Equação de Friedmann e modelos mundiais
Neste capítulo, entenderemos o que é a Equação de Friedmann e estudaremos em detalhes os Modelos de Mundo para diferentes constantes de curvatura.
Equação de Friedmann
Essa equação nos fala sobre a expansão do espaço em modelos homogêneos e isotrópicos do universo.
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho + \ frac {2U} {mr_c ^ 2a ^ 2} $ $
Isso foi modificado no contexto de General Relativity (GR) e Robertson-Walker Metric da seguinte forma.
Usando equações GR -
$$ \ frac {2U} {mr_c ^ 2} = -kc ^ 2 $$
Onde ké a constante de curvatura. Portanto,
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho - \ frac {kc ^ 2} {a ^ 2} $ $
Além disso, $ \ rho $ é substituído por densidade de energia que inclui matéria, radiação e qualquer outra forma de energia. Mas, para fins de representação, é escrito como $ \ rho $.
Modelos mundiais para diferentes constantes de curvatura
Vejamos agora as várias possibilidades dependendo dos valores da constante de curvatura.
Caso 1: k = 1, ou universo fechado
Para um universo em expansão, $ da / dt> 0 $. Conforme a expansão continua, o primeiro termo no RHS da equação acima vai como $ a ^ {- 3} $, enquanto o segundo termo vai como $ a ^ {- 2} $. Quando os dois termos se tornam iguais, o universo para de expansão. Então -
$$ \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho = \ frac {kc ^ 2} {a ^ 2} $$
Aqui, k = 1, portanto,
$$ a = \ left [\ frac {3c ^ 2} {8 \ pi G \ rho} \ right] ^ {\ frac {1} {2}} $$
Esse universo é finito e possui volume finito. Isso é chamado de Universo Fechado.
Caso 2: k = -1 ou Universo aberto
E se k < 0, a expansão nunca pararia. Depois de algum ponto, o primeiro termo no RHS pode ser negligenciado em comparação com o segundo termo.
Aqui, k = -1. Portanto, $ da / dt ∼ c $.
Nesse caso, o universo está parando. Esse universo tem espaço e tempo infinitos. Isso é chamado de Universo aberto.
Caso 3: k = 0 ou Universo plano
Nesse caso, o universo está se expandindo em uma taxa decrescente. Aqui, k = 0. Portanto,
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho $$
Esse universo tem espaço e tempo infinitos. Isso é chamado de Universo plano.
Pontos para lembrar
A equação de Friedmann nos fala sobre a expansão do espaço em modelos homogêneos e isotrópicos do universo.
Dependendo dos diferentes valores da constante de curvatura, podemos ter um Universo Fechado, Aberto ou Plano.