Sześcian i prostopadłościan - rozwiązane przykłady

Q 1 - Kostka jest podzielona na 125 kostek. Przed podzieleniem sześcianu każda jego powierzchnia jest polakierowana na inny kolor. Ile małych kostek zostanie utworzonych z więcej niż jednego koloru?

A - 44

B - 32

C - 45

D - 53

Answer - A

Explanation

x = pierwiastek sześcienny z 125 = 5. Więcej niż jeden kolor oznacza dwa lub więcej kolorów. Czyli całkowita liczba kostek, których dwie powierzchnie są polakierowane = (x - 2) × liczba krawędzi = (5 - 2) × 12 = 36. Trzy polakierowane kostki mają liczbę narożników = 8. Zatem całkowita liczba wymaganych kostek = 36 + 8 = 44. Stąd opcja A jest odpowiedzią.

Q 2 - Sześcian, którego każdy róg nosi nazwę A, B, C, D, E, F, G i H jest podzielony na 27 równych małych kostek. Przed podzieleniem sześcianu każda jego powierzchnia jest polakierowana na inny kolor. Ile małych kostek zostanie utworzonych z więcej niż jednego koloru?

A - 64

B - 20

C - 55

D - 53

Answer - B

Explanation

x = pierwiastek sześcienny z 27 = 3. Więcej niż jeden kolor oznacza dwa lub więcej kolorów. Łączna liczba kostek, których dwie powierzchnie są polakierowane = (x - 2) × liczba krawędzi = (3 - 2) × 12 = 12. Trzy polakierowane kostki mają liczbę narożników = 8. Czyli łączna liczba wymaganych kostek = 12 + 8 = 20. Stąd opcja B jest odpowiedzią.

Pytanie 3 - Sześcian jest podzielony na 216 równych małych kostek. Przed podzieleniem sześcianu każda jego powierzchnia jest polakierowana na inny kolor. Ile małych kostek zostanie utworzonych z więcej niż jednego koloru?

A - 78

B - 32

C - 45

D - 56

Answer - D

Explanation

x = pierwiastek sześcienny z 216 = 6. Więcej niż jeden kolor oznacza dwa lub więcej kolorów. Czyli całkowita liczba kostek, których dwie powierzchnie są polakierowane, wynosi = (x - 2) × liczba krawędzi = (6 - 2) × 12 = 48. Trzy polakierowane kostki mają liczbę narożników = 8. Czyli całkowita liczba wymaganych kostek = 48 + 8 = 56. Zatem odpowiedzią jest opcja D.

Q 4 - Dwie sąsiednie części dużej kostki są polakierowane na zielono, a dwie pozostałe części na biało, a pozostałe dwie części na niebiesko. Sześcian jest podzielony na 125 małych i równych kostek.

Ile małych kostek zostanie utworzonych z wszystkimi trzema kolorami?

A - 7

B - 9

C - 10

D - 8

Answer - D

Explanation

Liczba rogów wynosi 8, stąd odpowiedź dla małych kostek, które mają wszystkie trzy kolory, odpowiada 8 rogom. Stąd opcja D jest poprawna.

P 5 - Ile małych kostek zostanie uformowanych z jedną porcją na pewno białą i jedną zieloną?

A - 18

B - 20

C - 16

D - 24

Answer - B

Explanation

Powierzchnie lakierowane na zielono i na biało są połączone 4 krawędziami, więc liczba kostek o ścianach lakierowanych na zielono i biało = (x - 2) × liczba krawędzi = (5 - 2) × 4 = 3 × 4 = 12. Tutaj X = Cube pierwiastek z 125 = 5. Liczba kostek o trzech polakierowanych ścianach również będzie miała kolor zielony i biały = 8. Łączna liczba kostek = 12 + 8 = 20.

Q 6 - Dwie sąsiadujące ze sobą części dużej kostki są polakierowane na czarno, pozostałe dwie części na kolor bordowy, a pozostałe dwie części na różowo. Sześcian jest podzielony na 27 małych i równych kostek.

Ile małych kostek zostanie utworzonych z wszystkimi trzema kolorami?

A - 7

B - 9

C - 10

D - 8

Answer - D

Explanation

Liczba rogów wynosi 8, stąd odpowiedź dla małych kostek, które mają wszystkie trzy kolory, odpowiada 8 rogom. Stąd opcja D.

P 7 - Ile małych kostek zostanie uformowanych z jednej porcji bordowej i jednej czarnej na pewno?

A - 12

B - 20

C - 16

D - 24

Answer - A

Explanation

Powierzchnie lakierowane na czarno i żółto są połączone 4 krawędziami, tak więc liczba kostek o powierzchniach lakierowanych na czarno i żółto = (3 - 2) × nr. krawędzi = (3 - 2) × 4 = 1 × 4 = 4. Tutaj X = pierwiastek sześcienny z 27 = 3. Liczba kostek o trzech polakierowanych ścianach również będzie miała kolor czarny i żółty = 8. Łączna liczba kostek = 4 + 8 = 12.

Q 8 - Duża kostka ma 12 cm porcję, a małe kostki wycięte z niej mają po 4 cm każda porcja. Ile wtedy maleńkich kostek zostanie utworzonych tak, że każda ściana tych sześcianów jest otoczona innymi sześcianami?

A - 1

B - 2

C - 3

D - 4

Answer - A

Explanation

Tutaj x = 12/4 = 3. Takie kostki można znaleźć następującą metodą. X - 2 = 3 - 2 = 1 i 1 × 1 × 1 = 1. Tak więc liczba sześcianów zostanie uformowana tak, że każda ściana tych sześcianów jest otoczona innymi sześcianami, jest tylko jedna.

Q 9 - Duża kostka ma 24 cm każda porcja. Z tego wycina się małe kostki po 6 cm każda. Ile wtedy powstanie maleńkich kostek otoczonych przynajmniej jedną kostką?

A - 8

B - 19

C - 17

D - 32

Answer - A

Explanation

Tutaj x = 24/6 = 4 cm. Czyli x - 2 = 4 - 2 = 2. Wreszcie: 2 × 2 × 2 = 8. Stąd odpowiedź brzmi: A.

Q 10 - Duża kostka ma 20 cm porcję, a wycięte z niej małe kostki mają po 4 cm każdej porcji. Ile wtedy maleńkich kostek zostanie utworzonych tak, że każda ściana tych sześcianów jest otoczona innymi sześcianami?

A - 26

B - 25

C - 27

D - 40

Answer - C

Explanation

Tutaj x = 20/4 = 5. Takie kostki można znaleźć następującą metodą. X - 2 = 5-2 = 3 i 3 × 3 × 3 = 27. Tak więc liczba sześcianów zostanie utworzona tak, że każda ściana tych sześcianów jest otoczona innymi sześcianami wynosi 27.