Cosmologia - Robertson-Walker Metric

Neste capítulo, vamos entender em detalhes sobre a métrica Robertson-Walker.

Modelo para mudança de fator de escala com o tempo

Suponha que um fóton seja emitido de uma galáxia distante. O espaço é avançado para o fóton em todas as direções. A expansão do universo está em todas as direções. Vamos ver como o fator de escala muda com o tempo nas etapas a seguir.

Step 1 - Para um universo estático, o fator de escala é 1, ou seja, o valor da distância comovente é a distância entre os objetos.

Step 2- A imagem a seguir é o gráfico do universo que ainda está se expandindo, mas em uma taxa decrescente, o que significa que o gráfico começará no passado. ot = 0 indica que o universo começou a partir desse ponto.

Step 3 - A imagem a seguir é o gráfico do universo que está se expandindo em uma taxa mais rápida.

Step 4 - A imagem a seguir é o gráfico do universo que começa a se contrair a partir de agora.

Se o valor do fator de escala se torna 0 durante a contração do universo, isso implica que a distância entre os objetos torna-se 0, ou seja, a distância adequada torna-se 0. A distância móvel, que é a distância entre os objetos no universo atual, é uma quantidade constante. No futuro, quando o fator de escala se tornar0, tudo vai chegar mais perto. O modelo depende do componente do universo.

A métrica para o universo em expansão plano (euclidiano: não há parâmetro para curvatura) é dada como -

$$ ds ^ 2 = a ^ 2 (t) \ left (dr ^ 2 + r ^ 2d \ theta ^ 2 + r ^ 2sin ^ 2 \ theta d \ varphi ^ 2 \ right) $$

Para espaço-tempo, o elemento de linha que obtivemos na equação acima é modificado como -

$$ ds ^ 2 = c ^ 2dt ^ 2 - \ left \ {a ^ 2 (t) \ left (dr ^ 2 + r ^ 2d \ theta ^ 2 + r ^ 2sin ^ 2 \ theta d \ varphi ^ 2 \ direita) \ right \} $$

Para o espaço-tempo, o momento em que o fóton é emitido e quando é detectado é diferente. A distância adequada é a distância instantânea aos objetos, que pode mudar com o tempo devido à expansão do universo. É a distância que o fóton percorreu de diferentes objetos para chegar até nós. Está relacionado à distância comovente como -

$$ d_p = a (t) \ vezes d_c $$

onde $ d_p $ é a distância apropriada e $ d_c $ é a distância de movimento, que é fixa.

A distância medida para os objetos no universo presente é considerada como a distância comovente, o que significa que a distância comovente é fixa e não é alterada pela expansão. No passado, o fator de escala era menor que 1, o que indica que a distância adequada era menor.

Podemos medir o desvio para o vermelho de uma galáxia. Portanto, a distância apropriada $ d_p $ corresponde a $ c \ times t (z) $, onde $ t (z) $ é o tempo de lookback para um redshift ec é a velocidade da luz no vácuo. O tempo de lookback é uma função do redshift(z).

Com base na noção acima, vamos analisar como o desvio cosmológico para o vermelho é interpretado neste cenário de $ d_p = a (t) \ times d_c $.

Suponha que um fóton (que está ligado à Terra) seja emitido pela galáxia, G. O $ t_ {em} $ corresponde ao momento em que o fóton foi emitido; $ a (t_ {em}) $ era o fator de escala no momento em que o fóton foi emitido. No momento da detecção do fóton, todo o universo havia se expandido, ou seja, o fóton foi desviado para o vermelho no momento da detecção. O $ t_ {obs} $ corresponde ao momento em que o fóton é detectado e o fator de escala correspondente é $ a (t_ {obs}) $.

