecność lub brak przemijających

Stany przejściowe występują w odpowiedzi z powodu sudden changew źródłach, które są podłączone do obwodu elektrycznego i / lub w wyniku przełączania. Istnieją dwie możliwe akcje przełączania. To jest przełącznik otwierania i zamykania.

• Plik transient część będzie not presentw odpowiedzi obwodu elektrycznego lub sieci, jeśli zawiera tylko rezystancje. Dlategoresistor ma możliwość regulacji dowolnej wartości napięcia i prądu.

• Plik transient part occurs w odpowiedzi obwodu elektrycznego lub sieci z powodu obecności elementów magazynujących energię, takich jak inductor and capacitor. Ponieważ nie mogą natychmiast zmienić energii zgromadzonej w tych elementach.

Zachowanie cewki indukcyjnej

Załóżmy, że działanie przełączające ma miejsce w czasie t = 0.Inductor currentnie zmienia się natychmiast po przełączeniu. Oznacza to, że wartość prądu cewki indukcyjnej tuż po przełączeniu będzie taka sama, jak tuż przed przełączeniem.

Matematycznie można to przedstawić jako

$$i_L (0^+) = i_L (0^-)$$

Zachowanie kondensatorów

Plik capacitor voltagenie zmienia się natychmiastowo, podobnie jak prąd cewki indukcyjnej, gdy następuje przełączenie. Oznacza to, że wartość napięcia kondensatora tuż po przełączeniu będzie taka sama, jak tuż przed przełączeniem.

Matematycznie można to przedstawić jako

$$v_c (0^+) = v_c (0^-)$$

Odpowiedź w stanie stacjonarnym

Część odpowiedzi czasowej, która pozostaje nawet po tym, jak odpowiedź przejściowa stała się wartością zerową dla dużych wartości „t”, jest znana jako steady state response. Oznacza to, że nie będzie części przejściowej w odpowiedzi w stanie ustalonym.

Zachowanie cewki indukcyjnej

Jeżeli niezależne źródło jest podłączone do obwodu elektrycznego lub sieci mającej jeden lub więcej cewek indukcyjnych i rezystorów (opcjonalnie) przez długi czas, wówczas ten obwód elektryczny lub sieć jest w stanie ustalonym. Dlatego energia zmagazynowana w cewce (cewkach) tego obwodu elektrycznego jest maksymalna i stała.

Matematycznie można to przedstawić jako

$W_L = \frac{L {i_L}^2}{2} = $ Maksymalna i stała

$\Rightarrow i_L = $ Maksymalna i stała

Dlatego cewka działa jak constant current source w stanie ustalonym.

Napięcie na cewce będzie wynosić

$$V_L = L \frac{di_{L}}{dt} = 0V$$

Tak więc cewka działa jak short circuit w stanie ustalonym.

Zachowanie kondensatorów

Jeżeli niezależne źródło jest podłączone do obwodu elektrycznego lub sieci mającej jeden lub więcej kondensatorów i rezystorów (opcjonalnie) przez długi czas, wówczas ten obwód elektryczny lub sieć jest w stanie ustalonym. Dlatego energia zmagazynowana w kondensatorze (-ach) tego obwodu elektrycznego jest maksymalna i stała.

Matematycznie można to przedstawić jako

$W_c = \frac{C{v_c}^2}{2} = $ Maksymalna i stała

$\Rightarrow v_c = $Maksymalna i stała

Dlatego kondensator działa jak constant voltage source w stanie ustalonym.

Prąd przepływający przez kondensator będzie

$$i_c = C\frac{dv_c}{dt} = 0A$$

Tak więc kondensator działa jako open circuit w stanie ustalonym.

Znajdowanie odpowiedzi obwodu szeregowego RL

Rozważ następujące series RL circuit diagram.

W powyższym obwodzie switch był przechowywany openaż do t = 0 i zostało zamknięte w t = 0. Tak więc źródło napięcia stałego o woltach V nie jest dołączane do obwodu szeregowego RL do tej chwili. Dlatego jestno initial current przepływa przez cewkę.

Schemat obwodu, gdy switch jest w closed położenie pokazano na poniższym rysunku.

Teraz prąd i płynie w całym obwodzie, ponieważ źródło napięcia stałego ma V woltów jest podłączony do obwodu szeregowego RL.

Teraz aplikuj KVL wokół pętli.

$$V = Ri + L \frac{di}{dt}$$

$\frac{di}{dt} + \lgroup \frac{R}{L} \rgroup i = \frac{V}{L}$Equation 1

Powyższe równanie jest równaniem różniczkowym pierwszego rzędu i ma postać

$\frac{dy}{dt} + Py = Q$Equation 2

Przez comparing Równanie 1 i równanie 2, otrzymamy następujące zależności.

$$x = t$$

$$y = i$$

$$P = \frac{R}{L}$$

$$Q = \frac{V}{L}$$

Plik solution z równania 2 będzie

$ye^{\int p dx} = \int Q e^{\int p dx} dx + k$Equation 3

Gdzie, k jest stała.

Zastąp wartości x, y, P i Q w równaniu 3.

$ie^{\int {\lgroup \frac{R}{L} \rgroup}dt} = \int (\frac{V}{L}) \lgroup e^{\int {\lgroup \frac{R}{L} \rgroup}dt} \rgroup dt + k$

$\Rightarrow ie^{\lgroup \frac{R}{L} \rgroup t} = \frac{V}{L} \int e^{\lgroup \frac{R}{L} \rgroup t} dt + k$

$\Rightarrow ie^{\lgroup \frac{R}{L} \rgroup t} = \frac{V}{L} \lbrace \frac{e^{\lgroup \frac{R}{L} \rgroup}t}{\frac{R}{L}} \rbrace + k$

$\Rightarrow i = \frac{V}{R} + k e^{-\lgroup \frac{R}{L} \rgroup}t$Equation 4

Wiemy, że w obwodzie nie ma prądu początkowego. Stąd podstawienie, t = 0 i = 0 w równaniu 4, aby znaleźć wartość stałej k.

$$0 = \frac{V}{R} + ke^{-\lgroup \frac{R}{L} \rgroup(0)}$$

$$0 = \frac{V}{R} + k(1)$$

$$k = - \frac{V}{R}$$

Zastąp wartość k w równaniu 4.

$$i = \frac{V}{R} + \lgroup - \frac{V}{R} \rgroup e^{-\lgroup \frac{R}{L} \rgroup t}$$

$$i = \frac{V}{R} - \frac{V}{R}e^{-\lgroup \frac{R}{L} \rgroup t}$$

Dlatego też current przepływający przez obwód jest

$i = - \frac{V}{R}e^{-\lgroup \frac{R}{L} \rgroup t} + \frac{V}{R}$Equation 5

Tak więc reakcja obwodu szeregowego RL, gdy jest wzbudzana przez źródło napięcia stałego, ma następujące dwa wyrazy.

• Pierwszy termin $-\frac{V}{R}e^{-\lgroup \frac{R}{L} \rgroup t}$ odpowiada transient response.

• Drugi termin $\frac{V}{R}$ odpowiada steady state response. Te dwie odpowiedzi przedstawiono na poniższym rysunku.

Możemy ponownie zapisać równanie 5 w następujący sposób -

$i = \frac{V}{R} \lgroup 1 - e^{-\lgroup \frac{R}{L} \rgroup t} \rgroup$

$\Rightarrow i = \frac{V}{R} \lgroup 1 - e^{-\lgroup \frac{t}{\tau} \rgroup} \rgroup$Equation 6

Gdzie, τ jest time constant a jego wartość jest równa $\frac{L}{R}$.

Równanie 5 i 6 są takie same. Ale możemy łatwo zrozumieć powyższy przebieg prądu płynącego przez obwód z równania 6, zastępując kilka wartościt jak 0, τ, 2τ, 5τ, itd.

W powyższym przebiegu prądu przepływającego przez obwód, odpowiedź przejściowa będzie prezentować do pięciu stałych czasowych od zera, podczas gdy odpowiedź w stanie ustalonym będzie występować od pięciu stałych czasowych wzwyż.

W poprzednim rozdziale omówiliśmy odpowiedź przejściową i odpowiedź w stanie ustalonym obwodu prądu stałego. W tym rozdziale omówimyresponse of AC circuit. Pojęcia zarówno odpowiedzi przejściowej, jak i odpowiedzi w stanie ustalonym, które omówiliśmy w poprzednim rozdziale, będą również przydatne tutaj.

Znajdowanie odpowiedzi obwodu szeregowego RL

Rozważ następujące series RL circuit diagram.

W powyższym obwodzie switch był przechowywany openaż do t = 0 i został zamknięty w t = 0 . Zatem źródło napięcia zmiennego o szczytowym napięciu V _m woltów nie jest podłączone do obwodu szeregowego RL aż do tej chwili. Dlatego jestno initial current przepływa przez cewkę indukcyjną.

