Cosmologia - Distância de Luminosidade
Conforme discutido no capítulo anterior, a distância do diâmetro angular a uma fonte no desvio para o vermelho z é dado por -
$$ d_ \ wedge (z_ {gal}) = \ frac {c} {1 + z_ {gal}} \ int_ {0} ^ {z_ {gal}} \ frac {1} {H (z)} dz $ $
$$ d_ \ wedge (z_ {gal}) = \ frac {r_c} {1 + z_ {gal}} $$
onde $ r_c $ é a distância móvel.
A distância de luminosidade depende da cosmologia e é definida como a distância na qual o fluxo observado f é de um objeto.
Se a luminosidade intrínseca $ d_L $ de um objeto distante é conhecida, podemos calcular sua luminosidade medindo o fluxo $ f $ que é determinado por -
$$ d_L (z) = \ sqrt {\ frac {L} {4 \ pi f}} $$
A energia do fóton muda para vermelho.
$$ \ frac {\ lambda_ {obs}} {\ lambda_ {emi}} = \ frac {a_0} {a_e} $$
onde $ \ lambda_ {obs}, \ lambda_ {emi} $ são observados e comprimentos de onda emitidos e $ a_0, a_e $ são fatores de escala correspondentes.
$$ \ frac {\ Delta t_ {obs}} {\ Delta t_ {emi}} = \ frac {a_0} {a_e} $$
onde $ \ Delta_t {obs} $ é observado como o intervalo de tempo do fóton, enquanto $ \ Delta_t {emi} $ é o intervalo de tempo no qual eles são emitidos.
$$ L_ {emi} = \ frac {nhv_ {emi}} {\ Delta t_ {emi}} $$
$$ L_ {obs} = \ frac {nhv_ {obs}} {\ Delta t_ {obs}} $$
$ \ Delta t_ {obs} $ levará mais tempo do que $ \ Delta t_ {emi} $ porque o detector deve receber todos os fótons.
$$ L_ {obs} = L_ {emi} \ left (\ frac {a_0} {a_e} \ right) ^ 2 $$
$$ L_ {obs} <L_ {emi} $$
$$ f_ {obs} = \ frac {L_ {obs}} {4 \ pi d_L ^ 2} $$
Para um universo não em expansão, a distância da luminosidade é igual à distância comovente.
$$ d_L = r_c $$
$$ \ Rightarrow f_ {obs} = \ frac {L_ {obs}} {4 \ pi r_c ^ 2} $$
$$ f_ {obs} = \ frac {L_ {emi}} {4 \ pi r_c ^ 2} \ left (\ frac {a_e} {a_0} \ right) ^ 2 $$
$$ \ Rightarrow d_L = r_c \ left (\ frac {a_0} {a_e} \ right) $$
Estamos encontrando a distância de luminosidade $ d_L $ para calcular a luminosidade do objeto emissor $ L_ {emi} $ -
Interpretation - Se soubermos o desvio para o vermelho zde qualquer galáxia, podemos descobrir $ d_A $ e a partir disso podemos calcular $ r_c $. Isso é usado para descobrir $ d_L $.
Se $ d_L! = r_c (a_0 / a_e) $, então não podemos encontrar Lemi de $ f_ {obs} $.
A relação entre a distância da luminosidade $ d_L $ e a distância do diâmetro angular $ d_A.
Nós sabemos disso -
$$ d_A (z_ {gal}) = \ frac {d_L} {1 + z_ {gal}} \ left (\ frac {a_0} {a_e} \ right) $$
$$ d_L = (1 + z_ {gal}) d_A (z_ {gal}) \ left (\ frac {a_0} {a_e} \ right) $$
O fator de escala quando os fótons são emitidos é dado por -
$$ a_e = \ frac {1} {(1 + z_ {gal})} $$
O fator de escala para o universo atual é -
$$ a_0 = 1 $$
$$ d_L = (1 + z_ {gal}) ^ 2d_ \ wedge (z_ {gal}) $$
Qual escolher $ d_L $ ou $ d_A $?
Para uma galáxia de tamanho conhecido e desvio para o vermelho para calcular seu tamanho, então $ d_A $ é usado.
Se houver uma galáxia com uma dada magnitude aparente, então para descobrir o quão grande ela é, $ d_L $ é usado.
Example - Se for dado que duas galáxias de igual deslocamento para o vermelho (z = 1) e no plano do céu elas são separadas por 2.3 arc sec então qual é a separação física máxima entre os dois?
Para isso, use $ d_A $ da seguinte forma -
$$ d_A (z_ {gal}) = \ frac {c} {1 + z_ {gal}} \ int_ {0} ^ {z_ {gal}} \ frac {1} {H (z)} dz $$
onde z = 1 substitui H (z) com base nos parâmetros cosmológicos das galáxias.
Pontos para lembrar
A distância de luminosidade depende de cosmology.
Se a luminosidade intrínseca $ d_L $ de um objeto distante é conhecida, podemos calcular sua luminosidade medindo o fluxo f.
Para um universo não em expansão, a distância de luminosidade é igual à comoving distance.
A distância de luminosidade é sempre maior que o Angular Diameter Distance.