Crise de replicação em matemática
Ultimamente, tenho aprendido sobre a crise de replicação , consulte Como a fraude, o preconceito, a negligência e o hype minam a busca pela verdade (bom vídeo do YouTube) - de Michael Shermer e Stuart Ritchie. De acordo com a Wikipedia, a crise de replicação (também conhecida como crise de replicabilidade ou crise de reprodutibilidade) é
uma crise metodológica contínua em que se descobriu que muitos estudos científicos são difíceis ou impossíveis de replicar ou reproduzir. A crise de replicação afeta mais severamente as ciências sociais e a medicina.
A crise de replicação afetou a matemática (pura) ou a matemática não foi afetada? Como os resultados em matemática devem ser reproduzidos? Como podem ser replicadas provas complicadas, dado que tão poucas pessoas são capazes de entendê-las para começar?
Respostas
A matemática tem sua própria versão do problema da replicabilidade, mas por várias razões ela não é tão severa quanto em alguma literatura científica.
Um bom exemplo é a classificação de grupos finitos simples - esta foi uma conquista monumental (principalmente) concluída na década de 1980, abrangendo dezenas de milhares de páginas escritas por dezenas de autores. Mas, nos últimos 20 anos, houve um esforço contínuo significativo empreendido por Gorenstein, Lyons, Solomon e outros para consolidar a prova em um só lugar. Isso é parcialmente para simplificar e acertar as torções na prova, mas também por uma preocupação muito real de que a prova será perdida conforme os especialistas se aposentam e o campo atrai cada vez menos novos pesquisadores. Este é um problema de replicabilidade na matemática: alguns corpos de conhecimento matemático deslizam para o folclore ou arcana, a menos que haja um esforço conjunto da próxima geração para organizá-los e preservá-los.
Outro exemplo é a saga em andamento da prova proposta por Mochizuki da conjectura abc . A prova envolve milhares de páginas de trabalho que permanece obscuro para todos, exceto alguns, e permanece séria discordância sobre se o argumento é correto . Existem vários outros exemplos em que resultados importantes são questionados porque poucos especialistas gastam o tempo e a energia necessários para trabalhar cuidadosamente com a difícil teoria fundamental - a geometria simplética fornece outro exemplo recente.
Por que eu acho que essas questões não são um problema tão grande para a matemática quanto questões análogas nas ciências?
- Resultados negativos: se você se propõe a resolver um problema matemático importante, mas, em vez disso, descobre uma refutação ou contra-exemplo, isso geralmente é tão valioso quanto uma prova. Isso fornece uma verificação contra os incentivos perversos que motivam alguns pesquisadores empíricos a ampliar suas evidências com o objetivo de obter uma publicação.
- Interconectividade: a maioria das pesquisas matemáticas faz parte de um ecossistema de resultados semelhantes sobre objetos semelhantes e, em uma área com atividade suficiente, é difícil que inconsistências se desenvolvam e persistam despercebidas.
- Generalização: sempre que há um grande avanço matemático, é normalmente seguido por uma enxurrada de atividades para estendê-lo e resolver outros problemas relacionados. Isso envolve não apenas replicar o avanço, mas esclarecê-lo e sondar seus limites - um bom exemplo disso é todo o trabalho no programa de Langlands, que estende e esclarece o trabalho de Wiles no teorema da modularidade.
- Pureza: a pesquisa em ciências sociais e psicologia é difícil porque os resultados de um experimento dependem de normas e circunstâncias empíricas que podem mudar significativamente ao longo do tempo - por exemplo, muitos estudos sobre consumo de mídia antes dos anos 90 foram tornados quase irrelevantes pela internet. Os fundamentos de uma área da matemática podem mudar, mas a correção lógica de um argumento matemático não pode (mais ou menos).
Como podemos esperar que provas cada vez mais complicadas sejam replicadas quando tão poucas pessoas podem entendê-las em primeiro lugar?
Minha resposta a isso é que não esperamos que sejam replicados no sentido usual desta palavra (repetidos e incluídos nos livros didáticos com apenas pequenas mudanças cosméticas e estilísticas). Em vez disso, esperamos que sejam gradualmente simplificados e otimizados, seja alterando as próprias provas, encontrando um atalho ou substituindo todo o argumento por um completamente diferente, ou construindo uma teoria que é localmente trivial, mas prossegue no sentido de tornar a prova compreensível e verificável muito mais rápido do que o existente. Este último é exatamente o que Mochizuki tentou fazer, embora seu objetivo fosse apenas reduzir a dificuldade de "totalmente impossível" para "quase inviável" e a opinião prevalecente é que ele falhou no caso da conjectura do ABC, embora tenha obtido sucesso em vários outros problemas.