Schemat obwodu, gdy switch jest w closed położenie pokazano na poniższym rysunku.

Otóż, obecna (t) przepływa w całym obwodzie, od źródła napięcia AC o napięciu szczytową V _m V jest połączony z układem serii RL.

Wiemy, że prąd i (t) przepływający przez powyższy obwód będzie miał dwa wyrazy, jeden reprezentujący część przejściową, a drugi reprezentujący stan ustalony.

Matematycznie można to przedstawić jako

$i(t) = i_{Tr}(t) + i_{ss}(t)$Equation 1

Gdzie,

• $i_{Tr}(t)$ jest przejściową odpowiedzią prądu płynącego przez obwód.

• $i_{ss}(t)$ jest odpowiedzią w stanie ustalonym prądu płynącego przez obwód.

W poprzednim rozdziale otrzymaliśmy przejściową odpowiedź prądu przepływającego przez obwód szeregowy RL. Ma postać$Ke^{-\lgroup \frac{t}{\tau} \rgroup}$.

Zastąpić $i_{Tr}(t) = Ke^{-\lgroup \frac{t}{\tau} \rgroup}$ w równaniu 1.

$i(t) = Ke^{-\lgroup \frac{t}{\tau} \rgroup} + i_{ss}(t)$Equation 2

Obliczanie prądu w stanie ustalonym

Jeśli sygnał sinusoidalny jest przyłożony jako wejście do liniowego obwodu elektrycznego, wówczas wytwarza wyjście stanu ustalonego, które jest również sinusoidal signal. Zarówno wejściowe, jak i wyjściowe sygnały sinusoidalne będą miały tę samą częstotliwość, ale różne amplitudy i kąty fazowe.

Możemy obliczyć odpowiedź w stanie ustalonym obwodu elektrycznego, gdy jest on wzbudzany przez sinusoidalne źródło napięcia za pomocą Laplace Transform approach.

Schemat obwodu domeny s, gdy switch jest w closed położenie pokazano na poniższym rysunku.

W powyższym obwodzie wszystkie wielkości i parametry są reprezentowane w s-domain. Są to transformaty Laplace'a wielkości i parametrów w dziedzinie czasu.

Plik Transfer function powyższego obwodu jest

$$H(s) = \frac{I(s)}{V(s)}$$

$$\Rightarrow H(s) = \frac{1}{Z(s)}$$

$$\Rightarrow H(s) = \frac{1}{R + sL}$$

Zastąpić $s = j \omega$ w powyższym równaniu.

$$H(j \omega) = \frac{1}{R + j \omega L}$$

Magnitude of $\mathbf{\mathit{H(j \omega)}}$ jest

$$|H(j \omega)| = \frac{1}{\sqrt{R^2 + {\omega}^2}L^2}$$

Phase angle of $\mathbf{\mathit{H(j \omega)}}$ jest

$$\angle H(j \omega) = -tan^{-1} \lgroup \frac{\omega L}{R} \rgroup$$

Otrzymamy steady state current $i_{ss}(t)$ wykonując następujące dwa kroki -

• Pomnóż szczytowe napięcie wejściowego napięcia sinusoidalnego i wartość $H(j \omega)$.

• Dodaj kąty fazowe wejściowego napięcia sinusoidalnego i $H(j \omega)$.

Plik steady state current $i_{ss}(t)$ będzie

$$i_{ss}(t) = \frac{V_m}{\sqrt{R^2 +{\omega}^2 L^2}} sin \lgroup \omega t + \varphi - tan^{-1} \lgroup \frac {\omega L}{R}\rgroup \rgroup$$

Zastąp wartość $i_{ss}(t)$ w równaniu 2.

$i(t) = Ke^{-\lgroup \frac{t}{\tau} \rgroup} + \frac{V_m}{\sqrt{R^2 +{\omega}^2 L^2}} sin \lgroup \omega t + \varphi - tan^{-1} \lgroup \frac {\omega L}{R}\rgroup \rgroup$Equation 3

Wiemy, że w obwodzie nie ma prądu początkowego. Dlatego podstaw t = 0 i i (t) = 0 w równaniu 3, aby znaleźć wartość stałej K.

$$0 = Ke^{-\lgroup \frac{0}{\tau} \rgroup} + \frac{V_m}{\sqrt{R^2 +{\omega}^2 L^2}} sin \lgroup \omega (0) + \varphi - tan^{-1} \lgroup \frac {\omega L}{R}\rgroup \rgroup$$

$$\Rightarrow 0 = K + \frac{V_m}{\sqrt{R^2 +{\omega}^2 L^2}} sin \lgroup \varphi - tan^{-1} \lgroup \frac {\omega L}{R}\rgroup \rgroup$$

$$\Rightarrow K = - \frac{V_m}{\sqrt{R^2 +{\omega}^2 L^2}} sin \lgroup \varphi - tan^{-1} \lgroup \frac {\omega L}{R}\rgroup \rgroup$$

Zastąp wartość K w równaniu 3.

$i(t) = - \frac{V_m}{\sqrt{R^2 +{\omega}^2 L^2}} sin \lgroup \varphi - tan^{-1} \lgroup \frac {\omega L}{R}\rgroup \rgroup e^{-\lgroup \frac{t}{\tau} \rgroup} + \frac{V_m}{\sqrt{R^2 +{\omega}^2 L^2}} sin \lgroup \omega t + \varphi - tan^{-1} \lgroup \frac {\omega L}{R}\rgroup \rgroup$Equation 4

Równanie 4 przedstawia prąd przepływający przez obwód szeregowy RL, gdy jest wzbudzany przez sinusoidalne źródło napięcia. Ma dwie kadencje. Pierwszy i drugi człon reprezentują odpowiednio odpowiedź przejściową i odpowiedź w stanie ustalonym prądu.

Możemy neglect the first termRównania 4, ponieważ jego wartość będzie znacznie mniejsza niż jeden. Tak więc wynikowy prąd przepływający przez obwód będzie

$$i(t) = \frac{V_m}{\sqrt{R^2 +{\omega}^2 L^2}} sin \lgroup \omega t + \varphi - tan^{-1} \lgroup \frac {\omega L}{R}\rgroup \rgroup$$

Zawiera tylko steady state term. W związku z tym możemy znaleźć tylko odpowiedź w stanie ustalonym obwodów prądu przemiennego i zaniedbać jej odpowiedź przejściową.

Resonancewystępuje w obwodach elektrycznych z powodu obecności elementów magazynujących energię, takich jak cewka i kondensator. Jest to podstawowa koncepcja, na podstawie której odbiorniki radiowe i telewizyjne są projektowane w taki sposób, aby mogły wybierać tylko żądaną częstotliwość stacji.

Tam są two typesrezonansów, a mianowicie rezonans szeregowy i rezonans równoległy. Są one klasyfikowane na podstawie elementów sieci połączonych szeregowo lub równolegle. W tym rozdziale omówimy rezonans szeregowy.

Schemat obwodu rezonansu szeregowego

Jeśli rezonans występuje w obwodzie szeregowym RLC, nazywa się go as Series Resonance. Rozważ następująceseries RLC circuit, który jest reprezentowany w dziedzinie fazorowej.

Tutaj elementy bierne, takie jak rezystor, cewka i kondensator, są połączone szeregowo. Ta cała kombinacja jest dostępnaseries z wejściowym źródłem napięcia sinusoidalnego.

Zastosować KVL wokół pętli.

$$V - V_R - V_L - V_C = 0$$

$$\Rightarrow V - IR - I(j X_L) - I(-j X_C) = 0$$

$$\Rightarrow V = IR + I(j X_L) + I(-j X_C)$$

$\Rightarrow V = I[R + j(X_L - X_C)]$Equation 1

Powyższe równanie ma postać V = IZ.

Dlatego też impedance Z obwodu szeregowego RLC

$$Z = R + j(X_L - X_C)$$

Parametry i wielkości elektryczne w rezonansie

Teraz wyprowadźmy kolejno wartości parametrów i wielkości elektrycznych w rezonansie szeregowego obwodu RLC.

Częstotliwość rezonansowa

Częstotliwość, przy której występuje rezonans, nazywana jest as resonant frequency f_r. W szeregowym rezonansie obwodu RLC występuje, gdy wyimaginowany człon impedancji Z wynosi zero, tj. Wartość$X_L - X_C$ powinno być równe zero.

$$\Rightarrow X_L = X_C$$

Zastąpić $X_L = 2 \pi f L$ i $X_C = \frac{1}{2 \pi f C}$ w powyższym równaniu.

$$2 \pi f L = \frac{1}{2 \pi f C}$$

$$\Rightarrow f^2 = \frac{1}{(2 \pi)^2 L C}$$

$$\Rightarrow f = \frac{1}{(2 \pi) \sqrt{LC}}$$

Dlatego też resonant frequency f_r obwodu szeregowego RLC jest

$$f_r = \frac{1}{(2 \pi) \sqrt{LC}}$$

Gdzie, L jest indukcyjnością cewki indukcyjnej i C to pojemność kondensatora.

