Cosmologia - Universo dominado por radiação
Neste capítulo, discutiremos as soluções para as equações de Friedmann relativas ao universo dominado por radiação. No início, comparamos a densidade de energia da matéria com a da radiação. Isso nos permitirá ver se nosso universo é dominado pela matéria ou pela radiação.
Densidade de energia da radiação
A radiação prevalente no universo atual pode ser atribuída muito pouco às fontes estelares, mas é principalmente devido ao CMB (Fundo Cósmico de Microondas) remanescente.
A densidade de energia da radiação, $ \ epsilon _ {\ gamma, 0} $, pode ser expressa da seguinte forma -
$$ \ epsilon _ {\ gamma, 0} = aT_0 ^ 4 $$
Aqui, a é a constante de radiação que tem a expressão $ (8 \ pi ^ 5k_B ^ 4) / (15h ^ 3c ^ 2) $ igual a a = 7.5657 × 10−15erg\: cm−3 K−4. A Temperatura, T0, que consideramos aqui, corresponde à do corpo negro correspondente à CMB.
Substituindo os resultados, temos,
$$ \ epsilon _ {\ gamma, 0} = aT_0 ^ 4 = 4 \ vezes 10 ^ {- 13} erg \: cm ^ {- 3} $$
Densidade de energia da matéria
Nos cálculos a seguir, temos a suposição de trabalhar com um universo plano e K = 0. Consideramos a densidade de energia da matéria como $ \ epsilon = \ rho c ^ 2 $. Nós consideramos o seguinte -
$$ \ rho_ {m, 0} c ^ 2 = 0,3 \ rho_ {c, 0} c ^ 2 = 0,3 \ vezes \ frac {3H_0 ^ 2} {8 \ pi G} \ vezes c ^ 2 $$
$$ \ rho_ {m, 0} c ^ 2 \ simeq 2 \ vezes 10 ^ {- 8} erg \: cm ^ {- 3} $$
$$ \ rho_ {b, 0} c ^ 2 = 0,03 \ rho_ {c, 0} c ^ 2 = 0,03 \ vezes \ frac {3H_0 ^ 2} {8 \ pi G} \ vezes c ^ 2 $$
$$ \ rho_ {b, 0} c ^ 2 \ simeq 2 \ vezes 10 ^ {- 9} erg \: cm ^ {- 3} $$
Assim, a partir do cálculo acima, vemos que vivemos em um universo dominado pela matéria. Isso pode ser comprovado pelo fato de que o CMB é muito frio. Ao olharmos para trás no tempo, teríamos a temperatura CMB ficando mais quente e seríamos capazes de concluir que pode ter havido uma época em que o universo era dominado pela radiação.
Variação de densidade e fator de escala
A equação do fluido nos mostra que -
$$ \ dot {\ rho} + 3 \ frac {\ dot {a}} {a} \ left (\ rho + \ frac {P} {c ^ 2} \ right) = 0 $$
Se considerarmos um universo empoeirado, teríamos P = 0. Deixando de lado os resultados anteriores, consideramos o universo como dominado pela radiação.
$$ \ dot {\ rho} _ {rad} + 3 \ frac {\ dot {a}} {a} \ left (\ rho_ {rad} + \ frac {P} {c ^ 2} \ right) = 0 $$
Usando a relação de pressão de $ P_ {rad} = \ rho c ^ {2/3} $ temos -
$$ \ dot {\ rho} _ {rad} + 3 \ frac {\ dot {a}} {a} \ left (\ rho_ {rad} + \ frac {\ rho_ {rad}} {3} \ right) = 0 $$
$$ \ dot {\ rho} _ {rad} + 4 \ frac {\ dot {a}} {a} (\ rho_ {rad}) = 0 $$
Para simplificar ainda mais, temos,
$$ \ frac {1} {a ^ 4} \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} (\ rho_ {rad} a ^ 4) = 0 $$
$$ \ rho_ {rad} a ^ 4 = \: constante $$
$$ \ rho_ {rad} \ propto \ frac {1} {a ^ 4} $$
O resultado acima mostra uma 4ª variação de potência inversa de a com $ \ rho $.
Isso pode ser fisicamente interpretado como $ a ^ {- 3} $ vindo da variação no volume à medida que aumenta. O restante $ a ^ {- 1} $ pode ser tratado como a energia perdida pelo fóton devido à expansão do espaço no universo (redshift cosmológico 1 + z = a -1 ).
A imagem a seguir mostra a variação da densidade da matéria e da radiação com o tempo.
Para um universo plano, dominado por radiação, teríamos a equação de Friedmann da seguinte forma -
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G \ rho} {3} $$
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ frac {\ rho_0} {a ^ 4} $$
Na simplificação e aplicação da solução à equação diferencial, temos -
$$ (\ ponto {a}) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G \ rho_0} {3a ^ 2} $$
$$ \ Rightarrow a (t) \ propto t ^ {\ frac {1} {2}} $$
Assim, temos -
$$ a (t) = a_0 \ left (\ frac {t} {t_0} \ right) ^ {\ frac {1} {2}} $$
Pela equação acima, vemos que a taxa de aumento do fator de escala é menor do que a do universo empoeirado.
Pontos para lembrar
A radiação predominante no universo atual pode ser atribuída muito pouco às fontes estelares.
Para um universo empoeirado, a pressão é zero.
CMB está muito frio.