Cosmologia - Parâmetro de Hubble e Densidade
Neste capítulo, discutiremos sobre os parâmetros de densidade e Hubble.
Parâmetro Hubble
O parâmetro Hubble é definido da seguinte forma -
$$ H (t) \ equiv \ frac {da / dt} {a} $$
que mede a rapidez com que o fator de escala muda. De maneira mais geral, a evolução do fator de escala é determinada pela Equação de Friedmann.
$$ H ^ 2 (t) \ equiv \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho - \ frac {kc ^ 2} {a ^ 2} + \ frac {\ wedge} {3} $$
Onde, ∧ é uma constante cosmológica.
Para um universo plano, k = 0, portanto, a Equação de Friedmann torna-se -
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho + \ frac {\ wedge} {3} $$
Para um universo dominado por matéria, a densidade varia como -
$$ \ frac {\ rho_m} {\ rho_ {m, 0}} = \ left (\ frac {a_0} {a} \ right) ^ 3 \ Rightarrow \ rho_m = \ rho_ {m, 0} a ^ {- 3} $$
e, para um universo dominado por radiação, a densidade varia como -
$$ \ frac {\ rho_ {rad}} {\ rho_ {rad, 0}} = \ left (\ frac {a_0} {a} \ right) ^ 4 \ Rightarrow \ rho_ {rad} = \ rho_ {rad, 0} a ^ {- 4} $$
Atualmente, vivemos em um universo dominado pela matéria. Portanto, considerando $ \ rho ≡ \ rho_m $, obtemos -
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho_ {m, 0} a ^ {- 3} + \ frac {\ wedge} {3} $$
A constante cosmológica e a densidade de energia escura estão relacionadas da seguinte forma -
$$ \ rho_ \ wedge = \ frac {\ wedge} {8 \ pi G} \ Rightarrow \ wedge = 8 \ pi G \ rho_ \ wedge $$
A partir disso, obtemos -
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho_ {m, 0} a ^ {- 3} + \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho_ \ wedge $$
Além disso, a densidade crítica e a constante de Hubble estão relacionadas da seguinte forma -
$$ \ rho_ {c, 0} = \ frac {3H_0 ^ 2} {8 \ pi G} \ Rightarrow \ frac {8 \ pi G} {3} = \ frac {H_0 ^ 2} {\ rho_ {c, 0}} $$
A partir disso, obtemos -
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {H_0 ^ 2} {\ rho_ {c, 0}} \ rho_ {m, 0} a ^ {- 3} + \ frac {H_0 ^ 2} {\ rho_ {c, 0}} \ rho_ \ wedge $$
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = H_0 ^ 2 \ Omega_ {m, 0} a ^ {- 3} + H_0 ^ 2 \ Omega _ {\ wedge, 0 } $$
$$ (\ dot {a}) ^ 2 = H_0 ^ 2 \ Omega_ {m, 0} a ^ {- 1} + H_0 ^ 2 \ Omega _ {\ wedge, 0} a ^ 2 $$
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {H_0} \ right) ^ 2 = \ Omega_ {m, 0} \ frac {1} {a} + \ Omega _ {\ wedge, 0} a ^ 2 $$
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {H_0} \ right) ^ 2 = \ Omega_ {m, 0} (1 + z) + \ Omega _ {\ wedge, 0} \ frac {1} { (1 + z) ^ 2} $$
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {H_0} \ right) ^ 2 (1 + z) ^ 2 = \ Omega_ {m, 0} (1 + z) ^ 3 + \ Omega _ {\ wedge , 0} $$
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {H_0} \ right) ^ 2 \ frac {1} {a ^ 2} = \ Omega_ {m, 0} (1 + z) ^ 3 + \ Omega_ {\ wedge, 0} $$
$$ \ left (\ frac {H (z)} {H_0} \ right) ^ 2 = \ Omega_ {m, 0} (1 + z) ^ 3 + \ Omega _ {\ wedge, 0} $$
Aqui, $ H (z) $ é o parâmetro Hubble dependente do deslocamento para o vermelho. Isso pode ser modificado para incluir o parâmetro de densidade de radiação $ \ Omega_ {rad} $ e o parâmetro de densidade de curvatura $ \ Omega_k $. A equação modificada é -
$$ \ left (\ frac {H (z)} {H_0} \ right) ^ 2 = \ Omega_ {m, 0} (1 + z) ^ 3 + \ Omega_ {rad, 0} (1 + z) ^ 4+ \ Omega_ {k, 0} (1 + z) ^ 2 + \ Omega _ {\ wedge, 0} $$
$$ Ou, \: \ left (\ frac {H (z)} {H_0} \ right) ^ 2 = E (z) $$
$$ Ou, \: H (z) = H_0E (z) ^ {\ frac {1} {2}} $$
Onde,
$$ E (z) \ equiv \ Omega_ {m, 0} (1 + z) ^ 3 + \ Omega_ {rad, 0} (1 + z) ^ 4 + \ Omega_ {k, 0} (1 + z) ^ 2 + \ Omega _ {\ wedge, 0} $$
Isso mostra que o parâmetro Hubble varia com o tempo.
Para o Einstein-de Sitter Universo, $ \ Omega_m = 1, \ Omega_ \ wedge = 0, k = 0 $.
Colocando esses valores, obtemos -
$$ H (z) = H_0 (1 + z) ^ {\ frac {3} {2}} $$
que mostra a evolução temporal do parâmetro Hubble para o universo de Einstein-de Sitter.
Parâmetro de Densidade
O parâmetro de densidade, $ \ Omega $, é definido como a razão entre a densidade real (ou observada) ρ e a densidade crítica $ \ rho_c $. Para qualquer quantidade $ x $, o parâmetro de densidade correspondente, $ \ Omega_x $ pode ser expresso matematicamente como -
$$ \ Omega_x = \ frac {\ rho_x} {\ rho_c} $$
Para diferentes quantidades em consideração, podemos definir os seguintes parâmetros de densidade.
| S.No. | Quantidade | Parâmetro de Densidade |
|---|---|---|
| 1 | Bárions | $ \ Omega_b = \ frac {\ rho_b} {\ rho_c} $ |
| 2 | Matéria (bariônico + escuro) | $ \ Omega_m = \ frac {\ rho_m} {\ rho_c} $ |
| 3 | Energia escura | $ \ Omega_ \ wedge = \ frac {\ rho_ \ wedge} {\ rho_c} $ |
| 4 | Radiação | $ \ Omega_ {rad} = \ frac {\ rho_ {rad}} {\ rho_c} $ |
Onde os símbolos têm seus significados usuais.
Pontos para lembrar
A evolução do fator de escala é determinada pelo Friedmann Equation.
H(z) é o parâmetro Hubble dependente do deslocamento para o vermelho.
o Hubble Parameter varia com o tempo.
o Density Parameter é definido como a razão entre a densidade real (ou observada) e a densidade crítica.