Rozumowanie - nierówność

W przypadku problemów opartych na nierównościach i zakodowanych nierównościach występuje połączenie dwóch elementarnych problemów.

W tego typu problemach schemat kodowania jest przedstawiony w całości w samym pytaniu. Odszyfrowanie nierówności w danym problemie nie oznaczałoby więcej bólu głowy niż kilka dodatkowych sekund.

Zasadniczo jest to problem nierówności i to ten aspekt należy opanować. Dlatego najpierw uczymy się podstaw nierówności.

Znamy wynik pomnożenia od 5 do 3 i liczby 15 equal. Ponieważ sąequal, to jest równość, ale w przypadku 5 × 5 ≠ 15, iloczyn 5 i 5 to not equal do liczby 15 jest to nierówność.

Greater than- Jest oznaczony przez>. Na przykład 5 × 5> 15

Less than- Jest oznaczony przez <. Na przykład 5 × 2 <15

Greater than or equal to- Jest oznaczony przez ≥. Kiedy nie znamy dokładnego warunku nierówności między dwiema liczbami, używamy tego symbolu. Na przykład rozważ dwie liczbyx i q. Wiemy tox is not less than q. W tym przypadku x może być równe q lub większe niż q, więc używamy znaku ≥.

Less than or equal to- Jest oznaczony przez ≤. Gdy jedna liczba jest mniejsza od innej liczby lub równa tej liczbie, używany jest ten symbol. Na przykład rozważ dwie liczbyX i B gdzie X is not greater than B. W tym przypadku X jest mniejsze lub równe B. Więc można to przedstawić jakoX ≤ B.

Dwie złote zasady łączenia nierówności są następujące:

A common term can combine two inequalities.

Example 1

Inequality - A> B, C> D

Tutaj używane są cztery terminy, ale nie ma wspólnego terminu. Zatem tych dwóch nierówności nie można łączyć.

Example 2

Inequality - A ≤ B, X ≥ Y

Więc tutaj brakuje również wspólnego terminu. Więc nie można ich łączyć.

If the common term is higher than one and less than the other, both the inequalities can be combined.

Example 1

Inequality - P> X, X> C.

Tutaj wspólnym terminem jest X. X jest większe niż C, ale mniejsze niż P. Więc kombinacja będzie wyglądać następująco - P> X> C lub C <X <P.

Example 2

Inequality - X <P, X ≥ C

Tutaj X jest mniejsze od P i większe lub równe członowi C. Ponieważ X jest powszechne, kombinacja jest możliwa. To znaczy - P> X ≥ C lub C ≤ X <P.

Wyciąganie wniosku z połączonej nierówności -

Kolejna zasada, the third golden rule, służy do wyciągania wniosków z połączonej nierówności, jest następujący:

Dodaj dwie nierówności i wyciągnij wniosek, pozwalając zniknąć środkowi. Wniosek nierówność ma znak ≥ wtedy i tylko wtedy, gdy oba znaki w połączonej nierówności były ≥ i odwrotnie.

Stąd wniosek będzie normalnie miał znak> ściśle, chyba że znak ≥ pojawia się dwukrotnie w połączonej nierówności.

Example 1 - Wyciągnij wnioski z następujących połączonych nierówności.

i. x> y> z

ii. x <y <z

Solution -

i. x> z

ii. x <z

Strategia rozwiązywania problemów nierówności i nierówności kodowanych

Kroki związane z rozwiązaniem problemów są następujące -

Step 1 - Starannie i szybko dekoduj symbol odnoszący się do operacji arytmetycznej.

Example- Zakładając, że P α Q. Oznacza P> Q. Dlatego zastąp α przez>. Powinieneś wziąć jeden kod na raz i zastąpić go oryginalnym symbolem matematycznym przed przejściem do następnego kodu i powinieneś to zrobić szybko.

Step 2 - Wyciągaj jeden wniosek na raz i zdecyduj, które stwierdzenia są istotne dla oceny wniosku.

Teraz trzeba to przemyśleć. Co masz na myśli przez odpowiednie stwierdzenie? Mamy tu na myśli stwierdzenie, które nie jest bezużyteczne do wyciągania wniosków. Jeśli istnieje wniosek, powiedzmy x> y, to instrukcja taka jak a> b jest bezużyteczna, ponieważ nie zawiera ani x, ani y. Dlatego żadna analiza nie może nam nic powiedzieć o tym wniosku. Odpowiednie stwierdzenia to te, które można połączyć, aby udowodnić lub obalić ten wniosek. Więc to stwierdzenie nie ma znaczenia dla x> y.

Aby zdecydować, które stwierdzenie jest istotne dla konkluzji, weź dwa terminy danego wniosku i sprawdź, czy każdy z nich występuje osobno z jednym wspólnym terminem. Te stwierdzenia będą odpowiednimi oświadczeniami.