A primeira abordagem é mais comum na análise (amplamente entendida), a segunda é mais comum na álgebra (também amplamente entendida), mas você pode tentar jogar em qualquer um dos campos. Minha própria percepção do que é provado e do que não é beirando o solipsismo: aceito o fato como provado se li e entendi todo o argumento ou o descobri sozinho. Portanto, a maior parte da matemática permanece "não comprovada" para mim e, aparentemente, permanecerá sem comprovação pelo resto da minha vida. Claro, isso não significa que eu estou questionando a validade dos teoremas correspondentes. O que isso significa é que eu nunca me permito confiar em meus próprios papéis em algo que não tenha verificado totalmente para minha satisfação, tento fazer meus papéis tão independentes quanto possível dentro de limites práticos, e que considero a atividade de simplificar as provas existentes tão significativas quanto resolver questões abertas, mesmo no caso em que as provas são razoavelmente conhecidas e já podem ser classificadas como "acessíveis". Mas nem todo mundo trabalha assim. Muitas pessoas ficam completamente felizes em lançar uma bomba nuclear sempre que têm a oportunidade de fazê-lo e não há nada formalmente errado com isso: o ponto de vista subjacente é que nosso tempo é curto, temos que descobrir o máximo possível de coisas, e as simplificações, etc. virão depois. Provavelmente, precisamos de uma mistura dos dois tipos para proceder da maneira mais eficiente possível.
Então, eu diria que a matemática é razoavelmente imune a esta crise no sentido de que os matemáticos estão cientes dos riscos associados, assumem-nos de boa vontade e tentam construir gradualmente o terreno seguro de acessibilidade geral sob tudo, embora o processo desta construção seja sempre por trás do processo da própria descoberta matemática. O mesmo se aplica à física e à medicina, embora a lacuna entre a "linha de frente" e o "terreno seguro" possa ser maior. Na verdade, aplica-se a qualquer ciência que mereça ser chamada por esse nome. Quanto às chamadas "ciências sociais", muitas vezes são feitas ao nível da alquimia e da astrologia hoje em minha humilde opinião (e não só a minha: leia as críticas de Richard Feinman, por exemplo) mas não devemos esquecer que essas foram as precursores de ciências tão respeitadas como química e astronomia / cosmologia, então eu vejo a crise atual como parte do processo normal e saudável de transição do "blahblahblah" geral prevalecente e comportamento de cata-vento em relação aos ventos políticos para algo mais substancial .
Edit: Paul Siegel me convenceu de que as coisas realmente mudaram desde a época em que fiz cursos (obrigatórios) de filosofia marxista e a história do partido comunista, embora essa mudança possa não ser facilmente visível para o público em geral, porque ocorre principalmente fora da academia e é impulsionado principalmente pelos interesses comerciais da empresa, portanto, grande parte disso ocorre a portas fechadas (Paul, corrija-me se eu interpretar mal o que você disse de alguma forma). Portanto, minha afirmação de que as ciências sociais atuais não são capazes de algo além do blahblahblah geral não é mais válida e eu a retrato. No entanto, ainda mantenho a opinião de que é blahblahblah, em vez de análise de dados concretos ou outra abordagem científica que impulsiona muitas discussões e decisões políticas e sociais públicas de hoje (não sei o que acontece aqui atrás das portas fechadas, é claro, e pode ser que, como na publicidade, o que vemos é apenas o que os pastores escolhem mostrar às suas ovelhas para conduzi-las na direção que desejam, mas prefiro pensar que não é exatamente o caso). Se alguém puder desafiar isso de forma convincente, eu ficaria muito interessado.
Pedimos desculpas a todos por mudar esta discussão para uma linha secundária.
Essa crise afetou a matemática (pura) ou você acredita que a matemática é imune a ela?
Imune ao problema de replicação, sim. Mas não imune às atitudes que levam os cientistas a fazer pesquisas irreplicáveis em primeiro lugar. Alguns matemáticos anunciarão que um determinado teorema foi provado, colhem a glória com base no fato de que eles provaram coisas no passado e nunca publicarão seus resultados. A conjectura de Rota é um exemplo notório. Agora estamos em uma situação em que (a) ninguém sabe se é verdade e (b) ninguém trabalhou nisso por sete anos, e provavelmente (se descobrir que nenhuma prova realmente existe) não funcionará por pelo menos outra década.
Como os resultados em matemática devem ser reproduzidos?
Na ciência, seria ideal se as pessoas dedicassem tempo de pesquisa para replicar os resultados experimentais publicados. Isso não acontece muito porque não há glória a ser ganha fazendo isso.
O análogo na matemática seria as pessoas publicarem novas provas de resultados existentes, ou exposições de provas existentes, o que felizmente é muito mais comum. Não me refiro a copiar resultados conhecidos em uma nova linguagem (Tom Leinster, A bijeção entre módulos projetivos indecomponíveis e simples ), quero dizer trabalhos expositivos como este (Cao e Zhu, Uma prova completa de Poincaré e conjecturas de geometrização , Asiático J. Math. 10 (2006) pp. 165-492).
Ainda mais nobres são as pessoas que usam o software assistente de prova para verificar a matemática existente .
Como podemos esperar que provas cada vez mais complicadas sejam replicadas quando tão poucas pessoas podem entendê-las em primeiro lugar?
Acho que nossa maior esperança é o software assistente de prova. Talvez, no final deste século, estejamos vivendo em um mundo onde nenhum matemático pode replicar qualquer prova razoavelmente avançada, mas a pesquisa ainda está felizmente em andamento.