Ответ системы первого порядка

В этой главе давайте обсудим временную реакцию системы первого порядка. Рассмотрим следующую блок-схему системы управления с обратной связью. Здесь передаточная функция разомкнутого контура $ \ frac {1} {sT} $ связана с единичной отрицательной обратной связью.

Мы знаем, что передаточная функция замкнутой системы управления имеет единственную отрицательную обратную связь как,

$$ \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {G (s)} {1 + G (s)} $$

Подставьте $ G (s) = \ frac {1} {sT} $ в приведенное выше уравнение.

$$ \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {\ frac {1} {sT}} {1+ \ frac {1} {sT}} = \ frac {1} {sT + 1} $$

Степень s равна единице в знаменателе. Следовательно, вышеупомянутая передаточная функция имеет первый порядок, и система называетсяfirst order system.

Мы можем переписать приведенное выше уравнение как

$$ C (s) = \ left (\ frac {1} {sT + 1} \ right) R (s) $$

Куда,

C(s) - преобразование Лапласа выходного сигнала c (t),
R(s) - преобразование Лапласа входного сигнала r (t), а
T постоянная времени.

Выполните следующие действия, чтобы получить ответ (выходной сигнал) системы первого порядка во временной области.

Возьмем преобразование Лапласа входного сигнала $ r (t) $.
Рассмотрим уравнение $ C (s) = \ left (\ frac {1} {sT + 1} \ right) R (s) $
Подставьте значение $ R (s) $ в приведенное выше уравнение.
При необходимости сделайте дробные дроби от $ C (s) $.
Примените обратное преобразование Лапласа к $ C (s) $.

В предыдущей главе мы видели стандартные тестовые сигналы, такие как импульсный, шаговый, линейный и параболический. Давайте теперь выясним, ответы системы первого порядка для каждого входа, один за другим. Имя ответа дается согласно имени входного сигнала. Например, реакция системы на импульсный ввод называется импульсной характеристикой.

Импульсный отклик системы первого порядка

Рассмотрим unit impulse signal как вход в систему первого порядка.

Итак, $ r (t) = \ delta (t) $

Примените преобразование Лапласа с обеих сторон.

$ R (s) = 1 $

Рассмотрим уравнение $ C (s) = \ left (\ frac {1} {sT + 1} \ right) R (s) $

Подставьте, $ R (s) = 1 $ в приведенное выше уравнение.

$$ C (s) = \ left (\ frac {1} {sT + 1} \ right) (1) = \ frac {1} {sT + 1} $$

Преобразуйте приведенное выше уравнение в одну из стандартных форм преобразований Лапласа.

$$ C (s) = \ frac {1} {T \ left (\ s + \ frac {1} {T} \ right)} \ Rightarrow C (s) = \ frac {1} {T} \ left (\ гидроразрыв {1} {s + \ frac {1} {T}} \ right) $$

Примените обратное преобразование Лапласа с обеих сторон.

$$ c (t) = \ frac {1} {T} e ^ \ left ({- \ frac {t} {T}} \ right) u (t) $$

Импульсная характеристика агрегата показана на следующем рисунке.

В unit impulse response, c (t) - экспоненциально затухающий сигнал для положительных значений «t» и равен нулю для отрицательных значений «t».

Пошаговая реакция системы первого порядка

Рассмотрим unit step signal как вход в систему первого порядка.

Итак, $ r (t) = u (t) $

Примените преобразование Лапласа с обеих сторон.

$$ R (s) = \ frac {1} {s} $$

Рассмотрим уравнение $ C (s) = \ left (\ frac {1} {sT + 1} \ right) R (s) $

Подставьте $ R (s) = \ frac {1} {s} $ в приведенное выше уравнение.

$$ C (s) = \ left (\ frac {1} {sT + 1} \ right) \ left (\ frac {1} {s} \ right) = \ frac {1} {s \ left (sT + 1 \ right)} $$

Делайте частичные доли C (s).

