Характеристики временной области
В этой главе давайте обсудим спецификации временной области системы второго порядка. Переходная характеристика системы второго порядка для случая недостаточного демпфирования показана на следующем рисунке.
Все спецификации во временной области представлены на этом рисунке. Отклик до времени установления известен как переходный отклик, а отклик после времени установления известен как отклик в установившемся состоянии.
Время задержки
Это время, необходимое для получения ответа half of its final valueс нулевого момента. Обозначается он $ t_d $.
Рассмотрим переходную характеристику системы второго порядка при t ≥ 0, когда «δ» лежит между нулем и единицей.
$$ c (t) = 1- \ left (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ sin (\ omega_dt + \ theta) $$
Конечное значение шаговой характеристики равно единице.
Следовательно, при $ t = t_d $ значение переходной характеристики будет 0,5. Подставьте эти значения в приведенное выше уравнение.
$$ c (t_d) = 0,5 = 1- \ left (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt_d}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ sin (\ omega_dt_d + \ theta) $$
$$ \ Rightarrow \ left (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt_d}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ sin (\ omega_dt_d + \ theta) = 0,5 $$
Используя линейное приближение, вы получите delay time td в виде
$$ t_d = \ frac {1 + 0.7 \ delta} {\ omega_n} $$
Время нарастания
Это время, необходимое для возникновения реакции 0% to 100% of its final value. Это применимо дляunder-damped systems. Для систем с избыточным демпфированием рассмотрите продолжительность от 10% до 90% окончательного значения. Время нарастания обозначаетсяtr.
При t = t 1 = 0, c (t) = 0.
Мы знаем, что окончательное значение ступенчатой характеристики равно единице.
Следовательно, при $ t = t_2 $ значение реакции на скачок равно единице. Подставьте эти значения в следующее уравнение.
$$ c (t) = 1- \ left (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ sin (\ omega_dt + \ theta) $$
$$ c (t_2) = 1 = 1- \ left (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt_2}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ sin (\ omega_dt_2 + \ theta) $$
$$ \ Rightarrow \ left (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt_2}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ sin (\ omega_dt_2 + \ theta) = 0 $$
$$ \ Rightarrow \ sin (\ omega_dt_2 + \ theta) = 0 $$
$$ \ Rightarrow \ omega_dt_2 + \ theta = \ pi $$
$$ \ Rightarrow t_2 = \ frac {\ pi- \ theta} {\ omega_d} $$
Подставьте значения t 1 и t 2 в следующее уравнениеrise time,
$$ t_r = t_2-t_1 $$
$$ \ поэтому \: t_r = \ frac {\ pi- \ theta} {\ omega_d} $$
Из приведенного выше уравнения можно сделать вывод, что время нарастания $ t_r $ и затухающая частота $ \ omega_d $ обратно пропорциональны друг другу.
Час пик
Это время, необходимое для того, чтобы ответ достиг peak valueв первый раз. Обозначается он $ t_p $. При $ t = t_p $ первая производная ответа равна нулю.
Мы знаем, что ступенчатая характеристика системы второго порядка для случая недостаточного демпфирования равна
$$ c (t) = 1- \ left (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ sin (\ omega_dt + \ theta) $$
Продифференцируем $ c (t) $ по 't'.
$$ \ frac {\ text {d} c (t)} {\ text {d} t} = - \ left (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ omega_d \ cos (\ omega_dt + \ theta) - \ left (\ frac {- \ delta \ omega_ne ^ {- \ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ вправо) \ sin (\ omega_dt + \ theta) $$
Заменить, $ t = t_p $ и $ \ frac {\ text {d} c (t)} {\ text {d} t} = 0 $ в приведенном выше уравнении.
