Системы управления - Алгебра блок-схем

Алгебра блок-схемы - это не что иное, как алгебра, связанная с основными элементами блок-схемы. Эта алгебра имеет дело с графическим представлением алгебраических уравнений.

Основные соединения для блоков

Между двумя блоками существует три основных типа связи.

Последовательное соединение

Последовательное соединение также называется cascade connection. На следующем рисунке два блока с передаточными функциями $ G_1 (s) $ и $ G_2 (s) $ соединены последовательно.

Для этой комбинации мы получим результат $ Y (s) $ как

$$ Y (s) = G_2 (s) Z (s) $$

Где $ Z (s) = G_1 (s) X (s) $

$$ \ Rightarrow Y (s) = G_2 (s) [G_1 (s) X (s)] = G_1 (s) G_2 (s) X (s) $$

$$ \ Rightarrow Y (s) = \ lbrace G_1 (s) G_2 (s) \ rbrace X (s) $$

Сравните это уравнение со стандартной формой выходного уравнения, $ Y (s) = G (s) X (s) $. Где $ G (s) = G_1 (s) G_2 (s) $.

Это означает, что мы можем представить series connectionиз двух блоков с одним блоком. Передаточная функция этого единственного блока - этоproduct of the transfer functionsэтих двух блоков. Эквивалентная блок-схема показана ниже.

Точно так же вы можете представить последовательное соединение n блоков с одним блоком. Передаточная функция этого единственного блока является продуктом передаточных функций всех этих «n» блоков.

Параллельное соединение

Блоки, соединенные в parallel будет иметь same input. На следующем рисунке два блока с передаточными функциями $ G_1 (s) $ и $ G_2 (s) $ соединены параллельно. Выходы этих двух блоков подключены к точке суммирования.

Для этой комбинации мы получим результат $ Y (s) $ как

$$ Y (s) = Y_1 (s) + Y_2 (s) $$

Где $ Y_1 (s) = G_1 (s) X (s) $ и $ Y_2 (s) = G_2 (s) X (s) $

$$ \ Rightarrow Y (s) = G_1 (s) X (s) + G_2 (s) X (s) = \ lbrace G_1 (s) + G_2 (s) \ rbrace X (s) $$

Сравните это уравнение со стандартной формой выходного уравнения, $ Y (s) = G (s) X (s) $.

Где $ G (s) = G_1 (s) + G_2 (s) $.

Это означает, что мы можем представить parallel connectionиз двух блоков с одним блоком. Передаточная функция этого единственного блока - этоsum of the transfer functionsэтих двух блоков. Эквивалентная блок-схема показана ниже.

Точно так же вы можете представить параллельное соединение n блоков с одним блоком. Передаточная функция этого единственного блока представляет собой алгебраическую сумму передаточных функций всех этих "n" блоков.

Обратная связь

Как мы обсуждали в предыдущих главах, существует два типа feedback- положительные отзывы и отрицательные отзывы. На следующем рисунке показана система управления с отрицательной обратной связью. Здесь два блока с передаточными функциями $ G (s) $ и $ H (s) $ образуют замкнутый цикл.

Выход точки суммирования -

$$ E (s) = X (s) -H (s) Y (s) $$

Выход $ Y (s) $ -

$$ Y (s) = E (s) G (s) $$

Подставьте значение $ E (s) $ в приведенное выше уравнение.

$$ Y (s) = \ left \ {X (s) -H (s) Y (s) \ rbrace G (s) \ right \} $$

$$ Y (s) \ left \ {1 + G (s) H (s) \ rbrace = X (s) G (s) \ right \} $$

$$ \ Rightarrow \ frac {Y (s)} {X (s)} = \ frac {G (s)} {1 + G (s) H (s)} $$

Следовательно, передаточная функция замкнутого контура отрицательной обратной связи равна $ \ frac {G (s)} {1 + G (s) H (s)} $

Это означает, что мы можем представить отрицательную обратную связь двух блоков с одним блоком. Передаточная функция этого единственного блока является передаточной функцией замкнутого контура отрицательной обратной связи. Эквивалентная блок-схема показана ниже.

