Cosmologia - Distância do diâmetro angular
Neste capítulo, vamos entender o que é a Distância do Diâmetro Angular e como ela ajuda na Cosmologia.
Para o universo presente -
$ \ Omega_ {m, 0} \: = \: 0,3 $
$ \ Omega _ {\ wedge, 0} \: = \: 0,69 $
$ \ Omega_ {rad, 0} \: = \: 0,01 $
$ \ Omega_ {k, 0} \: = \: 0 $
Estudamos dois tipos de distâncias até agora -
Proper distance (lp) - A distância que os fótons viajam da fonte até nós, ou seja, o Instantaneous distance.
Comoving distance (lc) - Distância entre objetos em um espaço que não se expande, ou seja, distance in a comoving frame of reference.
Distância como uma função do Redshift
Considere uma galáxia que irradia um fóton por vez t1 que é detectado pelo observador em t0. Podemos escrever a distância adequada para a galáxia como -
$$ l_p = \ int_ {t_1} ^ {t_0} cdt $$
Deixe o redshift da galáxia ser z,
$$ \ Rightarrow \ frac {\ mathrm {d} z} {\ mathrm {d} t} = - \ frac {1} {a ^ 2} \ frac {\ mathrm {d} a} {\ mathrm {d} t} $$
$$ \ Rightarrow \ frac {\ mathrm {d} z} {\ mathrm {d} t} = - \ frac {\ frac {\ mathrm {d} a} {\ mathrm {d} t}} {a} \ frac {1} {a} $$
$$ \ portanto \ frac {\ mathrm {d} z} {\ mathrm {d} t} = - \ frac {H (z)} {a} $$
Agora, comovendo a distância da galáxia a qualquer momento t será -
$$ l_c = \ frac {l_p} {a (t)} $$
$$ l_c = \ int_ {t_1} ^ {t_0} \ frac {cdt} {a (t)} $$
Em termos de z,
$$ l_c = \ int_ {t_0} ^ {t_1} \ frac {cdz} {H (z)} $$
Existem duas maneiras de encontrar distâncias, que são as seguintes -
Relação Fluxo-Luminosidade
$$ F = \ frac {L} {4 \ pi d ^ 2} $$
Onde d é a distância na fonte.
A distância do diâmetro angular de uma fonte
Se soubermos o tamanho de uma fonte, sua largura angular nos dirá sua distância do observador.
$$ \ theta = \ frac {D} {l} $$
Onde l é a distância do diâmetro angular da fonte.
θ é o tamanho angular da fonte.
D é o tamanho da fonte.
Considere uma galáxia de tamanho D e tamanho angular dθ.
Nós sabemos isso,
$$ d \ theta = \ frac {D} {d_A} $$
$$ \ portanto D ^ 2 = a (t) ^ 2 (r ^ 2 d \ theta ^ 2) \ quad \ porque dr ^ 2 = 0; \: d \ phi ^ 2 \ approx 0 $$
$$ \ Rightarrow D = a (t) rd \ theta $$
Mudando r para rc, a distância móvel da galáxia, temos -
$$ d \ theta = \ frac {D} {r_ca (t)} $$
Aqui, se escolhermos t = t0, acabamos medindo a distância atual até a galáxia. MasDé medido no momento da emissão do fóton. Portanto, usandot = t0, obtemos uma distância maior da galáxia e, portanto, uma subestimação de seu tamanho. Portanto, devemos usar o tempot1.
$$ \ portanto d \ theta = \ frac {D} {r_ca (t_1)} $$
Comparando isso com o resultado anterior, obtemos -
$$ d_ \ wedge = a (t_1) r_c $$
$$ r_c = l_c = \ frac {d_ \ wedge} {a (t_1)} = d_ \ wedge (1 + z_1) \ quad \ porque 1 + z_1 = \ frac {1} {a (t_1)} $$
Portanto,
$$ d_ \ wedge = \ frac {c} {1 + z_1} \ int_ {0} ^ {z_1} \ frac {dz} {H (z)} $$
dA é a distância do diâmetro angular para o objeto.
Pontos para lembrar
Se soubermos o tamanho de uma fonte, sua largura angular nos dirá sua distância do observador.
A distância adequada é a distância que os fótons viajam da fonte até nós.
Distância comovente é a distância entre objetos em um espaço que não se expande.