$$ 0 = - \ left (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt_p}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ left [\ omega_d \ cos (\ omega_dt_p + \ theta) - \ дельта \ omega_n \ sin (\ omega_dt_p + \ theta) \ right] $$
$$ \ Rightarrow \ omega_n \ sqrt {1- \ delta ^ 2} \ cos (\ omega_dt_p + \ theta) - \ delta \ omega_n \ sin (\ omega_dt_p + \ theta) = 0 $$
$$ \ Rightarrow \ sqrt {1- \ delta ^ 2} \ cos (\ omega_dt_p + \ theta) - \ delta \ sin (\ omega_dt_p + \ theta) = 0 $$
$$ \ Rightarrow \ sin (\ theta) \ cos (\ omega_dt_p + \ theta) - \ cos (\ theta) \ sin (\ omega_dt_p + \ theta) = 0 $$
$$ \ Rightarrow \ sin (\ theta- \ omega_dt_p- \ theta) = 0 $$
$$ \ Rightarrow sin (- \ omega_dt_p) = 0 \ Rightarrow - \ sin (\ omega_dt_p) = 0 \ Rightarrow sin (\ omega_dt_p) = 0 $$
$$ \ Rightarrow \ omega_dt_p = \ pi $$
$$ \ Rightarrow t_p = \ frac {\ pi} {\ omega_d} $$
Из приведенного выше уравнения можно сделать вывод, что время пика $ t_p $ и частота затухания $ \ omega_d $ обратно пропорциональны друг другу.
Пиковый выброс
Пиковое превышение Mpопределяется как отклонение отклика в пиковое время от окончательного значения отклика. Его еще называютmaximum overshoot.
Математически мы можем записать это как
$$ M_p = c (t_p) -c (\ infty) $$
Где,
c (t p ) - пиковое значение отклика.
c (∞) - окончательное (установившееся) значение отклика.
При $ t = t_p $ ответ c (t) будет -
$$ c (t_p) = 1- \ left (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt_p}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ sin (\ omega_dt_p + \ theta) $$
Подставьте $ t_p = \ frac {\ pi} {\ omega_d} $ в правую часть приведенного выше уравнения.
$$ c (t_P) = 1- \ left (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_n \ left (\ frac {\ pi} {\ omega_d} \ right)}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ sin \ left (\ omega_d \ left (\ frac {\ pi} {\ omega_d} \ right) + \ theta \ right) $$
$$ \ Rightarrow c (t_p) = 1- \ left (\ frac {e ^ {- \ left (\ frac {\ delta \ pi} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right)}} { \ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) (- \ sin (\ theta)) $$
Мы знаем это
$$ \ sin (\ theta) = \ sqrt {1- \ delta ^ 2} $$
Итак, мы получим $ c (t_p) $ как
$$ c (t_p) = 1 + e ^ {- \ left (\ frac {\ delta \ pi} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right)} $$
Подставьте значения $ c (t_p) $ и $ c (\ infty) $ в уравнение максимального выброса.
$$ M_p = 1 + e ^ {- \ left (\ frac {\ delta \ pi} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right)} - 1 $$
$$ \ Rightarrow M_p = e ^ {- \ left (\ frac {\ delta \ pi} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right)} $$
Percentage of peak overshoot % $ M_p $ можно рассчитать по этой формуле.
$$ \% M_p = \ frac {M_p} {c (\ infty)} \ times 100 \% $$
Подставляя значения $ M_p $ и $ c (\ infty) $ в формулу выше, мы получим процент превышения пикового значения $ \% M_p $ как
$$ \% M_p = \ left (e ^ {- \ left (\ frac {\ delta \ pi} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right)} \ right) \ times 100 \% $$
Из приведенного выше уравнения можно сделать вывод, что процент превышения пикового значения $ \% M_p $ будет уменьшаться, если коэффициент демпфирования $ \ delta $ увеличивается.
Время установления
Это время, необходимое для того, чтобы реакция достигла установившегося состояния и оставалась в пределах указанных диапазонов допусков вокруг конечного значения. Обычно диапазоны допусков составляют 2% и 5%. Время установления обозначается $ t_s $.
