Parâmetro de Hubble e fator de escala
Neste capítulo, discutiremos sobre o parâmetro de Hubble, bem como o fator de escala.
Prerequisite - Cosmological Redshift, Cosmological Principles.
Assumption - O universo é homogêneo e isotrópico.
Constante de Hubble com taxa fracional de mudança do fator de escala
Nesta seção, relacionaremos a constante de Hubble com a taxa fracionária do fator de mudança de escala.
Podemos escrever velocidade da seguinte maneira e simplificar.
$$ v = \ frac {\ mathrm {d} r_p} {\ mathrm {d} t} $$
$$ = \ frac {d [a (t) r_c} {dt} $$
$$ v = \ frac {\ mathrm {d} a} {\ mathrm {d} t} \ ast \ frac {1} {a} \ ast (ar_c) $$
$$ v = \ frac {\ mathrm {d} a} {\ mathrm {d} t} \ ast \ frac {1} {a} \ ast r_p $$
Aqui, v é a velocidade recessiva, a é o fator de escala e rp é a distância adequada entre as galáxias.
Hubble’s Empirical Formula era da natureza -
$$ v = H \ ast r_p $$
Assim, comparando as duas equações acima, obtemos -
Hubble’s Parameter = Fractional rate of change of the scale factor
$$ H = da / dt \ ast 1 / a $$
Note- Esta não é uma constante, pois o fator de escala é uma função do tempo. Por isso é chamado de parâmetro de Hubble e não de constante de Hubble.
Empiricamente nós escrevemos -
$$ H = V / D $$
Assim, a partir desta equação, podemos inferir que uma vez que D está aumentando e V é uma constante, então H diminui com o tempo e a expansão do universo.
Equação de Friedmann em conjunção com o modelo Robertson-Walker
Nesta seção, entenderemos como a Equação de Friedmann é usada em conjunto com o modelo de Robertson-Walker. Para entender isso, vamos tirar a seguinte imagem, que tem uma massa de teste à distânciarp do corpo de massa M como um exemplo.
Levando em consideração a imagem acima, podemos expressar força como -
$$ F = G \ ast M \ ast \ frac {m} {r ^ 2_p} $$
Aqui, G é a constante gravitacional universal e ρ é a densidade da matéria dentro do universo observável.
Agora, assumindo densidade de massa uniforme dentro da esfera, podemos escrever -
$$ M = \ frac {4} {3} \ ast \ pi \ ast r_p ^ 3 \ ast \ rho $$
Usando isso de volta em nossa equação de força, obtemos -
$$ F = \ frac {4} {3} \ ast \ pi \ ast G \ ast r_p \ ast \ rho \ ast m $$
Assim, podemos escrever a energia potencial e a energia cinética da massa m como -
$$ V = - \ frac {4} {3} \ ast \ pi \ ast G \ ast r ^ 2_p \ ast m \ ast \ rho $$
$$ KE = \ frac {1} {2} \ ast m \ ast \ frac {\ mathrm {d} r_p ^ 2} {\ mathrm {d} t} $$
Usando o Virial Theorem -
$$ U = KE + V $$
$$ U = \ frac {1} {2} \ ast m \ ast \ left (\ frac {\ mathrm {d} r_p} {\ mathrm {d} t} \ right) ^ 2 - \ frac {4} { 3} \ ast \ pi \ ast G \ ast r_p ^ 2 \ ast m \ ast \ rho $$
Mas aqui, $ r_p = ar_c $. Então, nós temos -
$$ U = \ frac {1} {2} \ ast m \ ast \ left (\ frac {\ mathrm {d} a} {\ mathrm {d} t} \ right) ^ 2 r_c ^ 2 - \ frac { 4} {3} \ ast \ pi \ ast G \ ast r_p ^ 2 \ ast m \ ast \ rho $$
Em uma simplificação posterior, obtemos a equação de Friedmann,
$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi} {3} \ ast G \ ast \ rho + \ frac {2U} {m} \ ast r_c ^ 2 \ ast a ^ 2 $$
Aqui Ué uma constante. Também notamos que o universo em que vivemos atualmente é dominado pela matéria, enquanto a densidade de energia da radiação é muito baixa.
Pontos para lembrar
O parâmetro Hubble diminui com o tempo e a expansão do universo.
O universo em que vivemos atualmente é dominado pela matéria e a densidade da energia da radiação é muito baixa.