Example - Załóżmy, że po wykonaniu kroku 1 mamy następujące stwierdzenie;

M> N, L = M, O> N, L ≤ K

Conclusion -

a) M <K, b) L> N

Step 3- Użyj trzech złotych zasad, aby połączyć odpowiednie stwierdzenia i wyciągnąć z nich wnioski. Złote zasady to;

Rule 1 - Musi być wspólny termin.

Rule 2 - Wspólny termin musi być mniejszy lub równy jednemu określeniu i większy lub równy drugiemu.

Rule 3- Wniosek jest taki, że nierówność uzyskuje się, pozwalając zniknąć członowi wspólnemu i ma ona znak ≤ lub ≥ wtedy i tylko wtedy, gdy obie nierówności w drugim kroku miały znak ≤ lub znak ≥. We wszystkich innych przypadkach we wnioskach będzie znak <lub a>.

Na zakończenie a (M <K) odpowiednie stwierdzenia to

M = L i L ≤ K.

Łącząc otrzymujemy M = L <K

Więc M ≤ K (zgodnie z krokiem 3)

Teraz M ≤ K nie oznacza, że ​​M <K, ponieważ M ≤ K pozwala, aby M było mniejsze lub równe K, co nie jest prawdą w przypadku M <K.

Na zakończenie b, odpowiednie stwierdzenia są

M> N i L = M

Po połączeniu otrzymujemy L = M> N L> N

Stąd wniosek jest zweryfikowany, dobry i dobry. Więc L> N. Jeśli nie, przeprowadź następujące kontrole.

Check 1 - Sprawdź, czy wniosek bezpośrednio wynika tylko z jednego podanego stwierdzenia.

Czasami stwierdzenie może mieć postać A ≥ B, a jeden wniosek może mieć postać B ≤ A. Oczywiście oba są całkowicie identyczne, ale czasami mamy skłonność do ignorowania takich drobnych sztuczek egzaminatora.

Example - Rozważmy następujące kwestie: (Niech α oznacza>, β oznacza ≥, γ oznacza =, δ oznacza <, η oznacza ≤)

Niech podane stwierdzenie: E γ F, C δ D, F δ g, D β F

Conclusion - 1. G η F.

Tutaj wniosek jest G η F lub G ≤ F i jest identyczny z F β G lub F ≥ G. Stąd wynika bezpośrednio z jednego stwierdzenia.

Check 2 - Wniosek, do którego dochodzisz po trzecim kroku, może być identyczny z wnioskiem, chociaż na pierwszy rzut oka może tak nie wyglądać.

Check 3 - Jeśli po trzecim kroku dojdziesz do wniosku, który ma znak ≥, a dwa podane wnioski mają znak> i znak = między tymi samymi terminami, wybór 1 lub 2 jest poprawny.

For Example- Załóżmy, że po wykonaniu trzeciego kroku osiągniesz A ≥ B. Teraz przypuśćmy, że podane wnioski są następujące - I) A> B i II) A = B. Wtedy wybór „albo I albo II następuje” jest poprawny.

Podobnie, jeśli wyciągniesz wniosek, że M ≤ N, a dane wnioski to I) M <N i II) M = N, to znowu ta sama odpowiedź.

Check 4 - Jeśli dwa podane wnioski mają poniższe znaki między tymi samymi terminami

a) znaki ≤ i> lub

b) znaki <i> lub

c) znaki> i ≤ ​​lub

d) znaki ≥ i <

i jeśli żaden z wniosków nie został zaakceptowany w żadnym z powyższych kroków; wybór jednej z dwóch poniższych opcji jest poprawny.

Załóżmy, że w danym pytaniu wnioski są

a) A ≥ B b) A <B

Przypuśćmy teraz, że żadne z nich nie zostało udowodnione na podstawie jakichkolwiek poprzednich kroków. Ponieważ mają tę samą parę (A i B), a znaki są ≥ i <; wybór, który następuje, jest poprawny.

Note- Opcja 4 mówi jedynie, że jedna liczba może mieć tylko trzy pozycje w stosunku do innej liczby. Może być mniejszy lub równy lub większy od drugiego.

Dotyczy to wszystkich dwóch liczb. Oznacza to, że [A ≤ B lub A> B] jest stwierdzeniem uniwersalnie poprawnym, ponieważ A może oznaczać (mniejsze lub równe) lub (większe niż) B.

Zatem dla dowolnych dwóch liczb A i B następujące wartości są zawsze poprawne -

I. A ≤ B lub A <B

II. A <B lub A> B

III. A> B lub A ≤ B

IV. A ≥ B lub A <B

Te cztery pary nazywane są complementary pairs. W takich przypadkach jedno z dwóch stwierdzeń zawsze będzie prawdziwe. Jako odpowiedź wybieramy „albo następuje”. Pamiętaj jednak, że wybieramy to jako naszą odpowiedź tylko wtedy, gdy żadne z dwóch stwierdzeń nie zostało udowodnione inaczej na żadnym z poprzednich kroków.