$$ C (s) = \ frac {1} {s \ left (sT + 1 \ right)} = \ frac {A} {s} + \ frac {B} {sT + 1} $$

$$ \ Rightarrow \ frac {1} {s \ left (sT + 1 \ right)} = \ frac {A \ left (sT + 1 \ right) + Bs} {s \ left (sT + 1 \ right)} $$

С обеих сторон знаменатель одинаковый. Таким образом, они будут отменены друг другом. Следовательно, приравняйте члены числителя.

$$ 1 = A \ влево (sT + 1 \ вправо) + Bs $$

Приравнивая постоянные члены с обеих сторон, вы получите A = 1.

Подставим A = 1 и приравняем коэффициент s условия с обеих сторон.

$$ 0 = T + B \ Rightarrow B = -T $$

Подставим A = 1 и B = −T в дробное разложение $ C (s) $.

$$ C (s) = \ frac {1} {s} - \ frac {T} {sT + 1} = \ frac {1} {s} - \ frac {T} {T \ left (s + \ frac { 1} {T} \ right)} $$

$$ \ Rightarrow C (s) = \ frac {1} {s} - \ frac {1} {s + \ frac {1} {T}} $$

Примените обратное преобразование Лапласа с обеих сторон.

$$ c (t) = \ left (1-e ^ {- \ left (\ frac {t} {T} \ right)} \ right) u (t) $$

В unit step response, c (t) имеет как переходные, так и установившиеся члены.

Переходный член в единичной переходной характеристике -

$$ c_ {tr} (t) = - e ^ {- \ left (\ frac {t} {T} \ right)} u (t) $$

Член установившегося состояния в единичной переходной характеристике -

$$ c_ {ss} (t) = u (t) $$

На следующем рисунке показана ступенчатая характеристика устройства.

Ценность unit step response, c(t)равен нулю при t = 0 и для всех отрицательных значений t. Он постепенно увеличивается от нуля и, наконец, достигает единицы в установившемся состоянии. Таким образом, значение установившегося состояния зависит от величины входа.

Скорость отклика системы первого порядка

Рассмотрим unit ramp signal как вход в систему первого порядка.

$ Итак, r (t) = tu (t) $

Примените преобразование Лапласа с обеих сторон.

$$ R (s) = \ frac {1} {s ^ 2} $$

Рассмотрим уравнение $ C (s) = \ left (\ frac {1} {sT + 1} \ right) R (s) $

Подставьте $ R (s) = \ frac {1} {s ^ 2} $ в приведенное выше уравнение.

$$ C (s) = \ left (\ frac {1} {sT + 1} \ right) \ left (\ frac {1} {s ^ 2} \ right) = \ frac {1} {s ^ 2 ( sT + 1)} $$

Сделайте дробные части $ C (s) $.

$$ C (s) = \ frac {1} {s ^ 2 (sT + 1)} = \ frac {A} {s ^ 2} + \ frac {B} {s} + \ frac {C} {sT +1} $$

$$ \ Rightarrow \ frac {1} {s ^ 2 (sT + 1)} = \ frac {A (sT + 1) + Bs (sT + 1) + Cs ^ 2} {s ^ 2 (sT + 1) } $$

$$ 1 = A (sT + 1) + Bs (sT + 1) + Cs ^ 2 $$

Приравнивая постоянные члены с обеих сторон, вы получите A = 1.

Подставим A = 1 и приравняем коэффициенты s членов с обеих сторон.

$$ 0 = T + B \ Rightarrow B = -T $$

Аналогичным образом подставим B = −T и приравняем коэффициенты при $ s ^ 2 $ с обеих сторон. Вы получите $ C = T ^ 2 $.