Plik resonant frequency f_r obwodu szeregowego RLC zależy tylko od indukcyjności L i pojemność C. Ale jest niezależny od oporuR.

Impedancja

Mamy impedance Z obwodu szeregowego RLC jako

$$Z = R + j(X_L - X_C)$$

Zastąpić $X_L = X_C$ w powyższym równaniu.

$$Z = R + j(X_C - X_C)$$

$$\Rightarrow Z = R + j(0)$$

$$\Rightarrow Z = R$$

W rezonansie impedance Z obwodu szeregowego RLC jest równa wartości rezystancji Rtj. Z = R.

Prąd przepływający przez obwód

Zastąpić $X_L - X_C = 0$ w równaniu 1.

$$V = I[R + j(0)]$$

$$\Rightarrow V = IR$$

$$\Rightarrow I = \frac{V}{R}$$

W związku z tym, current przepływający przez obwód szeregowy RLC w rezonansie wynosi $\mathbf{\mathit{I = \frac{V}{R}}}$.

W rezonansie impedancja szeregowego obwodu RLC osiąga wartość minimalną. Stądmaximum current przepływa przez ten obwód w rezonansie.

Napięcie na rezystorze

Napięcie na rezystorze wynosi

$$V_R = IR$$

Zastąp wartość I w powyższym równaniu.

$$V_R = \lgroup \frac{V}{R} \rgroup R$$

$$\Rightarrow V_R = V$$

Dlatego też voltage across resistor w rezonansie jest V_R = V.

Napięcie na cewce

Napięcie na cewce wynosi

$$V_L = I(jX_L)$$

Zastąp wartość I w powyższym równaniu.

$$V_L = \lgroup \frac{V}{R} \rgroup (jX_L)$$

$$\Rightarrow V_L = j \lgroup \frac{X_L}{R} \rgroup V$$

$$\Rightarrow V_L = j QV$$

Dlatego też voltage across inductor w rezonansie jest $V_L = j QV$.

Więc magnitude napięcia na cewce w rezonansie będzie

$$|V_L| = QV$$

Gdzie Q jest Quality factor a jego wartość jest równa $\frac{X_L}{R}$

Napięcie na kondensatorze

Napięcie na kondensatorze wynosi

$$V_C = I(-j X_C)$$

Zastąp wartość I w powyższym równaniu.

$$V_C = \lgroup \frac{V}{R} \rgroup (-j X_C)$$

$$\Rightarrow V_C = -j \lgroup \frac{X_C}{R} \rgroup V$$

$$\Rightarrow V_C = -jQV$$

Dlatego też voltage across capacitor w rezonansie jest $\mathbf{\mathit{V_C = -jQV}}$.

Więc magnitude napięcia na kondensatorze przy rezonansie wyniesie

$$|V_C| = QV$$

Gdzie Q jest Quality factor a jego wartość jest równa $\frac{X_{C}}{R}$

Note - Obwód RLC z rezonansem szeregowym nosi nazwę voltage magnificationUkład, że wielkość napięcia na cewki i kondensatora jest równa Q razy sinusoidalne napięcie wejściowe V .

W poprzednim rozdziale omówiliśmy znaczenie rezonansu szeregowego. Omówmy teraz rezonans równoległy w obwodach RLC.

Schemat równoległego obwodu rezonansowego

Jeśli rezonans występuje w równoległym obwodzie RLC, nazywa się go as Parallel Resonance. Rozważ następująceparallel RLC circuit, który jest reprezentowany w dziedzinie fazorowej.

Tutaj elementy bierne, takie jak rezystor, cewka i kondensator, są połączone równolegle. Ta cała kombinacja jest dostępnaparallel z wejściowym źródłem prądu sinusoidalnego.

pisać nodal equation w węźle P.

$$- I + I_R + I_L + I_C = 0$$

$$\Rightarrow - I + \frac{V}{R} + \frac{V}{j X_L} + \frac{V}{-j X_C} = 0$$

$$\Rightarrow I = \frac{V}{R} - \frac{jV}{X_L} + \frac{jV}{X_C}$$

$\Rightarrow I = V[\frac{1}{R} + j \lgroup \frac{1}{X_C} - \frac{1}{X_L} \rgroup]$Equation 1

Powyższe równanie ma postać I = VY.

Dlatego też admittance Y równoległego obwodu RLC

$$Y = \frac{1}{R} + j \lgroup \frac{1}{X_C} - \frac{1}{X_L} \rgroup$$

Parametry i wielkości elektryczne w rezonansie

Teraz wyprowadźmy kolejno wartości parametrów i wielkości elektrycznych przy rezonansie równoległego obwodu RLC.

Częstotliwość rezonansowa

Wiemy, że resonant frequency, f_rjest częstotliwością, przy której występuje rezonans. Równolegle rezonans obwodu RLC występuje, gdy wyimaginowany człon admitancji Y wynosi zero. tj. wartość$\frac{1}{X_C} - \frac{1}{X_L}$ powinno być równe zero

$$\Rightarrow \frac{1}{X_C} = \frac{1}{X_L}$$

$$\Rightarrow X_L = X_C$$

Powyższy stan rezonansu jest taki sam, jak w przypadku obwodu szeregowego RLC. Więcresonant frequency, f_r będzie taki sam w obwodzie szeregowym RLC i równoległym obwodzie RLC.

Dlatego też resonant frequency, f_r równoległego obwodu RLC

$$f_r = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$$

Gdzie,

• L to indukcyjność cewki indukcyjnej.
• C jest pojemnością kondensatora.

Plik resonant frequency, f_r równoległego obwodu RLC zależy tylko od indukcyjności L i pojemność C. Ale jest niezależny od oporuR.

Wstęp

Mamy admittance Y równoległego obwodu RLC jako

$$Y = \frac{1}{R} + j \lgroup \frac{1}{X_C} - \frac{1}{X_L} \rgroup$$

Zastąpić, $X_L = X_C$ w powyższym równaniu.

$$Y = \frac{1}{R} + j \lgroup \frac{1}{X_C} - \frac{1}{X_C} \rgroup$$

$$\Rightarrow Y = \frac{1}{R} + j(0)$$

$$\Rightarrow Y = \frac{1}{R}$$

W rezonansie admittance, Y równoległego obwodu RLC jest równe odwrotności rezystancji R. tj. $\mathbf{\mathit{Y = \frac{1}{R}}}$

Napięcie na każdym elemencie

Zastąpić, $\frac{1}{X_C} - \frac{1}{X_L} = 0$ w równaniu 1

$$I = V [\frac{1}{R} + j(0)]$$

$$\Rightarrow I = \frac{V}{R}$$

$$\Rightarrow V = IR$$

Dlatego też voltage na wszystkich elementach równoległego obwodu RLC w rezonansie V = IR.

Przy rezonansie admitancja równoległego obwodu RLC osiąga wartość minimalną. W związku z tym,maximum voltage jest obecny w każdym elemencie tego obwodu w rezonansie.

Prąd przepływający przez rezystor

Prąd przepływający przez rezystor wynosi

$$I_R = \frac{V}{R}$$

Zastąp wartość V w powyższym równaniu.

$$I_R = \frac{IR}{R}$$

$$\Rightarrow I_R = I$$

Dlatego też current flowing through resistor w rezonansie jest $\mathbf{\mathit{I_R = I}}$.

Prąd przepływający przez cewkę indukcyjną

Prąd przepływający przez cewkę wynosi

$$I_L = \frac{V}{j X_L}$$

Zastąp wartość V w powyższym równaniu.

$$I_L = \frac{IR}{j X_L}$$

$$\Rightarrow I_L = -j \lgroup \frac{R}{X_L} \rgroup I$$

$$\Rightarrow I_L = -jQI$$

Dlatego też current flowing through inductor w rezonansie jest $I_L = -jQI$.

