Cosmologia - Universo Dominado pela Matéria
Neste capítulo, discutiremos as soluções para as equações de Friedmann relativas ao universo dominado pela matéria. Em cosmologia, porque estamos vendo tudo em grande escala, os sistemas solares, as galáxias, tudo passa a ser como partículas de poeira (é isso que vemos com os nossos olhos), podemos chamar de universo empoeirado ou universo só de matéria.
No Fluid Equation,
$$ \ dot {\ rho} = -3 \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) \ rho -3 \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right ) \ left (\ frac {P} {c ^ 2} \ right) $$
Podemos ver que existe um termo de pressão. Para um universo empoeirado,P = 0, porque a densidade de energia da matéria será maior do que a pressão da radiação, e a matéria não está se movendo com velocidade relativística.
Então, a Equação do Fluido se tornará,
$$ \ dot {\ rho} = -3 \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) \ rho $$
$$ \ Rightarrow \ dot {\ rho} a + 3 \ dot {a} \ rho = 0 $$
$$ \ Rightarrow \ frac {1} {a ^ 3} \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} (a ^ 3 \ rho) = 0 $$
$$ \ Rightarrow \ rho a ^ 3 = \: constante $$
$$ \ Rightarrow \ rho \ propto \ frac {1} {a ^ 3} $$
Não há contra-intuição nesta equação porque a densidade deve escalar como $ a ^ {- 3} $ porque o volume está aumentando como $ a ^ 3 $.
Da última relação, podemos dizer que,
$$ \ frac {\ rho (t)} {\ rho_0} = \ left [\ frac {a_0} {a (t)} \ right] ^ 3 $$
Para o universo atual, a, que é igual a a0 deve ser 1. Então,
$$ \ rho (t) = \ frac {\ rho_0} {a ^ 3} $$
Em um universo plano dominado pela matéria, k = 0. Assim, a equação de Friedmann se tornará,
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G \ rho} {3} $$
$$ \ dot {a} ^ 2 = \ frac {8 \ pi G \ rho a ^ 2} {3} $$
Ao resolver esta equação, obteremos,
$$ a \ propto t ^ {2/3} $$
$$ \ frac {a (t)} {a_0} = \ left (\ frac {t} {t_0} \ right) ^ {2/3} $$
$$ a (t) = \ left (\ frac {t} {t_0} \ right) ^ {2/3} $$
Isso significa que o universo continuará aumentando com uma taxa decrescente. A imagem a seguir mostra a expansão de um Universo empoeirado.
Como ρ muda com o tempo?
Dê uma olhada na seguinte equação -
$$ \ frac {\ rho (t)} {\ rho_0} = \ left (\ frac {t_0} {t} \ right) ^ 2 $$
Sabemos que o fator de escala muda com o tempo como $ t ^ {2/3} $. Então,
$$ a (t) = \ left (\ frac {t} {t_0} \ right) ^ {2/3} $$
Diferenciando-o, teremos,
$$ \ frac {(da)} {dt} = \ ponto {a} = \ frac {2} {3} \ left (\ frac {t ^ {- 1/3}} {t_0} \ right) $$
Nós sabemos que o Hubble Constant é,
$$ H (t) = \ frac {\ dot {a}} {a} = \ frac {2} {3t} $$
Esta é a equação para Einstein-de sitter Universe. Se quisermos calcular a idade atual do universo, então,
$$ t_0 = t_ {idade} = \ frac {2} {3H_0} $$
Depois de colocar o valor de $ H_0 $ para o universo presente, obteremos o valor da idade do universo como 9 Gyrs. Há muitosGlobular Cluster em nossa própria galáxia, a Via Láctea, que tem idades superiores a isso.
Era tudo sobre o universo empoeirado. Agora, se você assumir que o universo é dominado pela radiação e não pela matéria, a densidade de energia da radiação será $ a ^ {- 4} $ em vez de $ a ^ {- 3} $. Veremos mais disso no próximo capítulo.
Pontos para lembrar
Na cosmologia, tudo passa a ser como partículas de poeira, portanto, nós o chamamos de universo empoeirado ou universo somente matéria.
Se assumirmos que o universo é dominado por radiação e não por matéria, então a densidade de energia da radiação será $ a ^ {- 4} $ em vez de $ a ^ {- 3} $.