Cosmologia - Método de trânsito

O Método de Trânsito (Kepler Space Telescope)é usado para descobrir o tamanho. A queda no brilho de uma estrela por um planeta é geralmente muito menos diferente de um sistema binário.

  • F0 é o fluxo da estrela antes que o planeta o oculte.

  • F1 é o fluxo depois que o planeta inteiro está na frente da estrela.

A imagem a seguir será usada para todos os cálculos.

$$ \ frac {F_0 - F_1} {F_0} = \ frac {\ pi r_p ^ {2}} {\ pi R ^ 2_ \ ast} $$

$$ \ frac {\ Delta F} {F} \ cong \ frac {r ^ 2_p} {R ^ 2_ \ ast} $$

$$ \ left (\ frac {\ Delta F} {F} \ right) _ {earth} \ cong 0,001 \% $$

$$ \ left (\ frac {\ Delta F} {F} \ right) _ {júpiter} \ cong 1 \% $$

Isso não é fácil de conseguir com um telescópio terrestre. Isso é alcançado pelo telescópio Hubble.

Aqui, $ t_T $ é o tempo entre as posições A e D e $ t_F $ é o tempo entre as posições B e C.

A geometria de um trânsito em relação à inclinação ido sistema. A latitude e a inclinação do trânsito são intercambiáveis.

A partir das imagens acima, podemos escrever -

$$ \ frac {h} {a} = cos (i) $$

$$ \ frac {h} {R_ \ ast} = sin (\ delta) $$

$$ cos (i) = \ frac {R_ \ ast sin (\ delta)} {a} $$

$$ y ^ 2 = (R_ \ ast + R_p) ^ 2 - h ^ 2 $$

$$ y = [(R_ \ ast + R_p) ^ 2 - h ^ 2] ^ {\ frac {1} {2}} $$

$$ sin (\ theta) = \ frac {y} {a} $$

$$ \ theta = sin ^ {- 1} \ left [\ frac {(R_ \ ast + R_p) ^ 2 - a ^ 2cos ^ 2 (i)} {a ^ 2} \ right] ^ {\ frac {1 } {2}} $$

$$ t_T = \ frac {P} {2 \ pi} \ vezes 2 \ theta $$

Aqui, $ t_T $ é a fração de um período de tempo para o qual o trânsito acontece e (2θ / 2π) é a fração do ângulo para o qual o trânsito acontece.

$$ sin (\ frac {t_T \ pi} {P}) = \ frac {R_ \ ast} {a} \ left [\ left (1+ \ frac {R_p} {R_ \ ast} \ right) ^ 2 - \ left (\ frac {a} {R_ \ ast} cos (i) \ right) ^ 2 \ right] ^ {\ frac {1} {2}} $$

Normalmente, um >> R ∗ >> Rp. Então, podemos escrever -

$$ sin (\ frac {t_T \ pi} {P}) = \ frac {R_ \ ast} {a} \ left [1- \ left (\ frac {a} {R_ \ ast} cos (i) \ right ) ^ 2 \ right] ^ {\ frac {1} {2}} $$

Aqui, Pé a duração entre dois trânsitos sucessivos. O tempo de trânsito é muito menor em comparação com o período de tempo orbital. Conseqüentemente,

$$ t_T = \ frac {P} {\ pi} \ left [\ left (\ frac {R_ \ ast} {a} \ right) ^ 2 - cos ^ 2 (i) \ right] ^ {\ frac {1 } {2}} $$

Aqui, tT, P, R∗ são os observáveis, a e i deve ser descoberto.

Agora,

$$ sin (\ frac {t_F \ pi} {P}) = \ frac {R_ \ ast} {a} \ left [\ left (1 - \ frac {R_p} {R_ \ ast} \ right) ^ 2 - \ left (\ frac {a} {R_ \ ast} cos \: i \ right) ^ 2 \ right] ^ {\ frac {1} {2}} $$

onde, $ y ^ 2 = (R_ \ ast - R_p) ^ 2 - h ^ 2 $.

Deixei,

$$ \ frac {\ Delta F} {F} = D = \ left (\ frac {R_p} {R_ \ ast} \ right) ^ 2 $$

Agora, podemos expressar,

$$ \ frac {a} {R_ \ ast} = \ frac {2P} {\ pi} D ^ {\ frac {1} {4}} (t ^ 2_T - t ^ 2_F) ^ {- \ frac {1 } {2}} $$

Para as estrelas da sequência principal,

$$ R_ \ ast \ propto M ^ \ alpha_ \ ast $$

$$ \ frac {R_ \ ast} {R_0} \ propto \ left (\ frac {M_ \ ast} {M_0} \ right) ^ \ alpha $$

Isto dá R∗.

Portanto, obtemos o valor de 'a' também.

Então, temos 'R p ', 'ap' e até mesmo 'i'.

Por tudo isso,

$$ h \ leq R_ \ ast + R_p $$

$$ a \: cos \: i \ leq R_ \ ast + R_p $$

Mesmo para ~ 89 graus, a duração do trânsito é muito pequena. O planeta deve estar muito próximo para ter um tempo de trânsito suficiente. Isso fornece uma restrição rígida em 'i'. Assim que obtivermos 'i', podemos derivar 'm p ′ da medição da velocidade radial.

Essa detecção pelo método de trânsito é chamada de detecção de chance, ou seja, probabilidade de observar um trânsito. Os cálculos da probabilidade de trânsito (probabilidade de observação) são mostrados abaixo.

A probabilidade de trânsito está relacionada ao ângulo sólido traçado pelas duas configurações de trânsito extremas, que é -

$$ Sólido \: ângulo \: de \: planeta \: = 2 \ pi \ left (\ frac {2R_ \ ast} {a} \ right) $$

Bem como o ângulo sólido total em um semi-eixo maior a, ou -

$$ Sólido \: ângulo \: de \: esfera \: = \: 4 \ pi $$

A probabilidade é a proporção dessas duas áreas -

$$ = \: \ frac {área \: de \: céu \: coberto \: por \: favorável \: orientação} {área \: de \: céu \: coberto \: por \: todos \: possível \: orientação \: de \: órbita} $$

$ = \ frac {4 \ pi a_pR_ \ ast} {4 \ pi a ^ 2_p} = \ frac {R_ \ ast} {a_p} $ $ \ frac {area \: of \: hollow \: cyclinder} {area \ : de \: esfera} $

Essa probabilidade é independente do observador.

Pontos para lembrar

  • O Método de Trânsito (Telescópio Espacial Kepler) é usado para descobrir o tamanho.
  • A detecção pelo método de trânsito é uma detecção casual.
  • O planeta deve estar muito próximo para obter tempo de trânsito suficiente.
  • A probabilidade de trânsito está relacionada ao ângulo sólido do planeta.
  • Esta probabilidade é independente do quadro de referência do observador.