Подставим A = 1, B = −T и $ C = T ^ 2 $ в разложение частичных дробей $ C (s) $.

$$ C (s) = \ frac {1} {s ^ 2} - \ frac {T} {s} + \ frac {T ^ 2} {sT + 1} = \ frac {1} {s ^ 2} - \ frac {T} {s} + \ frac {T ^ 2} {T \ left (s + \ frac {1} {T} \ right)} $$

$$ \ Rightarrow C (s) = \ frac {1} {s ^ 2} - \ frac {T} {s} + \ frac {T} {s + \ frac {1} {T}} $$

Примените обратное преобразование Лапласа с обеих сторон.

$$ c (t) = \ left (t-T + Te ^ {- \ left (\ frac {t} {T} \ right)} \ right) u (t) $$

В unit ramp response, c (t) имеет как переходные, так и установившиеся члены.

Переходный член в характеристике пилообразного изменения агрегата -

$$ c_ {tr} (t) = Te ^ {- \ left (\ frac {t} {T} \ right)} u (t) $$

Член установившегося состояния в отклике на линейное изменение агрегата -

$$ c_ {ss} (t) = (tT) u (t) $$

На следующем рисунке показана характеристика линейного изменения агрегата.

В unit ramp response, c (t) следует за входным сигналом единичного линейного изменения для всех положительных значений t. Но есть отклонение на T единиц от входного сигнала.

Параболический отклик системы первого порядка

Рассмотрим unit parabolic signal как вход в систему первого порядка.

Итак, $ r (t) = \ frac {t ^ 2} {2} u (t) $

Примените преобразование Лапласа с обеих сторон.

$$ R (s) = \ frac {1} {s ^ 3} $$

Рассмотрим уравнение $ C (s) = \ left (\ frac {1} {sT + 1} \ right) R (s) $

Подставьте $ R (s) = \ frac {1} {s ^ 3} $ в приведенное выше уравнение.

$$ C (s) = \ left (\ frac {1} {sT + 1} \ right) \ left (\ frac {1} {s ^ 3} \ right) = \ frac {1} {s ^ 3 ( sT + 1)} $$

Сделайте дробные части $ C (s) $.

$$ C (s) = \ frac {1} {s ^ 3 (sT + 1)} = \ frac {A} {s ^ 3} + \ frac {B} {s ^ 2} + \ frac {C} {s} + \ frac {D} {sT + 1} $$

После упрощения вы получите значения A, B, C и D как 1, $ -T, \: T ^ 2 \: и \: −T ^ 3 $ соответственно. Подставьте эти значения в приведенное выше частичное разложение C (s).

$ C (s) = \ frac {1} {s ^ 3} - \ frac {T} {s ^ 2} + \ frac {T ^ 2} {s} - \ frac {T ^ 3} {sT + 1 } \: \ Rightarrow C (s) = \ frac {1} {s ^ 3} - \ frac {T} {s ^ 2} + \ frac {T ^ 2} {s} - \ frac {T ^ 2} {s + \ frac {1} {T}} $

Примените обратное преобразование Лапласа с обеих сторон.

$$ c (t) = \ left (\ frac {t ^ 2} {2} -Tt + T ^ 2-T ^ 2e ^ {- \ left (\ frac {t} {T} \ right)} \ right ) u (t) $$

В unit parabolic response, c (t) имеет как переходные, так и установившиеся члены.

Переходный член в единичном параболическом отклике равен

$$ C_ {tr} (t) = - T ^ 2e ^ {- \ left (\ frac {t} {T} \ right)} u (t) $$

Член установившегося состояния в единичном параболическом отклике равен

$$ C_ {ss} (t) = \ left (\ frac {t ^ 2} {2} -Tt + T ^ 2 \ right) u (t) $$

Из этих ответов мы можем сделать вывод, что системы управления первого порядка нестабильны с линейным нарастанием и параболическими входами, потому что эти отклики продолжают увеличиваться даже в бесконечное время. Системы управления первого порядка стабильны с импульсными и ступенчатыми входами, потому что эти отклики имеют ограниченный выход. Но импульсная характеристика не имеет устойчивого состояния. Таким образом, шаговый сигнал широко используется во временной области для анализа систем управления по их откликам.