Системы управления - ошибки установившегося состояния

Отклонение выходного сигнала системы управления от желаемого отклика в установившемся режиме известно как steady state error. Он представлен как $ e_ {ss} $. Мы можем найти ошибку установившегося состояния, используя теорему о конечном значении следующим образом.

$$ e_ {ss} = \ lim_ {t \ to \ infty} e (t) = \ lim_ {s \ to 0} sE (s) $$

Куда,

E (s) - преобразование Лапласа сигнала ошибки, $ e (t) $

Давайте обсудим, как по очереди находить стационарные ошибки для систем управления с единичной обратной связью и неединичной обратной связи.

Устойчивые ошибки для систем обратной связи Unity

Рассмотрим следующую блок-схему замкнутой системы управления, имеющей единицу отрицательной обратной связи.

Куда,

R (ы) представляет собой преобразование Лапласа опорного входного сигнала $ R (T) $
C (s) - преобразование Лапласа выходного сигнала $ c (t) $

Нам известна передаточная функция замкнутой системы управления с отрицательной обратной связью как

$$ \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {G (s)} {1 + G (s)} $$

$$ \ Rightarrow C (s) = \ frac {R (s) G (s)} {1 + G (s)} $$

Выход точки суммирования -

$$ E (s) = R (s) -C (s) $$

Подставьте значение $ C (s) $ в приведенное выше уравнение.

$$ E (s) = R (s) - \ frac {R (s) G (s)} {1 + G (s)} $$

$$ \ Rightarrow E (s) = \ frac {R (s) + R (s) G (s) -R (s) G (s)} {1 + G (s)} $$

$$ \ Rightarrow E (s) = \ frac {R (s)} {1 + G (s)} $$

Подставьте значение $ E (s) $ в формулу ошибки установившегося состояния

$$ e_ {ss} = \ lim_ {s \ to 0} \ frac {sR (s)} {1 + G (s)} $$

В следующей таблице показаны ошибки установившегося состояния и константы ошибок для стандартных входных сигналов, таких как единичный шаг, единичное линейное изменение и единичные параболические сигналы.

Входной сигнал	Ошибка устойчивого состояния $ e_ {ss} $	Константа ошибки
единичный шаговый сигнал	$ \ frac {1} {1 + k_p} $	$ K_p = \ lim_ {s \ to 0} G (s) $
сигнал рампы агрегата	$ \ frac {1} {K_v} $	$ K_v = \ lim_ {s \ to 0} sG (s) $
единичный параболический сигнал	$ \ frac {1} {K_a} $	$ K_a = \ lim_ {s \ to 0} s ^ 2G (s) $

Где, $ K_p $, $ K_v $ и $ K_a $ - константа ошибки положения, константа ошибки скорости и константа ошибки ускорения соответственно.

Note - Если какой-либо из вышеуказанных входных сигналов имеет амплитуду, отличную от единицы, умножьте соответствующую ошибку установившегося состояния на эту амплитуду.

Note- Мы не можем определить ошибку установившегося состояния для единичного импульсного сигнала, потому что она существует только в источнике. Таким образом, мы не можем сравнивать импульсную характеристику с единичным импульсным входом, посколькуt обозначает бесконечность.

пример

Найдем установившуюся ошибку для входного сигнала $ r (t) = \ left (5 + 2t + \ frac {t ^ 2} {2} \ right) u (t) $ единичной системы управления с отрицательной обратной связью с $ G (s) = \ frac {5 (s + 4)} {s ^ 2 (s + 1) (s + 20)} $

Данный входной сигнал представляет собой комбинацию трех сигналов: шагового, линейного и параболического. В следующей таблице показаны константы ошибок и значения ошибок устойчивого состояния для этих трех сигналов.

Входной сигнал	Константа ошибки	Ошибка устойчивого состояния
$ r_1 (t) = 5u (t) $	$ K_p = \ lim_ {s \ to 0} G (s) = \ infty $	$ e_ {ss1} = \ frac {5} {1 + k_p} = 0 $
$ r_2 (t) = 2tu (t) $	$ K_v = \ lim_ {s \ to 0} sG (s) = \ infty $	$ e_ {ss2} = \ frac {2} {K_v} = 0 $
$ r_3 (t) = \ frac {t ^ 2} {2} u (t) $	$ K_a = \ lim_ {s \ to 0} s ^ 2G (s) = 1 $	$ e_ {ss3} = \ frac {1} {k_a} = 1 $

Мы получим общую ошибку устойчивого состояния, добавив указанные выше три ошибки устойчивого состояния.

$$ e_ {ss} = e_ {ss1} + e_ {ss2} + e_ {ss3} $$

$$ \ Rightarrow e_ {ss} = 0 + 0 + 1 = 1 $$

Следовательно, мы получили ошибку устойчивого состояния $ e_ {ss} $ как 1 для этого примера.

Устойчивые ошибки для систем с обратной связью, отличных от единства

Рассмотрим следующую блок-схему системы управления с обратной связью, которая не имеет отрицательной обратной связи.

Мы можем найти ошибки установившегося состояния только для систем единой обратной связи. Итак, мы должны преобразовать неединичную систему обратной связи в единую систему обратной связи. Для этого включите в приведенную выше блок-схему один единичный путь положительной обратной связи и один единичный путь отрицательной обратной связи. Новая блок-схема выглядит так, как показано ниже.

Упростите приведенную выше блок-схему, сохранив отрицательную обратную связь единства как есть. Ниже представлена упрощенная блок-схема.

Эта блок-схема напоминает блок-схему замкнутой системы управления с отрицательной обратной связью. Здесь единственный блок имеет передаточную функцию $ \ frac {G (s)} {1 + G (s) H (s) -G (s)} $ вместо $ G (s) $. Теперь вы можете рассчитать ошибки установившегося состояния, используя формулу ошибки установившегося состояния, данную для единых систем отрицательной обратной связи.

Note- Бессмысленно искать ошибки установившегося состояния для нестабильных замкнутых систем. Таким образом, мы должны вычислять ошибки установившегося состояния только для устойчивых систем с замкнутым контуром. Это означает, что нам нужно проверить, является ли система управления стабильной или нет, прежде чем обнаруживать ошибки устойчивого состояния. В следующей главе мы обсудим стабильность, связанную с концепциями.