Системы управления - графики Найквиста

Графики Найквиста являются продолжением полярных графиков для определения устойчивости замкнутых систем управления путем изменения ω от −∞ до ∞. Это означает, что графики Найквиста используются для построения полной частотной характеристики передаточной функции без обратной связи.

Критерий устойчивости Найквиста

Критерий устойчивости Найквиста работает на principle of argument. Он утверждает, что если имеется P полюсов и Z нулей заключены в замкнутый путь плоскости s, то соответствующая плоскость $ G (s) H (s) $ должна окружать начало координат $ P - Z $ раз. Итак, мы можем записать количество окружений N как,

$$ N = PZ $$

Если замкнутый контур замкнутой плоскости s содержит только полюса, то направление окружения в плоскости $ G (s) H (s) $ будет противоположно направлению замкнутого контура в плоскости s.
Если замкнутый контур в плоскости 's' содержит только нули, тогда направление окружности в плоскости $ G (s) H (s) $ будет таким же, как направление замкнутого контура в 's'. самолет.

Давайте теперь применим принцип аргумента ко всей правой половине плоскости «s», выбрав ее как замкнутый путь. Этот выбранный путь называетсяNyquist контур.

Мы знаем, что система управления с обратной связью устойчива, если все полюса передаточной функции с обратной связью находятся в левой половине плоскости «s». Итак, полюса передаточной функции замкнутого контура являются не чем иным, как корнями характеристического уравнения. По мере увеличения порядка характеристического уравнения трудно найти корни. Итак, сопоставим эти корни характеристического уравнения следующим образом.

Полюса характеристического уравнения такие же, как у полюсов передаточной функции разомкнутого контура.
Нули характеристического уравнения такие же, как и у полюсов передаточной функции замкнутого контура.

Мы знаем, что система управления без обратной связи устойчива, если в правой половине плоскости «s» нет полюса без обратной связи.

т.е. $ P = 0 \ Rightarrow N = -Z $

Мы знаем, что система управления с обратной связью устойчива, если в правой половине плоскости «s» нет полюса с обратной связью.

т.е. $ Z = 0 \ Rightarrow N = P $

Nyquist stability criterionутверждает, что количество окружностей вокруг критической точки (1 + j0) должно быть равно полюсам характеристического уравнения, которые являются не чем иным, как полюсами передаточной функции разомкнутого контура в правой половине плоскости s. Смещение начала координат к (1 + j0) дает плоскость характеристического уравнения.

Правила построения графиков Найквиста

Следуйте этим правилам для построения графиков Найквиста.

Найдите полюсы и нули передаточной функции разомкнутого контура $ G (s) H (s) $ в плоскости s.
Нарисуйте полярный график, изменяя $ \ omega $ от нуля до бесконечности. Если полюс или ноль присутствуют в s = 0, то изменение $ \ omega $ от 0+ до бесконечности для рисования полярного графика.
Нарисуйте зеркальное отображение полярного графика выше для значений $ \ omega $ в диапазоне от −∞ до нуля (0 ^- если какой-либо полюс или ноль присутствует в s = 0).
Количество полукругов бесконечного радиуса будет равно количеству полюсов или нулей в начале координат. Полукруг бесконечного радиуса начнется в точке, где заканчивается зеркальное отображение полярного графика. И этот полукруг бесконечного радиуса закончится в точке, где начинается полярный график.

После построения графика Найквиста мы можем найти устойчивость замкнутой системы управления, используя критерий устойчивости Найквиста. Если критическая точка (-1 + j0) находится вне окружения, то замкнутая система управления абсолютно устойчива.

Анализ устойчивости с использованием графиков Найквиста

Из графиков Найквиста мы можем определить, является ли система управления стабильной, предельно стабильной или нестабильной на основе значений этих параметров.

Частота перехода усиления и частота перехода фазы
Запас по усилению и запас по фазе

Частота фазового перехода

Частота, с которой график Найквиста пересекает отрицательную действительную ось (фазовый угол 180 ⁰ ), известна какphase cross over frequency. Обозначается он $ \ omega_ {pc} $.

Усиление кроссоверной частоты

Частота, при которой график Найквиста имеет величину, равную единице, известна как gain cross over frequency. Обозначается он $ \ omega_ {gc} $.

Стабильность системы управления, основанная на соотношении между частотой перехода фазы и частотой перехода усиления, указана ниже.

Если частота перехода фазы $ \ omega_ {pc} $ больше, чем частота перехода $ \ omega_ {gc} $ усиления, то система управления stable.
Если частота перехода фазы $ \ omega_ {pc} $ равна частоте перехода усиления $ \ omega_ {gc} $, то система управления marginally stable.
Если частота перехода фазы $ \ omega_ {pc} $ меньше частоты перехода усиления $ \ omega_ {gc} $, то система управления unstable.

Прибыль маржи

Запас усиления $ GM $ равен величине, обратной величине графика Найквиста на частоте перехода фазы.

$$ GM = \ frac {1} {M_ {pc}} $$

Где $ M_ {pc} $ - величина в нормальном масштабе на частоте перехода фазы.

Запас по фазе

Запас по фазе $ PM $ равен сумме 180 ⁰ и фазового угла при частоте перехода усиления.

$$ PM = 180 ^ 0 + \ phi_ {gc} $$

Где, $ \ phi_ {gc} $ - фазовый угол на частоте перехода усиления.

Стабильность системы управления, основанная на соотношении между запасом усиления и запасом по фазе, указана ниже.

Если запас по усилению $ GM $ больше единицы и запас по фазе $ PM $ положительный, то система управления stable.
Если запас по усилению $ GM $ равен единице, а запас по фазе $ PM $ равен нулю градусов, то система управления marginally stable.
Если запас по усилению $ GM $ меньше единицы и / или запас по фазе $ PM $ отрицательный, то система управления unstable.