Cosmologia - Idade do Universo
Conforme discutido nos capítulos anteriores, a evolução do tempo do parâmetro Hubble é dada por -
$$ H (z) = H_0E (z) ^ {\ frac {1} {2}} $$
Onde z é o desvio para o vermelho e E(Z) é -
$$ E (z) \ equiv \ Omega_ {m, 0} (1 + z) ^ 3 + \ Omega (1 + z) ^ 4 + \ Omega_ {k, 0} (1 + z) ^ 2 + \ Omega ^ {\ wedge, 0} $$
Se a expansão do universo for constante, a verdadeira idade do universo é dada da seguinte forma -
$$ t_H = \ frac {1} {H_0} $$
Se for o universo dominado pela matéria, ou seja, o universo de Einstein Desitter, então a verdadeira idade do universo é dada por -
$$ t_H = \ frac {2} {3H_0} $$
A escala e o Redshift são definidos por -
$$ a = \ frac {a_0} {1 + z} $$
A idade do universo em termos do parâmetro cosmológico é derivada da seguinte forma.
O parâmetro Hubble é dado por -
$$ H = \ frac {\ frac {da} {dt}} {a} $$
Diferenciando, temos -
$$ da = \ frac {-dz} {(1 + z) ^ 2} $$
Onde a0 = 1 (valor presente do fator de escala)
$$ \ frac {\ mathrm {d} a} {\ mathrm {d} t} = \ frac {-1} {(1 + z) ^ 2} $$
$$ \ frac {\ mathrm {d} a} {\ mathrm {d} t} = \ frac {\ mathrm {d} a} {\ mathrm {d} t} \ frac {\ mathrm {d} z} { \ mathrm {d} t} $$
$$ H = \ frac {\ dot {a}} {a} = \ frac {\ mathrm {d} a} {\ mathrm {d} t} \ frac {\ mathrm {d} z} {\ mathrm {d } t} \ frac {1 + z} {1} $$
$$ \ frac {\ dot {a}} {a} = \ frac {-1} {1 + z} \ frac {\ mathrm {d} z} {\ mathrm {d} t} \ frac {1} { 1} $$
$$ H (z) = H_0E (z) ^ {\ frac {1} {2}} $$
$$ dt = \ frac {-dz} {H_0E (z) ^ {\ frac {1} {2}} (1 + z)} $$
Se quisermos encontrar a idade do universo em qualquer desvio para o vermelho ‘z’ então -
$$ t (z) = \ frac {1} {H_0} \ int _ {\ infty} ^ {z_1} \ frac {-1} {E (z) ^ {\ frac {1} {2}} (1+ z)} dz $$
Onde k é o parâmetro de densidade de curvatura e -
$$ E (z) \ equiv \ Omega_ {m, 0} (1 + z) ^ 3 + \ Omega_ {rad, 0} (1 + z) ^ 4 + \ Omega_ {k, 0} (1 + z) ^ 2 + \ Omega _ {\ wedge, 0} $$
Para calcular a idade atual do universo, tome z1 = 0.
$$ t (z = 0) = t_ {idade} = t_0 = \ frac {1} {H_0} \ int _ {\ infty} ^ {z_1} \ frac {-1} {E (z) ^ {\ frac { 1} {2}} (1 + z)} dz $$
Para o Modelo Desitter de Einstein, ou seja, $ \ Omega_m = 1 $, $ \ Omega_ {rad} = 0 $, $ \ Omega_k = 0 $, $ \ Omega_ \ wedge = 0 $, a equação para a idade do universo torna-se -
$$ t_ {idade} = \ frac {1} {H_0} \ int_ {0} ^ {\ infty} \ frac {1} {(1 + z) ^ {\ frac {5} {2}}} dz $ $
Depois de resolver a integral, obtemos -
$$ t_H = \ frac {2} {3H_0} $$
O céu noturno é como um Cosmic Time Machine.Sempre que observamos um planeta, estrela ou galáxia distante, estamos vendo-o como era há horas, séculos ou mesmo milênios. Isso ocorre porque a luz viaja a uma velocidade finita (a velocidade da luz) e dadas as grandes distâncias no Universo, não vemos os objetos como eles são agora, mas como eram quando a luz foi emitida. O tempo decorrido entre - quando detectamos a luz aqui na Terra e quando ela foi originalmente emitida pela fonte, é conhecido comoLookback Time (tL(z1)).
Portanto, o tempo de lookback é dado por -
$$ t_1 (z_1) = t_0-t (z_1) $$
O tempo de retrospectiva para o Universo de Einstein Desitter é -
$$ t_L (z) = \ frac {2} {3H_0} \ left [1- \ frac {1} {(1 + z) ^ {\ frac {3} {2}}} \ right] $$
Pontos para lembrar
Sempre que observamos um planeta, estrela ou galáxia distante, estamos vendo-o como era há horas, séculos ou mesmo milênios.
O tempo decorrido entre - quando detectamos a luz aqui na Terra e quando ela foi originalmente emitida pela fonte, é conhecido como tempo de lookback.