O fator pelo qual o universo cresceu é dado por -

$$ \ frac {a (t_ {obs})} {a (t_ {em})} $$

O fator pelo qual o comprimento de onda se expandiu é -

$$ \ frac {\ lambda_ {obs}} {\ lambda_ {em}} $$

que é igual ao fator pelo qual o universo cresceu. Os símbolos têm seu significado usual. Portanto,

$$ \ frac {a (t_ {obs})} {a (t_ {em})} = \ frac {\ lambda_ {obs}} {\ lambda_ {em}} $$

Nós conhecemos aquele desvio para o vermelho (z) é -

$$ z = \ frac {\ lambda_ {obs} - \ lambda_ {em}} {\ lambda_ {em}} = \ frac {\ lambda_ {obs}} {\ lambda_ {em}} - 1 $$

$$ 1 + z = \ frac {a (t_ {obs})} {a (t_ {em})} $$

O valor presente do fator de escala é 1, portanto $ a (t_ {obs}) = 1 $ e denotando o fator de escala quando o fóton foi emitido no passado por $ a (t) $.

Portanto,

$$ 1 + z = \ frac {1} {a (t)} $$

Interpretação do Redshift na Cosmologia

Para entender isso, tomemos o seguinte exemplo: Se $ z = 2 $, então $ a (t) = 1/3 $.

Isso implica que o universo se expandiu por um fator de três desde que a luz deixou aquele objeto. O comprimento de onda da radiação recebida se expandiu por um fator de três porque o espaço se expandiu pelo mesmo fator durante seu trânsito do objeto emissor. Deve-se notar que em valores tão grandes dez, o redshift é principalmente o redshift cosmológico e não é uma medida válida da velocidade recessional real do objeto em relação a nós.

Para fundo cósmico de microondas (CMB), z = 1089, o que significa que o universo atual se expandiu por um fator de ∼1090. A métrica para o universo plano e euclidiano em expansão é dada como -

$$ ds ^ 2 = a ^ 2 (t) (dr ^ 2 + r ^ 2d \ theta ^ 2 + r ^ 2sin ^ 2 \ theta d \ varphi ^ 2) $$

Queremos escrever a métrica em qualquer curvatura.

Robertson and Walker provado para qualquer universo de curvatura (que é homogêneo e isotrópico), a métrica é dada como -

$$ ds ^ 2 = a ^ 2 (t) \ left [\ frac {dr ^ 2} {1-kr ^ 2} + r ^ 2d \ theta ^ 2 + r ^ 2sin ^ 2 \ theta d \ varphi ^ 2 \ right] $$

Isso geralmente é conhecido como Robertson–Walker Metrice é verdadeiro para qualquer topologia de espaço. Observe o fator extra em $ dr ^ 2 $. Aqui é a constante de curvatura.

Geometria do Universo

A Geometria do Universo é explicada com a ajuda das seguintes Curvaturas, que incluem -

• Curvatura Positiva
• Curvatura Negativa
• Curvatura Zero

Vamos entender cada um deles em detalhes.

Curvatura Positiva

Se um plano tangente desenhado em qualquer ponto da superfície da curvatura não se cruza em nenhum ponto da superfície, ele é chamado de superfície com curvatura positiva, isto é, a superfície permanece em um lado do plano tangente naquele ponto. A superfície da esfera tem curvatura positiva.

Curvatura Negativa

Se um plano tangente desenhado em um ponto da superfície da curvatura se cruza em qualquer ponto da superfície, ele é chamado de superfície com curvatura negativa, isto é, as curvas da superfície afastam-se do plano tangente em duas direções diferentes. Uma superfície em forma de sela tem uma curvatura negativa.

Agora considere a superfície de uma esfera. Se um triângulo é construído na superfície da esfera unindo três pontos com geodésico (arco de grandes círculos), a soma dos ângulos internos do triângulo esférico é maior que 180 ^o , ou seja -

$$ \ alpha + \ beta + \ gamma> \ pi $$

Esses espaços são chamados de espaços positivamente curvos. Além disso, a curvatura é homogênea e isotrópica. Em geral, o ângulo nos vértices do triângulo esférico segue a relação -

$$ \ alpha + \ beta + \ gamma = \ pi + A / R ^ 2 $$

Onde A é a área do triângulo e Ré o raio da esfera. A imagem a seguir descreve um espaço positivamente curvo.

