Redshift e velocidade de recessão
As observações de Hubble fizeram uso do fato de que a velocidade radial está relacionada ao deslocamento do Spectral Lines. Aqui, observaremos quatro casos e encontraremos uma relação entre a velocidade de recessão ($ v_r $) e o desvio para o vermelho (z).
Caso 1: Caso Não Relativístico de Mudança de Fonte
Nesse caso, v é muito menor que c. A fonte está emitindo algum sinal (som, luz, etc.), que está se propagando conformeWavefronts. O intervalo de tempo entre o envio de dois sinais consecutivos no quadro fonte éΔts. O intervalo de tempo entre a recepção de dois sinais consecutivos no quadro do observador éΔto.
Se o observador e a fonte forem estacionários, então Δts = Δto, mas este não é o caso aqui. Em vez disso, a relação é a seguinte.
$$ \ Delta t_o = \ Delta t_s + \ frac {\ Delta l} {c} $$
Agora, $ \ Delta l = v \ Delta t_s $
Além disso, uma vez que (velocidade da onda x tempo) = comprimento de onda, obtemos
$$ \ frac {\ Delta t_o} {\ Delta t_s} = \ frac {\ lambda_o} {\ lambda_s} $$
A partir das equações acima, obtemos a seguinte relação -
$$ \ frac {\ lambda_o} {\ lambda_s} = 1 + \ frac {v} {c} $$
onde $ \ lambda _s $ é o comprimento de onda do sinal na fonte e $ \ lambda _o $ é o comprimento de onda do sinal interpretado pelo observador.
Aqui, uma vez que a fonte está se afastando do observador, v é positivo.
Mudança para o vermelho -
$$ z = \ frac {\ lambda_o - \ lambda_s} {\ lambda_s} = \ frac {\ lambda_o} {\ lambda_s} - 1 $$
A partir das equações acima, obtemos o deslocamento para o vermelho da seguinte maneira.
$$ z = \ frac {v} {c} $$
Caso 2: Caso Não Relativístico de Movimento do Observador
Nesse caso, v é muito menor que c. Aqui, $ \ Delta l $ é diferente.
$$ \ Delta l = v \ Delta t_o $$
Na simplificação, obtemos -
$$ \ frac {\ Delta t_o} {\ Delta t_s} = \ left (1 - \ frac {v} {c} \ right) ^ {- 1} $$
Conseguimos mudança para o vermelho da seguinte forma -
$$ z = \ frac {v / c} {1-v / c} $$
Desde a v << c, a expressão de desvio para o vermelho para o Caso I e o Caso II são aproximadamente iguais.
Vejamos como os desvios para o vermelho obtidos nos dois casos acima diferem.
$$ z_ {II} - z_I = \ frac {v} {c} \ left [\ frac {1} {1 - v / c} -1 \ right] $$
Portanto, $ z_ {II} - z_ {I} $ é um número muito pequeno devido ao fator $ (v / c) ^ 2 $.
Isso implica que, se v << c, não podemos dizer se a fonte está se movendo ou se o observador está se movendo.
Vamos agora entender o Basics of STR (Teoria da Relatividade Especial) -
A velocidade da luz é uma constante.
Quando a fonte (ou observador) está se movendo a uma velocidade comparável à velocidade da luz, efeitos relativísticos são observados.
Dilatação do tempo: $ \ Delta t_o = \ gamma \ Delta t_s $
Contração de comprimento: $ \ Delta l_o = \ Delta t_s / \ gamma $
Aqui, $ \ gamma $ é o Lorrentz factor, maior que 1.
$$ \ gamma = \ frac {1} {\ sqrt {1- (v ^ 2 / c ^ 2)}} $$
Caso 3: Caso Relativístico de Mudança de Fonte
Nesse caso, v é comparável a c. Consulte a mesma figura do Caso I. Devido ao efeito relativístico, a dilatação do tempo é observada e, portanto, a seguinte relação é obtida. (A fonte está se movendo com velocidade relativística)
$$ \ Delta t_o = \ gamma \ Delta t_s + \ frac {\ Delta l} {c} $$
$$ \ Delta l = \ frac {v \ gamma \ Delta t_s} {c} $$
$$ \ frac {\ Delta t_o} {\ Delta t_s} = \ frac {1 + v / c} {\ sqrt {1- (v ^ 2 / c ^ 2)}} $$
Em uma simplificação adicional, obtemos,
$$ 1 + z = \ sqrt {\ frac {1 + v / c} {1-v / c}} $$
A expressão acima é conhecida como Kinematic Doppler Shift Expression.
Caso 4: Caso Relativístico de Movimento do Observador
Consulte a mesma figura do Caso II. Devido ao efeito relativístico, o encurtamento do tempo é observado e, portanto, a seguinte relação é obtida. (O observador está se movendo com velocidade relativística)
$$ \ Delta t_o = \ frac {\ Delta t_s} {\ gamma} + \ frac {\ Delta l} {c} $$
$$ \ Delta l = \ frac {v \ Delta t_o} {c} $$
$$ \ frac {\ Delta t_o} {\ Delta t_s} = \ frac {\ sqrt {1- (v ^ 2 / c ^ 2)}} {1-v / c} $$
Para simplificar ainda mais, obtemos -
$$ 1 + z = \ sqrt {\ frac {1+ v / c} {1- v / c}} $$
A expressão acima é a mesma que obtivemos para o Caso III.
Pontos para lembrar
A velocidade de recessão e o desvio para o vermelho de uma estrela são grandezas relacionadas.
Em um caso não relativístico, não podemos determinar se a fonte está em movimento ou estacionária.
Em um caso relativístico, não há diferença na relação redshift-velocidade recessional para o movimento da fonte ou do observador.
Os relógios em movimento se movem mais devagar, é um resultado direto da teoria da relatividade.