Więc magnitude prądu przepływającego przez cewkę w rezonansie będzie

$$|I_L| = QI$$

Gdzie Q jest Quality factor a jego wartość jest równa $\frac{R}{X_L}$

Prąd przepływający przez kondensator

Prąd przepływający przez kondensator wynosi

$$I_C = \frac{V}{-j X_C}$$

Zastąp wartość V w powyższym równaniu.

$$I_C = \frac{IR}{-j X_C}$$

$$\Rightarrow I_C = j \lgroup \frac{R}{X_C} \rgroup I$$

$$\Rightarrow I_C = jQI$$

Dlatego też current flowing through capacitor w rezonansie jest $I_C = jQI$

Więc magnitude prądu przepływającego przez kondensator w rezonansie wyniesie

$$|I_C| = QI$$

Gdzie Q jest Quality factor a jego wartość jest równa $\frac{R}{X_C}$

Note - Równoległy obwód rezonansowy RLC nazywa się current magnificationobwód. Ponieważ wielkość prądu przepływającego przez cewkę i kondensator jest równa Q razy wejściowy prąd sinusoidalny I .

Mówi się, że obwód elektryczny jest a coupled circuit, gdy istnieje wzajemna indukcyjność między cewkami (lub cewkami) obecnymi w tym obwodzie. Cewka to nic innego jak szeregowe połączenie rezystora i cewki indukcyjnej. W przypadku braku rezystora cewka staje się cewką indukcyjną. Czasami terminy cewka i cewka są używane zamiennie.

W tym rozdziale omówimy najpierw konwencję punktową, a następnie omówimy klasyfikację sprzężenia.

Konwencja Dot

Konwencja kropkowa to technika, która podaje szczegóły dotyczące polaryzacji napięcia na kropkowanym terminalu. Ta informacja jest przydatna podczas pisania równań KVL.

• Jeśli prąd wchodzi do kropkowanego zacisku jednej cewki (lub cewki indukcyjnej), to indukuje napięcie na innej cewce (lub cewce indukcyjnej), która ma positive polarity na kropkowanym terminalu.

• Jeśli prąd wypływa z kropkowanego zacisku jednej cewki (lub cewki indukcyjnej), to indukuje napięcie na innej cewce (lub cewce), która ma negative polarity na kropkowanym terminalu.

Klasyfikacja sprzężenia

Możemy sklasyfikować coupling na następujące dwie kategorie.

• Złącze elektryczne
• Sprzęgło magnetyczne

Omówmy teraz kolejno każdy typ sprzężenia.

Złącze elektryczne

Sprzężenie elektryczne występuje, gdy istnieje physical connectionmiędzy dwiema cewkami (lub cewkami indukcyjnymi). To połączenie może być typu wspomagającego lub przeciwnego. Opiera się na tym, czy prąd wpływa do kropkowanego terminala, czy wychodzi z kropkowanego terminala.

Złącze typu pomocniczego

Rozważmy następujący obwód elektryczny, w którym są podłączone dwie cewki indukcyjne series.

Ponieważ dwa cewki są połączone szeregowo, rozszerzenie same current Iprzepływają przez oba induktory o indukcyjności własnej L ₁ i L ₂ .

W tym przypadku prąd wprowadzam do kropkowanej końcówki każdego induktora. Stąd indukowane napięcie w każdym cewce będzie miałopositive polarity na kropkowanym zacisku z powodu prądu płynącego w innej cewce.

Zastosować KVL wokół pętli powyższego obwodu elektrycznego lub sieci.

$$V - L_1 \frac{dI}{dt} - M \frac{dI}{dt} - L_2 \frac{dI}{dt} - M \frac{dI}{dt} = 0$$

$$V = L_1 \frac{dI}{dt} + L_2 \frac{dI}{dt} + 2M \frac{dI}{dt}$$

$$V = (L_1 + L_2 + 2M)\frac{dI}{dt}$$

Powyższe równanie ma postać $\mathbf{\mathit{V = L_{Eq} \frac{dI}{dt}}}$

Dlatego też equivalent inductance szeregowej kombinacji cewek pokazanych na powyższym rysunku to

$$L_{Eq} = L_1 + L_2 + 2M$$

W tym przypadku równoważna indukcyjność została zwiększona o 2M. Stąd powyższy obwód elektryczny jest przykłademelectrical sprzęgło, które jest aiding rodzaj.

Sprzęgło typu przeciwnego

Rozważmy następujący obwód elektryczny, w którym są podłączone dwie cewki indukcyjne series.

W powyższym obwodzie prąd I wchodzi do kropkowanej końcówki cewki indukcyjnej o indukcyjności L₁. W związku z tym indukuje napięcie w drugim induktorze o indukcyjnościL₂. Więc,positive polarity indukowanego napięcia jest obecne na przerywanej końcówce tej cewki indukcyjnej.

W powyższym obwodzie prąd I odchodzi od przerywanej końcówki cewki indukcyjnej o indukcyjności L₂. W związku z tym indukuje napięcie w drugim induktorze o indukcyjnościL₁. Więc,negative polarity indukowanego napięcia jest obecne na przerywanej końcówce tej cewki indukcyjnej.

Zastosować KVL wokół pętli powyższego obwodu elektrycznego lub sieci.

$$V - L_1 \frac{dI}{dt} + M \frac{dI}{dt} - L_2 \frac{dI}{dt} + M \frac{dI}{dt} = 0$$

$$\Rightarrow V = L_1 \frac{dI}{dt} + L_2 \frac{dI}{dt} - 2M \frac{dI}{dt}$$

$$\Rightarrow V = (L_1 + L_2 - 2M)\frac{dI}{dt}$$

Powyższe równanie ma postać $\mathbf{\mathit{V = L_{Eq} \frac{dI}{dt}}}$

Dlatego też equivalent inductance szeregowej kombinacji cewek pokazanych na powyższym rysunku to

$$L_{Eq} = L_1 + L_2 - 2M$$

W tym przypadku równoważna indukcyjność została zmniejszona o 2M. Stąd powyższy obwód elektryczny jest przykłademelectrical sprzęgło, które jest opposing rodzaj.

Sprzęgło magnetyczne

Sprzężenie magnetyczne występuje, gdy istnieje no physical connectionmiędzy dwiema cewkami (lub cewkami indukcyjnymi). To połączenie może być typu wspomagającego lub przeciwnego. Opiera się na tym, czy prąd wpływa do kropkowanego terminala, czy wychodzi z kropkowanego terminala.

Złącze typu pomocniczego

Rozważ następujący odpowiednik elektryczny circuit of transformer. Ma dwie cewki, które nazywane są cewkami pierwotnymi i wtórnymi.

Prądy przepływające przez cewki pierwotne i wtórne wynoszą odpowiednio i ₁ i i ₂ . W tym przypadku te prądyenterna przerywanej końcówce odpowiedniej cewki. Stąd indukowane napięcie w każdej cewce będzie miało dodatnią biegunowość na przerywanej końcówce z powodu prądu płynącego w innej cewce.

Zastosować KVL wokół cewki pierwotnej.

$$v_1 - L_1 \frac{d i_1}{dt} - M \frac{d i_2}{dt} = 0$$

$\Rightarrow v_1 = L_1 \frac{d i_1}{dt} + M \frac{d i_2}{dt}$Equation 1

Zastosować KVL wokół cewki wtórnej.

$$v_2 - L_2 \frac{d i_2}{dt} - M \frac{d i_1}{dt} = 0$$

$\Rightarrow v_2 = L_2 \frac{d i_2}{dt} + M \frac{d i_1}{dt}$Equation 2

W równaniu 1 i równaniu 2 napięcie indukowane przez siebie i napięcie indukowane wzajemnie mają tę samą polaryzację. Stąd powyższy obwód transformatora jest przykłademmagnetic coupling, który jest z aiding rodzaj.

Sprzężenie typu przeciwnego

Rozważ następujący odpowiednik elektryczny circuit of transformer.

Prądy przepływające przez cewki pierwotne i wtórne wynoszą odpowiednio i ₁ i i ₂ . W tym przypadku prąd i ₁ wchodzi do kropkowanej końcówki cewki pierwotnej. W związku z tym indukuje napięcie w cewce wtórnej. Więc,positive polarity indukowanego napięcia występuje na kropkowanym zacisku tej cewki wtórnej.

W powyższym obwodzie prąd i ₂ wypływa z kropkowanej końcówki cewki wtórnej. W związku z tym indukuje napięcie w cewce pierwotnej. Więc,negative polarity indukowanego napięcia jest obecne na kropkowanej końcówce tej cewki pierwotnej.

Zastosować KVL wokół cewki pierwotnej.

$$v_1 - L_1 \frac{d i_1}{dt} + M \frac{d i_2}{dt} = 0$$

$\Rightarrow v_1 = L_1 \frac{d i_1}{dt} - M \frac{d i_2}{dt}$Equation 3

Zastosować KVL wokół cewki wtórnej.

$$v_2 - L_2 \frac{d i_2}{dt} + M \frac{d i_1}{dt} = 0$$

$\Rightarrow v_2 = L_2 \frac{d i_2}{dt} - M \frac{d i_1}{dt}$Equation 4

W równaniu 3 i równaniu 4 napięcie indukowane przez siebie i napięcie indukowane wzajemnie mają przeciwną polaryzację. Stąd powyższy obwód transformatora jest przykłademmagnetic coupling, który jest z opposing rodzaj.

