Анализ частотной характеристики

Мы уже обсудили анализ временной характеристики систем управления и спецификации систем управления второго порядка во временной области. В этой главе давайте обсудим анализ частотных характеристик систем управления и спецификации частотной области систем управления второго порядка.

Что такое частотная характеристика?

Реакцию системы можно разделить как на переходную, так и на установившуюся. Мы можем найти переходную характеристику, используя интегралы Фурье. Устойчивый отклик системы на входной синусоидальный сигнал известен какfrequency response. В этой главе мы сосредоточимся только на устойчивой реакции.

Если синусоидальный сигнал подается в качестве входа в систему с линейной инвариантностью во времени (LTI), то он создает выход установившегося состояния, который также является синусоидальным сигналом. Входные и выходные синусоидальные сигналы имеют одинаковую частоту, но разные амплитуды и фазовые углы.

Пусть входной сигнал будет -

$$ r (t) = A \ sin (\ omega_0t) $$

Передаточная функция разомкнутого контура будет -

$$ G (s) = G (j \ omega) $$

Мы можем представить $ G (j \ omega) $ в терминах величины и фазы, как показано ниже.

$$ G (j \ omega) = | G (j \ omega) | \ угол G (j \ omega) $$

Подставьте $ \ omega = \ omega_0 $ в приведенное выше уравнение.

$$ G (j \ omega_0) = | G (j \ omega_0) | \ угол G (j \ omega_0) $$

Выходной сигнал

$$ c (t) = A | G (j \ omega_0) | \ sin (\ omega_0t + \ angle G (j \ omega_0)) $$

  • В amplitude выходного синусоидального сигнала получается путем умножения амплитуды входного синусоидального сигнала на величину $ G (j \ omega) $ на $ \ omega = \ omega_0 $.

  • В phase выходного синусоидального сигнала получается сложением фазы входного синусоидального сигнала и фазы $ G (j \ omega) $ в $ \ omega = \ omega_0 $.

Куда,

  • A - амплитуда входного синусоидального сигнала.

  • ω0 - угловая частота входного синусоидального сигнала.

Мы можем написать, угловая частота $ \ omega_0 $, как показано ниже.

$$ \ omega_0 = 2 \ pi f_0 $$

Здесь $ f_0 $ - частота входного синусоидального сигнала. Точно так же вы можете выполнить ту же процедуру для системы управления с обратной связью.

Характеристики частотной области

Спецификации частотной области: resonant peak, resonant frequency and bandwidth.

Рассмотрим передаточную функцию замкнутой системы управления второго порядка как

$$ T (s) = \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {\ omega_n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ delta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2} $$

Подставьте $ s = j \ omega $ в приведенное выше уравнение.

$$ T (j \ omega) = \ frac {\ omega_n ^ 2} {(j \ omega) ^ 2 + 2 \ delta \ omega_n (j \ omega) + \ omega_n ^ 2} $$

$$ \ Rightarrow T (j \ omega) = \ frac {\ omega_n ^ 2} {- \ omega ^ 2 + 2j \ delta \ omega \ omega_n + \ omega_n ^ 2} = \ frac {\ omega_n ^ 2} {\ omega_n ^ 2 \ left (1- \ frac {\ omega ^ 2} {\ omega_n ^ 2} + \ frac {2j \ delta \ omega} {\ omega_n} \ right)} $$

$$ \ Rightarrow T (j \ omega) = \ frac {1} {\ left (1- \ frac {\ omega ^ 2} {\ omega_n ^ 2} \ right) + j \ left (\ frac {2 \ delta \ omega} {\ omega_n} \ right)} $$

Пусть, $ \ frac {\ omega} {\ omega_n} = u $ Подставим это значение в приведенное выше уравнение.

$$ T (j \ omega) = \ frac {1} {(1-u ^ 2) + j (2 \ delta u)} $$

Величина $ T (j \ omega) $ равна -

$$ M = | T (j \ omega) | = \ frac {1} {\ sqrt {(1-u ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta u) ^ 2}} $$

Фаза $ T (j \ omega) $ -

$$ \ angle T (j \ omega) = - tan ^ {- 1} \ left (\ frac {2 \ delta u} {1-u ^ 2} \ right) $$

Резонансная частота

Это частота, при которой амплитуда частотной характеристики впервые достигает пикового значения. Обозначается он $ \ omega_r $. При $ \ omega = \ omega_r $ первая производная величины $ T (j \ omega) $ равна нулю.