Время установления для диапазона допуска 5% составляет -
$$ t_s = \ frac {3} {\ delta \ omega_n} = 3 \ tau $$
Время установления для диапазона допуска 2% составляет -
$$ t_s = \ frac {4} {\ delta \ omega_n} = 4 \ tau $$
Где $ \ tau $ - постоянная времени, равная $ \ frac {1} {\ delta \ omega_n} $.
Время установления $ t_s $ и постоянная времени $ \ tau $ обратно пропорциональны коэффициенту демпфирования $ \ delta $.
Время установления $ t_s $ и постоянная времени $ \ tau $ не зависят от коэффициента усиления системы. Это означает, что даже при изменении коэффициента усиления системы время установления $ t_s $ и постоянная времени $ \ tau $ никогда не изменятся.
пример
Давайте теперь найдем спецификации временной области системы управления, имеющей передаточную функцию замкнутого контура $ \ frac {4} {s ^ 2 + 2s + 4} $, когда сигнал единичного шага применяется в качестве входного сигнала в эту систему управления.
Мы знаем, что стандартный вид передаточной функции замкнутой системы управления второго порядка как
$$ \ frac {\ omega_n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ delta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2} $$
Приравнивая эти две передаточные функции, мы получим незатухающую собственную частоту $ \ omega_n $ равную 2 рад / сек, а коэффициент демпфирования $ \ delta $ равный 0,5.
Мы знаем формулу для затухающей частоты $ \ omega_d $ как
$$ \ omega_d = \ omega_n \ sqrt {1- \ delta ^ 2} $$
Подставьте значения $ \ omega_n $ и $ \ delta $ в приведенную выше формулу.
$$ \ Rightarrow \ omega_d = 2 \ sqrt {1- (0.5) ^ 2} $$
$$ \ Rightarrow \ omega_d = 1.732 \: рад / сек $$
Замените значение $ \ delta $ в следующем соотношении
$$ \ theta = \ cos ^ {- 1} \ delta $$
$$ \ Rightarrow \ theta = \ cos ^ {- 1} (0.5) = \ frac {\ pi} {3} \: rad $$
Подставьте указанные выше необходимые значения в формулу каждой спецификации временной области и упростите ее, чтобы получить значения спецификаций временной области для данной передаточной функции.
В следующей таблице показаны формулы спецификаций временной области, подстановки необходимых значений и окончательных значений.
| Спецификация временной области | Формула | Подстановка значений в формуле | Окончательное значение |
|---|---|---|---|
Время задержки |
$ t_d = \ frac {1 + 0,7 \ delta} {\ omega_n} $ |
$ t_d = \ frac {1 + 0,7 (0,5)} {2} $ |
$ t_d $ = 0,675 с |
Время нарастания |
$ t_r = \ frac {\ pi- \ theta} {\ omega_d} $ |
$ t_r = \ frac {\ pi - (\ frac {\ pi} {3})} {1.732} $ |
$ t_r $ = 1.207 с |
Час пик |
$ t_p = \ frac {\ pi} {\ omega_d} $ |
$ t_p = \ frac {\ pi} {1.732} $ |
$ t_p $ = 1,813 с |
% Превышение пикового значения |
$ \% M_p = \ left (e ^ {- \ left (\ frac {\ delta \ pi} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right)} \ right) \ times 100 \% $ |
$ \% M_p = \ left (e ^ {- \ left (\ frac {0.5 \ pi} {\ sqrt {1- (0.5) ^ 2}} \ right)} \ right) \ times 100 \% $ |
$ \% \: M_p $ = 16,32% |
Время установления для 2% диапазона допуска |
$ t_s = \ frac {4} {\ delta \ omega_n} $ |
$ t_S = \ frac {4} {(0,5) (2)} $ |
$ t_s $ = 4 секунды |