Ogólnie rzecz biorąc, łatwo jest przeanalizować dowolną sieć elektryczną, jeśli jest reprezentowana za pomocą równoważnego modelu, który podaje zależność między zmiennymi wejściowymi i wyjściowymi. Do tego możemy użyćtwo port networkreprezentacje. Jak sama nazwa wskazuje, dwie sieci portów zawierają dwa porty. Wśród nich jeden port jest używany jako port wejściowy, a drugi jako port wyjściowy. Pierwszy i drugi port to odpowiednio port1 i port2.

One port networkto dwuzaciskowa sieć elektryczna, w której prąd wchodzi przez jeden terminal i wypływa przez inny terminal. Rezystory, cewki i kondensatory to przykłady jednej sieci portów, ponieważ każda z nich ma dwa zaciski. Na poniższym rysunku przedstawiono reprezentację sieci jednego portu.

Tutaj para terminali 1 i 1 'reprezentuje port. W tym przypadku mamy tylko jeden port, ponieważ jest to sieć z jednym portem.

Podobnie, two port networkto para dwóch zacisków sieci elektrycznej, w której prąd wpływa przez jeden zacisk i wypływa przez inny zacisk każdego portu. Na poniższym rysunku przedstawiono reprezentację sieci z dwoma portami.

Tutaj jedna para terminali 1 i 1 'reprezentuje jeden port, który jest nazywany as port1 a druga para terminali, 2 i 2 'reprezentuje inny port, nazywany as port2.

Tam są four variablesV ₁ , V ₂ , I ₁ i I ₂ w sieci dwuportowej, jak pokazano na rysunku. Z których możemy wybrać dwie zmienne jako niezależne, a kolejne dwie jako zależne. Otrzymamy więc sześć możliwych par równań. Te równania przedstawiają zmienne zależne w kategoriach zmiennych niezależnych. Współczynniki zmiennych niezależnych nazywane są asparameters. Tak więc każda para równań da zestaw czterech parametrów.

Parametry sieci dla dwóch portów

Parametry sieci z dwoma portami nazywane są jako two port network parameterslub po prostu dwa parametry portu. Poniżej przedstawiono typy parametrów sieci dla dwóch portów.

• Parametry Z.
• Parametry Y
• Parametry T.
• Parametry T.
• h-parameters
• g-parameters

Omówmy teraz kolejno te dwa parametry sieci portów.

Parametry Z.

Otrzymamy następujący zestaw dwóch równań, biorąc pod uwagę zmienne V ₁ i V ₂ jako zależne, a I ₁ i I ₂ jako niezależne. Współczynniki zmiennych niezależnych I ₁ i I ₂ nazywane są jakoZ parameters.

$$V_1 = Z_{11} I_1 + Z_{12} I_2$$

$$V_2 = Z_{21} I_1 + Z_{22} I_2$$

Plik Z parameters są

$$Z_{11} = \frac{V_1}{I_1}, \: when \: I_2 = 0$$

$$Z_{12} = \frac{V_1}{I_2}, \: when \: I_1 = 0$$

$$Z_{21} = \frac{V_2}{I_1}, \: when \: I_2 = 0$$

$$Z_{22} = \frac{V_2}{I_2}, \: when \: I_1 = 0$$

Parametry Z są nazywane jako impedance parametersponieważ są to po prostu stosunki napięć i prądów. Jednostki parametrów Z to Ohm (Ω).

Możemy obliczyć dwa parametry Z, Z ₁₁ i Z ₂₁ , wykonując otwarty obwód portu2. Podobnie możemy obliczyć pozostałe dwa parametry Z, Z ₁₂ i Z ₂₂ , wykonując otwarty obwód portu1. Dlatego parametry Z są również nazywane jakoopen-circuit impedance parameters.

Parametry Y

Otrzymamy następujący zestaw dwóch równań, biorąc pod uwagę zmienne I ₁ i I ₂ jako zależne, a V ₁ i V ₂ jako niezależne. Współczynniki zmiennych niezależnych V ₁ i V ₂ nazywane są jakoY parameters.

$$I_1 = Y_{11} V_1 + Y_{12} V_2$$

$$I_2 = Y_{21} V_1 + Y_{22} V_2$$

Plik Y parameters są

$$Y_{11} = \frac{I_1}{V_1}, \: when \: V_2 = 0$$

$$Y_{12} = \frac{I_1}{V_2}, \: when \: V_1 = 0$$

$$Y_{21} = \frac{I_2}{V_1}, \: when \: V_2 = 0$$

$$Y_{22} = \frac{I_2}{V_2}, \: when \: V_1 = 0$$

Parametry Y nazywane są jako admittance parametersponieważ są to po prostu stosunki prądów i napięć. Jednostki parametrów Y to mho.

Możemy obliczyć dwa parametry Y, Y ₁₁ i Y ₂₁ , wykonując zwarcie portu2. Podobnie, możemy obliczyć pozostałe dwa parametry Y, Y ₁₂ i Y ₂₂ , wykonując zwarcie portu1. Dlatego parametry Y są również nazywane jakoshort-circuit admittance parameters.

Parametry T.

Otrzymamy następujący zestaw dwóch równań, biorąc pod uwagę zmienne V ₁ i I ₁ jako zależne, a V ₂ i I ₂ jako niezależne. Współczynniki V ₂ i -I ₂ nazywane są jakoT parameters.

$$V_1 = A V_2 - B I_2$$

$$I_1 = C V_2 - D I_2$$

Plik T parameters są

$$A = \frac{V_1}{V_2}, \: when \: I_2 = 0$$

$$B = -\frac{V_1}{I_2}, \: when \: V_2 = 0$$

$$C = \frac{I_1}{V_2}, \: when \: I_2 = 0$$

$$D = -\frac{I_1}{I_2}, \: when \: V_2 = 0$$

Parametry T nazywane są parametrami transmisji lub ABCD parameters. Parametry A i D nie mają żadnych jednostek, ponieważ są one mniejsze. Jednostkami parametrów B i C są odpowiednio omy i mho.

Możemy obliczyć dwa parametry, A i C, wykonując otwarty obwód portu2. Podobnie, możemy obliczyć pozostałe dwa parametry, B i D, wykonując zwarcie portu2.

Parametry T.

Otrzymamy następujący zestaw dwóch równań, biorąc pod uwagę zmienne V ₂ i I ₂ jako zależne, a V ₁ i I ₁ jako niezależne. Współczynniki V ₁ i -I ₁ nazywane są jakoT’ parameters.

$$V_2 = A' V_1 - B' I_1$$

$$I_2 = C' V_1 - D' I_1$$

Plik T’ parameters są

$$A' = \frac{V_2}{V_1}, \: when\: I_1 = 0$$

$$B' = -\frac{V_2}{I_1}, \: when\: V_1 = 0$$

$$C' = \frac{I_2}{V_1}, \: when\: I_1 = 0$$

$$D' = -\frac{I_2}{I_1}, \: when \: V_1 = 0$$

Parametry T 'nazywane są odwrotnymi parametrami transmisji lub A’B’C’D’ parameters. Parametry A 'i D' nie mają żadnych jednostek, ponieważ są one mniejsze. Jednostki parametrów, B 'i C', to odpowiednio Ohm i Mho.

Możemy obliczyć dwa parametry, A 'i C', wykonując otwarty obwód portu1. Podobnie możemy obliczyć pozostałe dwa parametry, B 'i D', wykonując zwarcie portu1.

Parametry h

Otrzymamy następujący zestaw dwóch równań, biorąc pod uwagę zmienne V ₁ i I ₂ jako zależne, a I ₁ i V ₂ jako niezależne. Współczynniki zmiennych niezależnych, I ₁ i V ₂ , nazywane są jakoh-parameters.

$$V_1 = h_{11} I_1 + h_{12} V_2$$

$$I_2 = h_{21} I_1 + h_{22} V_2$$

Parametry h to

$$h_{11} = \frac{V_1}{I_1},\: when\: V_2 = 0$$

$$h_{12} = \frac{V_1}{V_2},\: when\: I_1 = 0$$

$$h_{21} = \frac{I_2}{I_1},\: when\: V_2 = 0$$

$$h_{22} = \frac{I_2}{V_2},\: when\: I_1 = 0$$

Parametry h nazywane są jako hybrid parameters. Parametry h ₁₂ i h ₂₁ nie mają żadnych jednostek, ponieważ są one bezwymiarowe. Jednostkami parametrów, h ₁₁ i h ₂₂ , są odpowiednio Ohm i Mho.