Продифференцируем $ M $ относительно $ u $.

$$ \ frac {\ text {d} M} {\ text {d} u} = - \ frac {1} {2} \ left [(1-u ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta u) ^ 2 \ right] ^ {\ frac {-3} {2}} \ left [2 (1-u ^ 2) (- 2u) +2 (2 \ delta u) (2 \ delta) \ right] $$

$$ \ Rightarrow \ frac {\ text {d} M} {\ text {d} u} = - \ frac {1} {2} \ left [(1-u ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta u ) ^ 2 \ right] ^ {\ frac {-3} {2}} \ left [4u (u ^ 2-1 +2 \ delta ^ 2) \ right] $$

Замените, $ u = u_r $ и $ \ frac {\ text {d} M} {\ text {d} u} == 0 $ в приведенном выше уравнении.

$$ 0 = - \ frac {1} {2} \ left [(1-u_r ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta u_r) ^ 2 \ right] ^ {- \ frac {3} {2}} \ left [4u_r (u_r ^ 2-1 +2 \ delta ^ 2) \ right] $$

$$ \ Rightarrow 4u_r (u_r ^ 2-1 +2 \ delta ^ 2) = 0 $$

$$ \ Rightarrow u_r ^ 2-1 + 2 \ delta ^ 2 = 0 $$

$$ \ Rightarrow u_r ^ 2 = 1-2 \ delta ^ 2 $$

$$ \ Rightarrow u_r = \ sqrt {1-2 \ delta ^ 2} $$

Подставьте $ u_r = \ frac {\ omega_r} {\ omega_n} $ в приведенное выше уравнение.

$$ \ frac {\ omega_r} {\ omega_n} = \ sqrt {1-2 \ delta ^ 2} $$

$$ \ Rightarrow \ omega_r = \ omega_n \ sqrt {1-2 \ delta ^ 2} $$

Резонансный пик

Это пиковое (максимальное) значение величины $ T (j \ omega) $. Обозначается он $ M_r $.

При $ u = u_r $ величина $ T (j \ omega) $ равна -

$$ M_r = \ frac {1} {\ sqrt {(1-u_r ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta u_r) ^ 2}} $$

Замените $ u_r = \ sqrt {1-2 \ delta ^ 2} $ и $ 1 - u_r ^ 2 = 2 \ delta ^ 2 $ в приведенном выше уравнении.

$$ M_r = \ frac {1} {\ sqrt {(2 \ delta ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta \ sqrt {1-2 \ delta ^ 2}) ^ 2}} $$

$$ \ Rightarrow M_r = \ frac {1} {2 \ delta \ sqrt {1- \ delta ^ 2}} $$

Резонансный пик в частотной характеристике соответствует выбросу пика в переходной характеристике временной области для определенных значений коэффициента демпфирования $ \ delta $. Таким образом, резонансный пик и выброс пика коррелируют друг с другом.

Пропускная способность

Это диапазон частот, в котором величина $ T (j \ omega) $ падает до 70,7% от нулевого значения частоты.

При $ \ omega = 0 $ значение $ u $ будет равно нулю.

Заменить, $ u = 0 $ в M.

$$ M = \ frac {1} {\ sqrt {(1-0 ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta (0)) ^ 2}} = 1 $$

Следовательно, величина $ T (j \ omega) $ равна единице при $ \ omega = 0 $.

При частоте 3 дБ величина $ T (j \ omega) $ будет 70,7% от величины $ T (j \ omega) $ при $ \ omega = 0 $.

т.е. при $ \ omega = \ omega_B, M = 0.707 (1) = \ frac {1} {\ sqrt {2}} $

$$ \ Rightarrow M = \ frac {1} {\ sqrt {2}} = \ frac {1} {\ sqrt {(1-u_b ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta u_b) ^ 2}} $$

$$ \ Rightarrow 2 = (1-u_b ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta) ^ 2 u_b ^ 2 $$

Пусть, $ u_b ^ 2 = x $

$$ \ Rightarrow 2 = (1-x) ^ 2 + (2 \ delta) ^ 2 x $$

$$ \ Rightarrow x ^ 2 + (4 \ delta ^ 2-2) x-1 = 0 $$

$$ \ Rightarrow x = \ frac {- (4 \ delta ^ 2 -2) \ pm \ sqrt {(4 \ delta ^ 2-2) ^ 2 + 4}} {2} $$

Рассмотрим только положительное значение x.

$$ x = 1-2 \ delta ^ 2 + \ sqrt {(2 \ delta ^ 2-1) ^ 2 + 1} $$

$$ \ Rightarrow x = 1-2 \ delta ^ 2 + \ sqrt {(2-4 \ delta ^ 2 + 4 \ delta ^ 4)} $$

Заменитель, $ x = u_b ^ 2 = \ frac {\ omega_b ^ 2} {\ omega_n ^ 2} $

$$ \ frac {\ omega_b ^ 2} {\ omega_n ^ 2} = 1-2 \ delta ^ 2 + \ sqrt {(2-4 \ delta ^ 2 + 4 \ delta ^ 4)} $$

$$ \ Rightarrow \ omega_b = \ omega_n \ sqrt {1-2 \ delta ^ 2 + \ sqrt {(2-4 \ delta ^ 2 + 4 \ delta ^ 4)}} $$

Полоса пропускания $ \ omega_b $ в частотной характеристике обратно пропорциональна времени нарастания $ t_r $ в переходной характеристике временной области.