Temperatura CMB no desacoplamento
Devemos primeiro entender o que caracteriza o decoupling. Sabemos que as energias eram muito mais elevadas a tal ponto que a matéria existia apenas na forma deIonized Particles. Assim, nas épocas de desacoplamento e recombinação, a energia tinha que cair para permitir a ionização do hidrogênio. Um cálculo aproximado pode ser feito para a estimativa da temperatura no momento do desacoplamento.
Isso foi realizado da seguinte forma -
Primeiro, considere apenas a ionização do hidrogênio do estado fundamental.
$$ hv \ approx k_BT $$
$$ \ portanto, T \ approx \ frac {hv} {k_B} $$
Para ionização do hidrogênio do estado fundamental, hν é 13,6 eV e kB é o Boltzmann Constant8,61 × 10 −5 eV / K que revela que a temperatura é 1,5 × 105 kelvin.
Isso basicamente nos diz que se a temperatura estiver abaixo de 1,5 × 10 5 K, os átomos neutros podem começar a se formar.
Sabemos que a proporção de fótons para bárions é de cerca de 5 × 10 10 . Portanto, mesmo na cauda do gráfico, onde o número de fótons diminui, ainda haverá fótons suficientes para ionizar os átomos de hidrogênio. Além disso, a recombinação de elétron e próton não garante um átomo de hidrogênio no estado fundamental. Estados excitados requerem menos energia para ionização. Portanto, uma análise estatística disciplinada deve ser realizada caso a caso para obter um valor preciso. Os cálculos definem a temperatura para cerca de 3000K.
Para fins de explicação, consideramos o caso da excitação do hidrogênio no primeiro estado excitado. A expressão geral para a razão do número de fótons com energia maior queΔE, Nγ (> ΔE) para o número total de fótons Nγ é dado por -
$$ \ frac {N_ \ gamma (> \ Delta E)} {N_ \ gamma} \ propto e ^ {\ frac {- \ Delta E} {kT}} $$
Para o caso de excitação de hidrogênio para o primeiro estado excitado, ΔEé 10,2 eV. Agora, se considerarmos um número altamente conservador de pelo menos 1 fóton com energia superior a 10,2 para cada bárion (tendo em mente que a razão é 5 × 10 10 , obtemos a temperatura da equação 3 como 4800 K (Nγ inserido (> ΔE) = Np).
Esta é a temperatura para criar uma população de átomos de hidrogênio neutros no primeiro estado excitado. A temperatura para ionizar isso é significativamente menor. Assim, obtemos uma estimativa melhor do que 1,5 × 10 5 K que está mais próxima do valor aceito de 3000 K.
Redshift - Relação de temperatura
Para compreender a relação entre o desvio para o vermelho e a temperatura, empregamos os dois métodos a seguir, conforme descrito abaixo.
Método 1
De Wien’s Law, nós sabemos isso
$$ \ lambda_mT = constante $$
Para relacionar isso ao redshift, usamos -
$$ 1 + z = \ frac {\ lambda_0} {\ lambda_e} $$
Como $ λ_oT_o = λ_eT (z) $, obtemos -
$$ T (z) = T_0 \ frac {\ lambda_0} {\ lambda_e} = T_0 (1 + z) $$
Configuração To como o valor atual 3K, podemos obter valores de temperatura para um determinado desvio para o vermelho.
Método 2
Em termos de frequência, sabemos -
$$ v_0 = \ frac {v_e} {1 + z} $$
$$ B_vdv = \ frac {2hv ^ 3} {c ^ 2} \ frac {dv} {e ^ {hv / kT} -1} $$
Isso nos fala sobre a energia líquida dos fótons para um intervalo de energia e hνé a energia de um único fóton. Portanto, podemos obter o número de fótons porBνdν/hν.
Se $ n_ {νo} $ é para presente e $ n_ {νe} $ para emitido, obtemos -
$$ \ frac {n_ {v_e}} {n_ {v_0}} = (1 + z) ^ 3 $$
Na simplificação, obtemos,
$$ n_ {v_0} = \ frac {2v_c ^ 2} {c ^ 2} \ frac {dv_c} {e ^ {hv / kT} -1} \ frac {1} {(1 + z) ^ 3} = \ frac {2v_0 ^ 2} {c ^ 2} \ frac {dv_c} {e ^ {hv / kT} -1} $$
Isso nos dá o Wien’s Law novamente e, portanto, pode-se concluir que -
$$ T (z) = T_0 \ frac {\ lambda_0} {\ lambda_e} = T_0 (1 + z) $$
Pontos para lembrar
- O universo inicial era muito quente, ∼ 3000K.
- As medições atuais revelam que a temperatura do universo está perto de 3K.
- Quanto mais recuamos no tempo, a temperatura aumenta proporcionalmente.