Możemy obliczyć dwa parametry, h ₁₁ i h ₂₁ , wykonując zwarcie portu2. Podobnie możemy obliczyć pozostałe dwa parametry, h ₁₂ i h ₂₂ , wykonując otwarty obwód portu1.

Parametry h lub parametry hybrydowe są przydatne w układach (sieciach) modelowania tranzystorów.

parametry g

Otrzymamy następujący zestaw dwóch równań, biorąc pod uwagę zmienne I ₁ i V ₂ jako zależne, a V ₁ i I ₂ jako niezależne. Współczynniki zmiennych niezależnych V ₁ i I ₂ nazywane są jakog-parameters.

$$I_1 = g_{11} V_1 + g_{12} I_2$$

$$V_2 = g_{21} V_1 + g_{22} I_2$$

Plik g-parameters są

$$g_{11} = \frac{I_1}{V_1},\: when\: I_2 = 0$$

$$g_{12} = \frac{I_1}{I_2},\: when\: V_1 = 0$$

$$g_{21} = \frac{V_2}{V_1},\: when\: I_2 = 0$$

$$g_{22} = \frac{V_2}{I_2},\: when \: V_1 = 0$$

Parametry g są nazywane jako inverse hybrid parameters. Parametry g ₁₂ i g ₂₁ nie mają żadnych jednostek, ponieważ są one mniejsze. Jednostkami parametrów, g ₁₁ i g _22, są odpowiednio mho i om.

Możemy obliczyć dwa parametry, g ₁₁ ig ₂₁ , wykonując otwarty obwód portu2. Podobnie, możemy obliczyć pozostałe dwa parametry, g ₁₂ i g ₂₂ , wykonując zwarcie portu1.

W poprzednim rozdziale omówiliśmy sześć typów parametrów sieci dwuportowej. Teraz przekonwertujmy jeden zestaw parametrów sieci dwuportowej na inny zestaw parametrów sieci dwuportowej. Ta konwersja jest znana jako konwersja parametrów sieci z dwoma portami lub po prostu,two-port parameters conversion.

Czasami łatwo jest znaleźć jeden zestaw parametrów danej sieci elektrycznej. W takich sytuacjach możemy przekonwertować te parametry na wymagany zestaw parametrów, zamiast bezpośrednio obliczać te parametry z większym trudem.

Omówmy teraz niektóre z dwóch konwersji parametrów portów.

Procedura konwersji parametrów dwóch portów

Wykonaj poniższe czynności, konwertując jeden zestaw dwóch parametrów sieci portu na drugi zestaw dwóch parametrów sieci portu.

• Step 1 - Napisz równania sieci dwuportowej pod kątem żądanych parametrów.

• Step 2 - Napisz równania sieci dwuportowej pod kątem zadanych parametrów.

• Step 3 - Przełóż równania z kroku 2 w taki sposób, aby były podobne do równań z kroku 1.

• Step 4- Porównując podobne równania w Kroku 1 i Kroku 3, otrzymamy pożądane parametry pod względem zadanych parametrów. Możemy przedstawić te parametry w postaci macierzy.

Parametry Z na parametry Y.

Tutaj musimy przedstawić parametry Y w kategoriach parametrów Z. Zatem w tym przypadku parametry Y są parametrami pożądanymi, a parametry Z są danymi parametrami.

Step 1 - Wiemy, że następujący zestaw dwóch równań, który reprezentuje sieć dwóch portów pod względem Y parameters.

$$I_1 = Y_{11} V_1 + Y_{12} V_2$$

$$I_2 = Y_{21} V_1 + Y_{22} V_2$$

Możemy przedstawić powyższe dwa równania w programie matrix formularz jako

$\begin{bmatrix}I_1 \\I_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}Y_{11} & Y_{12} \\Y_{21} & Y_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}V_1 \\V_2 \end{bmatrix}$Equation 1

Step 2 - Wiemy, że następujący zestaw dwóch równań, który reprezentuje sieć dwóch portów pod względem Z parameters.

$$V_1 = Z_{11} I_1 + Z_{12} I_2$$

$$V_2 = Z_{21} I_1 + Z_{22} I_2$$

Możemy przedstawić powyższe dwa równania w programie matrix formularz jako

$$\begin{bmatrix}V_1 \\V_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}Z_{11} & Z_{12} \\Z_{21} & Z_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}I_1 \\I_2 \end{bmatrix}$$

Step 3 - Możemy to zmodyfikować jako

$\begin{bmatrix}I_1 \\I_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}Z_{11} & Z_{12} \\Z_{21} & Z_{22} \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix}V_1 \\V_2 \end{bmatrix}$Equation 2

Step 4 - Zrównując równanie 1 i równanie 2, otrzymamy

$$\begin{bmatrix}Y_{11} & Y_{12} \\Y_{21} & Y_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}Z_{11} & Z_{12} \\Z_{21} & Z_{22} \end{bmatrix}^{-1} $$

$$\Rightarrow \begin{bmatrix}Y_{11} & Y_{12} \\Y_{21} & Y_{22} \end{bmatrix} = \frac{\begin{bmatrix}Z_{22} & -Z_{12} \\-Z_{21} & Z_{11} \end{bmatrix}}{\Delta Z}$$

Gdzie,

$$\Delta Z = Z_{11} Z_{22} - Z_{12} Z_{21}$$

Więc po prostu robiąc inverse of Z parameters matrixotrzymamy macierz parametrów Y.

Parametry Z na parametry T.

Tutaj musimy przedstawić parametry T za pomocą parametrów Z. Tak więc w tym przypadku parametry T są parametrami pożądanymi, a parametry Z są danymi parametrami.

Step 1 - Wiemy, że następujący zestaw dwóch równań, który reprezentuje sieć dwóch portów pod względem T parameters.

$$V_1 = A V_2 - B I_2$$

$$I_1 = C V_2 - D I_2$$

Step 2 - Wiemy, że następujący zestaw dwóch równań, który reprezentuje sieć dwóch portów pod względem Z parameters.

$$V_1 = Z_{11} I_1 + Z_{12} I_2$$

$$V_2 = Z_{21} I_1 + Z_{22} I_2$$

Step 3 - Możemy zmodyfikować powyższe równanie jako

$$\Rightarrow V_2 - Z_{22} I_2 = Z_{21} I_1$$

$$\Rightarrow I_1 = \lgroup \frac{1}{Z_{21}} \rgroup V_2 - \lgroup \frac{Z_{22}}{Z_{21}} \rgroup I_2$$

Step 4 - Powyższe równanie ma postać $I_1 = CV_2 − DI_2$. Tutaj,

$$C = \frac{1}{Z_{21}}$$

$$D = \frac{Z_{22}}{Z_{21}}$$

Step 5 - Zastępca $I_1$ wartość kroku 3 w $V_1$ równanie z kroku 2.

$$V_1 = Z_{11} \lbrace \lgroup \frac {1}{Z_{12}} \rgroup V_2 - \lgroup \frac {Z_{22}}{Z_{21}} \rgroup I_2 \rbrace + Z_{12} I_2$$

$$\Rightarrow V_1 = \lgroup \frac {Z_{11}}{Z_{21}} \rgroup V_2 - \lgroup \frac{Z_{11} Z_{22} - Z_{12} Z_{21}}{Z_{21}} \rgroup I_2$$

Step 6 - Powyższe równanie ma postać $V_1 = AV_2 − BI_2$. Tutaj,

$$A = \frac{Z_{11}}{Z_{21}}$$

$$B = \frac{Z_{11} Z_{22} - Z_{12} Z_{21}}{Z_{21}}$$

Step 7 - Dlatego T parameters matrix jest

$$\begin{bmatrix}A & B \\C & D \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{Z_{11}}{Z_{21}} & \frac{Z_{11}Z_{22} - Z_{12}Z_{21}}{Z_{21}} \\\frac{1}{Z_{21}} & \frac{Z_{22}}{Z_{21}} \end{bmatrix}$$

Parametry Y na parametry Z.

Tutaj musimy przedstawić parametry Z w kategoriach parametrów Y. Tak więc w tym przypadku parametry Z są parametrami pożądanymi, a parametry Y są parametrami podanymi.