Точно так же вы можете представить соединение двух блоков с положительной обратной связью с одним блоком. Передаточная функция этого отдельного блока является передаточной функцией замкнутого контура положительной обратной связи, то есть $ \ frac {G (s)} {1-G (s) H (s)} $

Алгебра блок-схем для суммирования точек

Есть две возможности сдвига точек суммирования по отношению к блокам:

  • Смещение точки суммирования после блока
  • Смещение точки суммирования перед блоком

Давайте теперь посмотрим, какие меры необходимо сделать в двух вышеупомянутых случаях один за другим.

Смещение точки суммирования после блока

Рассмотрим блок-схему, показанную на следующем рисунке. Здесь точка суммирования находится перед блоком.

Точка суммирования имеет два входа $ R (s) $ и $ X (s) $. Результатом этого будет $ \ left \ {R (s) + X (s) \ right \} $.

Итак, входом в блок $ G (s) $ является $ \ left \ {R (s) + X (s) \ right \} $, а на выходе -

$$ Y (s) = G (s) \ left \ {R (s) + X (s) \ right \} $$

$ \ Rightarrow Y (s) = G (s) R (s) + G (s) X (s) $ (Equation 1)

Теперь переместите точку суммирования после блока. Эта блок-схема показана на следующем рисунке.

Выход блока $ G (s) $ равен $ G (s) R (s) $.

Выход точки суммирования:

$ Y (s) = G (s) R (s) + X (s) $ (Equation 2)

Сравните уравнение 1 и уравнение 2.

Первый член $ 'G (s) R (s)' $ одинаков в обоих уравнениях. Но есть разница во втором члене. Чтобы второй член тоже был таким же, нам потребуется еще один блок $ G (s) $. Он имеет вход $ X (s) $, а выход этого блока задается как вход для точки суммирования вместо $ X (s) $. Эта блок-схема показана на следующем рисунке.

Смещение точки суммирования перед блоком

Рассмотрим блок-схему, показанную на следующем рисунке. Здесь точка суммирования стоит после блока.

Выход этой блок-схемы -

$ Y (s) = G (s) R (s) + X (s) $ (Equation 3)

Теперь переместите точку суммирования перед блоком. Эта блок-схема показана на следующем рисунке.

Выход этой блок-схемы -

$ Y (S) = G (s) R (s) + G (s) X (s) $ (Equation 4)

Сравните уравнение 3 и уравнение 4,

Первый член $ 'G (s) R (s)' $ одинаков в обоих уравнениях. Но есть разница во втором члене. Чтобы второе слагаемое было таким же, нам потребуется еще один блок $ \ frac {1} {G (s)} $. Он имеет вход $ X (s) $, а выход этого блока задается как вход для точки суммирования вместо $ X (s) $. Эта блок-схема показана на следующем рисунке.

Алгебра блок-схем для точек взлета

Есть две возможности смещения точек взлета относительно блоков:

  • Смещение точки взлета после блока
  • Смещение точки взлета перед блоком

Давайте теперь посмотрим, какие меры следует предпринять в двух вышеупомянутых случаях, один за другим.

Смещение точки взлета после блока

Рассмотрим блок-схему, показанную на следующем рисунке. В этом случае точка взлета находится перед блоком.

Здесь $ X (s) = R (s) $ и $ Y (s) = G (s) R (s) $

Когда вы перемещаете точку взлета после блока, результат $ Y (s) $ будет таким же. Но есть разница в стоимости $ X (s) $. Итак, чтобы получить то же значение $ X (s) $, нам потребуется еще один блок $ \ frac {1} {G (s)} $. Он имеет вход $ Y (s) $, а выход - $ X (s) $. Эта блок-схема показана на следующем рисунке.

Смещение точки взлета перед блоком

Рассмотрим блок-схему, показанную на следующем рисунке. Здесь точка взлета присутствует после блока.

Здесь $ X (s) = Y (s) = G (s) R (s) $

Когда вы перемещаете точку взлета перед блоком, результат $ Y (s) $ будет таким же. Но есть разница в стоимости $ X (s) $. Итак, чтобы получить такое же значение $ X (s) $, нам потребуется еще один блок $ G (s) $. Он имеет вход $ R (s) $, а выход $ X (s) $. Эта блок-схема показана на следующем рисунке.