Para uma curvatura positiva, as linhas paralelas devem se encontrar. Considere a superfície da Terra, que é um espaço positivamente curvo. Pegue dois pontos de partida no equador. As linhas que cruzam o equador em ângulos retos são conhecidas como linhas de longitude. Como essas linhas cruzam o equador em ângulos retos, elas podem ser chamadas de linhas paralelas. Começando no equador, eles eventualmente se cruzam nos pólos. Este método foi usado porCarl Gauss e outros para compreender a topologia da Terra.

Considere um espaço curvado negativamente (uma sela mostrada na imagem a seguir), a soma dos ângulos internos do triângulo é menor que 180 ^o , ou seja -

$$ \ alpha + \ beta + \ gamma <\ pi $$

O ângulo nos vértices segue a relação -

$$ \ alpha + \ beta + \ gamma = \ pi - A / R ^ 2 $$

Curvatura Zero

Uma superfície plana tem curvatura zero. Agora, para um espaço plano, se um plano é tomado e um triângulo é construído unindo três pontos com geodésicos (linhas retas), a soma interna dos ângulos será -

$$ \ alpha + \ beta + \ gamma = \ pi $$

A imagem a seguir é um espaço bidimensional plano.

Se alguém quiser que um espaço seja homogêneo e isotrópico, apenas três possibilidades permanecem: o espaço pode ser uniformemente plano ou pode ter uma curvatura positiva uniforme ou pode ter uma curvatura negativa uniforme.

A constante de curvatura pode assumir qualquer um dos três valores a seguir.

$$ k = \ begin {cases} +1, & para \: a \: positivamente \: curvo \: espaço; \\\ quad 0, & para \: a \: plano \: espaço; \\ - 1, & para \: a \: negativamente \: curvo \: espaço; \ end {casos} $$

Topologia Global do Universo

O universo tem uma determinada topologia, mas localmente pode ter rugas. Dependendo de como a matéria se distribui no espaço, há variações menores na curvatura. Vamos supor que haja uma classe de objetos que têm o mesmo tamanho verdadeiro, não importa onde esteja no universo, o que significa que eles são como velas padrão. Eles não têm o mesmo brilho, mas têm o mesmo tamanho.

Se o objeto estiver em um espaço positivamente curvo e os fótons vierem do ponto A (uma extremidade do objeto) e B (outra extremidade do objeto), os fótons se propagarão paralelamente no espaço positivamente curvo através do caminho geodésico e eventualmente se encontrarão . Para um observador em C, parecerá que veio de dois pontos diferentes em direções diferentes.

Se o objeto está no universo local e medimos o tamanho angular, ele não é afetado pela curvatura. Se a mesma classe de objeto for vista em um redshift maior, o tamanho angular não se correlaciona com.

$$ \ theta = \ frac {d} {r} $$

Onde d é o tamanho do objeto e ré a distância ao objeto, ou seja, se o tamanho for maior que o tamanho local, significa que a curvatura é positiva. A imagem a seguir é uma representação do fóton detectado em um espaço positivamente curvo.

Deve-se notar que não existe um objeto astrofísico real de tamanho e morfologia padrão. Embora um cD elíptico massivo - galáxias fossem consideradas adequadas às velas padrão, descobriu-se que também estavam evoluindo com o tempo.

Encontrando distâncias para galáxias

Nesta seção, discutiremos como encontrar a distância até uma galáxia levando em consideração a imagem a seguir.

Considere a Via Láctea em (r, θ,) em um referencial de repouso cosmológico. Pode-se pegar = 0; (0, θ, ϕ), ou seja, o centro do universo invocando a suposição de homogeneidade.

Considere uma galáxia 'G' em (r1, θ,). A distância (adequada) é a distância radial mais curta percorrida por um fóton. Pela simetria do espaço - tempo, a geodésica nula de r = 0 a r = r1, tem uma direção constante no espaço. Em sua propagação radial, as coordenadas angulares não mudam. Se as coordenadas angulares forem alteradas, então este não é o caminho mais curto. Essa é a razão pela qual o termo curvatura está presente no dr ² .

Pontos para lembrar

• A expansão do universo está em todas as direções.

• O universo pode ser estático, em expansão ou contração, dependendo da evolução do fator de escala.

• As galáxias cD evoluem com o tempo e, portanto, não podem ser usadas como velas padrão.

• O universo tem certa topologia, mas localmente pode ter rugas.