Step 1 - Wiemy, że poniższe równanie macierzowe sieci dwóch portów z uwzględnieniem parametrów Z jako

$\begin{bmatrix}V_1 \\V_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}Z_{11} & Z_{12} \\Z_{21} & Z_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}I_1 \\I_2 \end{bmatrix}$Equation 3

Step 2 - Wiemy, że poniższe równanie macierzowe sieci dwóch portów z uwzględnieniem parametrów Y jako

$$\begin{bmatrix}I_1 \\I_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}Y_{11} & Y_{12} \\Y_{21} & Y_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}V_1 \\V_2 \end{bmatrix}$$

Step 3 - Możemy to zmodyfikować jako

$\begin{bmatrix}V_1 \\V_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}Y_{11} & Y_{12} \\Y_{21} & Y_{22} \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix}I_1 \\I_2 \end{bmatrix}$Equation 4

Step 4 - Zrównując równanie 3 i równanie 4, otrzymamy

$$\begin{bmatrix}Z_{11} & Z_{12} \\Z_{21} & Z_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}Y_{11} & Y_{12} \\Y_{21} & Y_{22} \end{bmatrix}^{-1}$$

$$\Rightarrow \begin{bmatrix}Z_{11} & Z_{12} \\Z_{21} & Z_{22} \end{bmatrix} = \frac{\begin{bmatrix}Y_{22} & - Y_{12} \\- Y_{21} & Y_{11} \end{bmatrix}}{\Delta Y}$$

Gdzie,

$$\Delta Y = Y_{11} Y_{22} - Y_{12} Y_{21}$$

Więc po prostu robiąc inverse of Y parameters matrixotrzymamy macierz parametrów Z.

Parametry Y na parametry T.

Tutaj musimy przedstawić parametry T w kategoriach parametrów Y. Zatem w tym przypadku parametry T są parametrami pożądanymi, a parametry Y są parametrami podanymi.

Step 1 - Wiemy, że następujący zestaw dwóch równań, który reprezentuje sieć dwóch portów pod względem T parameters.

$$V_1 = A V_2 - B I_2$$

$$I_1 = C V_2 - D I_2$$

Step 2 - Wiemy, że następujący zestaw dwóch równań sieci dwóch portów w odniesieniu do parametrów Y.

$$I_1 = Y_{11} V_1 + Y_{12} V_2$$

$$I_2 = Y_{21} V_1 + Y_{22} V_2$$

Step 3 - Możemy zmodyfikować powyższe równanie jako

$$\Rightarrow I_2 - Y_{22} V_2 = Y_{21} V_1$$

$$\Rightarrow V_1 = \lgroup \frac{- Y_{22}}{Y_{21}} \rgroup V_2 - \lgroup \frac{-1}{Y_{21}} \rgroup I_2$$

Step 4 - Powyższe równanie ma postać $V_1 = AV_2 − BI_2$. Tutaj,

$$A = \frac{- Y_{22}}{Y_{21}}$$

$$B = \frac{-1}{Y_{21}}$$

Step 5 - Zastępca $V_1$ wartość kroku 3 w $I_1$ równanie z kroku 2.

$$I_1 = Y_{11} \lbrace \lgroup \frac{- Y_{22}}{Y_{21}} \rgroup V_2 - \lgroup \frac{-1}{Y_{21}} \rgroup I_2 \rbrace + Y_{12} V_2$$

$$\Rightarrow I_1 = \lgroup \frac {Y_{12} Y_{21} - Y_{11} Y_{22}}{Y_{21}} \rgroup V_2 - \lgroup \frac{- Y_{11}} {Y_{21}} \rgroup I_2$$

Step 6 - Powyższe równanie ma postać $I_1 = CV_2 − DI_2$. Tutaj,

$$C = \frac {Y_{12} Y_{21} - Y_{11} Y_{22}}{Y_{21}}$$

$$D = \frac{- Y_{11}} {Y_{21}}$$

Step 7 - Dlatego T parameters matrix jest

$$\begin{bmatrix}A & B \\C & D \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{-Y_{22}}{Y_{21}} & \frac{-1}{Y_{21}} \\\frac{Y_{12}Y_{21} - Y_{11}Y_{22}}{Y_{21}} & \frac{-Y_{11}}{Y_{21}} \end{bmatrix}$$

Parametry T na parametry h

Tutaj musimy przedstawić parametry h w kategoriach parametrów T. Zatem w tym przypadku hparameters są parametrami pożądanymi, a parametry T są parametrami zadanymi.

Step 1 - Wiemy to, co następuje h-parameters sieci dwuportowej.

$$h_{11} = \frac{V_1}{I_1}, \: when \: V_2 = 0$$

$$h_{12} = \frac{V_1}{V_2}, \: when \: I_1 = 0$$

$$h_{21} = \frac{I_2}{I_1}, \: when \: V_2 = 0$$

$$h_{22} = \frac{I_2}{V_2}, \: when \: I_1 = 0$$

Step 2 - Wiemy, że następujący zestaw dwóch równań sieci dwóch portów dotyczy T parameters.

$V_1 = A V_2 - B I_2$Equation 5

$I_1 = C V_2 - D I_2$Equation 6

Step 3 - Zastępca $V_2 = 0$ w powyższych równaniach, aby znaleźć dwa parametry h, $h_{11}$ i $h_{21}$.

$$\Rightarrow V_1 = -B I_2$$

$$\Rightarrow I_1 = -D I_2$$

Zastąpić, $V_1$ i $I_1$ wartości w parametrze h, $h_{11}$.

$$h_{11} = \frac{-B I_2}{-D I_2}$$

$$\Rightarrow h_{11} = \frac{B}{D}$$

Zastąpić $I_1$ wartość w parametrze h $h_{21}$.

$$h_{21} = \frac{I_2}{- D I_2}$$

$$\Rightarrow h_{21} = - \frac{1}{D}$$

Step 4 - Zastępca $I_1 = 0$ w drugim równaniu kroku 2, aby znaleźć parametr h $h_{22}$.

$$0 = C V_2 - D I_2$$

$$\Rightarrow C V_2 = D I_2$$

$$\Rightarrow \frac{I_2}{V_2} = \frac{C}{D}$$

$$\Rightarrow h_{22} = \frac{C}{D}$$

Step 5 - Zastępca $I_2 = \lgroup \frac{C}{D} \rgroup V_2$ w pierwszym równaniu z kroku 2, aby znaleźć parametr h, $h_{12}$.

$$V_1 = A V_2 - B \lgroup \frac{C}{D} \rgroup V_2$$

$$\Rightarrow V_1 = \lgroup \frac{AD - BC}{D} \rgroup V_2$$

$$\Rightarrow \frac{V_1}{V_2} = \frac{AD - BC}{D}$$

$$\Rightarrow h_{12} = \frac{AD - BC}{D}$$

Step 6 - Dlatego macierz parametrów h jest

$$\begin{bmatrix}h_{11} & h_{12} \\h_{21} & h_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{B}{D} & \frac{AD - BC}{D} \\-\frac{1}{D} & \frac{C}{D} \end{bmatrix}$$

h-parametrów na parametry Z.

Tutaj musimy przedstawić parametry Z w kategoriach parametrów h. Zatem w tym przypadku parametry Z są parametrami pożądanymi, a parametry-H są danymi parametrami.

Step 1 - Wiemy, że następujący zestaw dwóch równań dotyczących sieci dwóch portów Z parameters.

$$V_1 = Z_{11} I_1 + Z_{12} I_2$$

$$V_2 = Z_{21} I_1 + Z_{22} I_2$$

Step 2 - Wiemy, że następujący zestaw dwóch równań sieci dwuportowej dotyczy h-parameters.

$$V_1 = h_{11} I_1 + h_{12} V_2$$

$$I_2 = h_{21} I_1 + h_{22} V_2$$

Step 3 - Możemy zmodyfikować powyższe równanie jako

$$\Rightarrow I_2 - h_{21} I_1 = h_{22} V_2$$

$$\Rightarrow V_2 = \frac{I_2 - h_{21} I_1}{h_{22}}$$

$$\Rightarrow V_2 = \lgroup \frac{-h_{21}}{h_{22}} \rgroup I_1 + \lgroup \frac{1}{h_{22}} \rgroup I_2$$

Powyższe równanie ma postać $V_2 = Z_{21} I_1 + Z_{22} I_2. Here,$

$$Z_{21} = \frac{-h_{21}}{h_{22}}$$

$$Z_{22} = \frac{1}{h_{22}}$$

Step 4- Zastąp wartość V ₂ w pierwszym równaniu z kroku 2.

$$V_1 = h_{11} I_1 + h_{21} \lbrace \lgroup \frac{-h_{21}}{h_{22}} \rgroup I_1 + \lgroup \frac{1}{h_{22}} \rgroup I_2 \rbrace$$

$$\Rightarrow V_1 = \lgroup \frac{h_{11}h_{22} - h_{12}h_{21}}{h_{22}} \rgroup I_1 + \lgroup \frac{h_{12}}{h_{22}} \rgroup I_2$$

Powyższe równanie ma postać $V_1 = Z_{11}I_1 + Z_{12}I_2$. Tutaj,

$$Z_{11} = \frac{h_{11}h_{22} - h_{12}h_{21}}{h_{22}}$$

$$Z_{12} = \frac{h_{12}}{h_{22}}$$

Step 5 - Dlatego macierz parametrów Z jest

$$\begin{bmatrix}Z_{11} & Z_{12} \\Z_{21} & Z_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{h_{11}h_{22} - h_{12}h_{21}}{h_{22}} & \frac{h_{12}}{h_{22}} \\\frac{-h_{21}}{h_{22}} & \frac{1}{h_{22}} \end{bmatrix}$$

W ten sposób możemy przekształcić jeden zestaw parametrów w inny zestaw parametrów.

Filtry jak nazwa sugeruje, filtrują składowe częstotliwości. Oznacza to, że dopuszczają pewne składowe częstotliwości i / lub odrzucają inne składowe częstotliwości.

W tym rozdziale omówimy temat passive filters. Są to obwody lub sieci elektryczne zawierające elementy bierne, takie jak rezystor, cewka i kondensator.

Rodzaje filtrów

Filtry są głównie podzielone na four typesna podstawie pasma częstotliwości, które pozwalają i / lub pasma częstotliwości, które są odrzucane. Poniżej przedstawiono typy filtrów.

• Filtr dolnoprzepustowy
• Filtr górnoprzepustowy
• Filtr pasmowoprzepustowy
• Filtr pasmowy

Filtr dolnoprzepustowy

Filtr dolnoprzepustowy, jak nazwa sugeruje, dopuszcza tylko (przepuszcza) low frequencyskładniki. Oznacza to, że odrzuca (blokuje) wszystkie inne składowe o wysokiej częstotliwości.

Domena s circuit diagram (sieć) filtra dolnoprzepustowego pokazano na poniższym rysunku.

Składa się z dwóch elementów pasywnych rezystora i kondensatora, które są połączone series. Napięcie wejściowe jest przykładane do całej tej kombinacji, a wyjście jest traktowane jako napięcie na kondensatorze.

Tutaj, $V_i(s)$ i $V_o(s)$ są transformaty Laplace'a napięcia wejściowego, $v_i(t)$ i napięcie wyjściowe, $v_o(t)$ odpowiednio.

Plik transfer function powyższej sieci jest

$$H(s) = \frac{V_o(s)}{V_i(s)} = \frac{\frac{1}{sC}}{R + \frac{1}{sC}}$$

$$\Rightarrow H(s) = \frac{1}{1 + sCR}$$

Zastąpić, $s = j \omega$ w powyższym równaniu.

$$H(j \omega) = \frac{1}{1 + j \omega CR}$$

Wielkość funkcji transferu wynosi

$$|H(j \omega)| = \frac{1}{\sqrt{(1 + (\omega CR)^2}}$$

• Przy ω = 0, wielkość funkcji transferu jest równa 1.

• W $\omega = \frac{1}{CR}$, wielkość funkcji przenoszenia jest równa 0,707.

• Przy ω = ∞ wielkość funkcji transferu jest równa 0.

Dlatego wielkość funkcji transferu Low pass filterbędzie się zmieniać od 1 do 0, ponieważ ω zmienia się od 0 do ∞.

Filtr górnoprzepustowy

Filtr górnoprzepustowy, jak nazwa sugeruje, dopuszcza tylko (przepuszcza) high frequencyskładniki. Oznacza to, że odrzuca (blokuje) wszystkie składowe o niskiej częstotliwości.

Domena s circuit diagram (sieć) filtra górnoprzepustowego pokazano na poniższym rysunku.

Składa się z dwóch elementów biernych kondensatora i rezystora, które są połączone series. Napięcie wejściowe jest przykładane do całej tej kombinacji, a wyjście jest traktowane jako napięcie na rezystorze.

Tutaj, $V_i(s)$ i $V_o(s)$ są transformaty Laplace'a napięcia wejściowego, $v_i(t)$ i napięcie wyjściowe, $v_o(t)$ odpowiednio.

Plik transfer function powyższej sieci jest

$$H(s) = \frac{V_o(s)}{V_i(s)} = \frac{R}{R + \frac{1}{sC}}$$

$$\Rightarrow H(s) = \frac{sCR}{1 + sCR}$$

Zastąpić, $s = j \omega$ w powyższym równaniu.

$$H(j \omega) = \frac{j \omega CR}{1 + j \omega CR}$$

Wielkość funkcji transferu wynosi

$$|H(j \omega)| = \frac{\omega CR}{\sqrt{(1 + (\omega CR)^2}}$$

• Przy ω = 0, wielkość funkcji transferu jest równa 0.

• W $\omega = \frac{1}{CR}$, wielkość funkcji przenoszenia jest równa 0,707.

• Przy ω = ∞ wielkość funkcji transferu jest równa 1.

Dlatego wielkość funkcji transferu High pass filterbędzie się zmieniać od 0 do 1, ponieważ ω zmienia się od 0 do ∞.

Filtr pasmowoprzepustowy

Filtr pasmowoprzepustowy, jak sama nazwa wskazuje, to allows (przechodzi) tylko one bandczęstotliwości. Ogólnie rzecz biorąc, to pasmo częstotliwości znajduje się pomiędzy zakresem niskich i wysokich częstotliwości. Oznacza to, że ten filtr odrzuca (blokuje) zarówno składowe o niskiej, jak i wysokiej częstotliwości.

Domena s circuit diagram (sieć) filtru pasmowo-przepustowego pokazano na poniższym rysunku.

Składa się z trzech elementów pasywnych cewki indukcyjnej, kondensatora i rezystora, które są połączone series. Napięcie wejściowe jest przykładane do całej tej kombinacji, a wyjście jest traktowane jako napięcie na rezystorze.

Tutaj, $V_i(s)$ i $V_o(s)$ są transformaty Laplace'a napięcia wejściowego, $v_i(t)$ i napięcie wyjściowe, $v_o(t)$ odpowiednio.

Plik transfer function powyższej sieci jest

$$H(s) = \frac{V_o(s)}{V_i(s)} = \frac{R}{R + \frac{1}{sC} + sL}$$

$$\Rightarrow H(s) = \frac{s CR}{s^2 LC + sCR + 1}$$

Zastąpić $s = j \omega$ w powyższym równaniu.

$$H(j \omega) = \frac{j \omega CR}{1 - \omega^2 LC + j \omega CR}$$

Wielkość funkcji transferu wynosi

$$|H(j \omega)| = \frac{\omega CR}{\sqrt{(1 - \omega^2 LC)^2 + (\omega CR)^2}}$$

• Przy ω = 0, wielkość funkcji transferu jest równa 0.

• W $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$, wielkość funkcji transferu jest równa 1.

• Przy ω = ∞ wielkość funkcji transferu jest równa 0.

Dlatego wielkość funkcji transferu Band pass filterbędzie się zmieniać od 0 do 1 i od 1 do 0, ponieważ ω zmienia się od 0 do ∞.

Filtr pasmowy

Filtr pasmowy, jak sama nazwa wskazuje, odrzuca (blokuje) tylko jedno pasmo częstotliwości. Ogólnie rzecz biorąc, to pasmo częstotliwości znajduje się pomiędzy zakresem niskich i wysokich częstotliwości. Oznacza to, że ten filtr przepuszcza (przepuszcza) zarówno składowe o niskiej, jak i wysokiej częstotliwości.

Domena s (sieć) domeny circuit diagrami filtr zatrzymujący pokazano na poniższym rysunku.

Składa się z trzech elementów pasywnych: rezystora, cewki i kondensatora, które są połączone series. Napięcie wejściowe jest stosowane w całej tej kombinacji, a wyjście jest uważane za napięcie na kombinacji cewki indukcyjnej i kondensatora.

Tutaj, $V_i(s)$ i $V_o(s)$ są transformaty Laplace'a napięcia wejściowego, $v_i(t)$ i napięcie wyjściowe, $v_o(t)$ odpowiednio.

Plik transfer function powyższej sieci jest

$$H(s) = \frac{V_o(s)}{V_i(s)} = \frac{sL + \frac{1}{sC}}{R + sL + \frac{1}{sC}}$$

$$\Rightarrow H(s) = \frac{s^2 LC + 1}{s^2 LC + sCR + 1}$$

Zastąpić, $s = j \omega$ w powyższym równaniu.

$$H(j \omega) = \frac{1 - \omega^2 LC}{1 - \omega^2 LC + j \omega CR}$$

Wielkość funkcji transferu wynosi

$$|H(j \omega)| = \frac{1 - \omega^2 LC}{\sqrt{(1 - \omega^2 LC)^2 + (\omega CR)^2}}$$

• Przy ω = 0, wielkość funkcji transferu jest równa 1.

• W $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$, wielkość funkcji transferu jest równa 0.

• Przy ω = ∞ wielkość funkcji transferu jest równa 1.

Dlatego wielkość funkcji transferu Band stop filterbędzie się zmieniać od 1 do 0 i od 0 do 1, ponieważ ω zmienia się od 0 do ∞.