Электрические аналогии механических систем
Две системы называются analogous друг к другу, если выполняются следующие два условия.
- Две системы физически разные
- Моделирование дифференциальными уравнениями этих двух систем одинаково.
Электрические системы и механические системы - две физически разные системы. Есть два типа электрических аналогий поступательных механических систем. Это аналогия силового напряжения и аналогия силового тока.
Аналогия напряжения силы
По аналогии с силовым напряжением математические уравнения translational mechanical system сравниваются с сеточными уравнениями электрической системы.
Рассмотрим следующую поступательную механическую систему, показанную на следующем рисунке.
В force balanced equation для этой системы
$$ F = F_m + F_b + F_k $$
$ \ Rightarrow F = M \ frac {\ text {d} ^ 2x} {\ text {d} t ^ 2} + B \ frac {\ text {d} x} {\ text {d} t} + Kx $ (Equation 1)
Рассмотрим следующую электрическую систему, показанную на следующем рисунке. Эта схема состоит из резистора, катушки индуктивности и конденсатора. Все эти электрические элементы соединены последовательно. Входное напряжение, приложенное к этой схеме, составляет $ V $ вольт, а ток, протекающий по цепи, равен $ i $ Amps.
Уравнение сетки для этой схемы:
$ V = Ri + L \ frac {\ text {d} i} {\ text {d} t} + \ frac {1} {c} \ int idt $ (Equation 2)
Замените, $ i = \ frac {\ text {d} q} {\ text {d} t} $ в уравнении 2.
$$ V = R \ frac {\ text {d} q} {\ text {d} t} + L \ frac {\ text {d} ^ 2q} {\ text {d} t ^ 2} + \ frac { q} {C} $$
$ \ Rightarrow V = L \ frac {\ text {d} ^ 2q} {\ text {d} t ^ 2} + R \ frac {\ text {d} q} {\ text {d} t} + \ left (\ frac {1} {c} \ right) q $ (Equation 3)
Сравнивая уравнение 1 и уравнение 3, мы получим аналогичные величины поступательной механической системы и электрической системы. В следующей таблице показаны эти аналогичные количества.
Трансляционная механическая система | Электрическая система |
---|---|
Сила (F) | Напряжение (В) |
Масса (M) | Индуктивность (L) |
Коэффициент трения (B) | Сопротивление (R) |
Константа пружины (K) | Взаимная емкость $ (\ frac {1} {c}) $ |
Смещение (x) | Заряд (q) |
Скорость (v) | Текущий (i) |
Точно так же есть аналогия напряжения крутящего момента для вращающихся механических систем. Давайте теперь обсудим эту аналогию.
Аналогия напряжения крутящего момента
По этой аналогии математические уравнения rotational mechanical system сравниваются с сеточными уравнениями электрической системы.
Вращательная механическая система показана на следующем рисунке.
Уравнение баланса крутящего момента:
$$ T = T_j + T_b + T_k $$
$ \ Rightarrow T = J \ frac {\ text {d} ^ 2 \ theta} {\ text {d} t ^ 2} + B \ frac {\ text {d} \ theta} {\ text {d} t} + k \ theta $ (Equation 4)
Сравнивая уравнение 4 и уравнение 3, мы получим аналогичные количества вращательной механической системы и электрической системы. В следующей таблице показаны эти аналогичные количества.
Вращательная механическая система | Электрическая система |
---|---|
Крутящий момент (T) | Напряжение (В) |
Момент инерции (Дж) | Индуктивность (L) |
Коэффициент трения вращения (B) | Сопротивление (R) |
Жесткость пружины кручения (K) | Взаимная емкость $ (\ frac {1} {c}) $ |
Угловое смещение (θ) | Заряд (q) |
Угловая скорость (ω) | Текущий (i) |
Аналогия силового тока
По аналогии с силовым током математические уравнения translational mechanical system сравниваются с узловыми уравнениями электрической системы.
Рассмотрим следующую электрическую систему, показанную на следующем рисунке. Эта схема состоит из источника тока, резистора, катушки индуктивности и конденсатора. Все эти электрические элементы соединены параллельно.
Узловое уравнение
$ i = \ frac {V} {R} + \ frac {1} {L} \ int Vdt + C \ frac {\ text {d} V} {\ text {d} t} $ (Equation 5)
Замените $ V = \ frac {\ text {d} \ Psi} {\ text {d} t} $ в уравнении 5.
$$ i = \ frac {1} {R} \ frac {\ text {d} \ Psi} {\ text {d} t} + \ left (\ frac {1} {L} \ right) \ Psi + C \ frac {\ text {d} ^ 2 \ Psi} {\ text {d} t ^ 2} $$
$ \ Rightarrow i = C \ frac {\ text {d} ^ 2 \ Psi} {\ text {d} t ^ 2} + \ left (\ frac {1} {R} \ right) \ frac {\ text { d} \ Psi} {\ text {d} t} + \ left (\ frac {1} {L} \ right) \ Psi $ (Equation 6)
Сравнивая уравнение 1 и уравнение 6, мы получим аналогичные величины поступательной механической системы и электрической системы. В следующей таблице показаны эти аналогичные количества.
Трансляционная механическая система | Электрическая система |
---|---|
Сила (F) | Текущий (i) |
Масса (M) | Емкость (C) |
Коэффициент трения (B) | Взаимное сопротивление $ (\ frac {1} {R}) $ |
Жесткость пружины (K) | Взаимная индуктивность $ (\ frac {1} {L}) $ |
Смещение (x) | Магнитный поток (ψ) |
Скорость (v) | Напряжение (В) |
Точно так же есть аналогия крутящего момента для вращающихся механических систем. Давайте теперь обсудим эту аналогию.
Аналогия крутящего момента тока
По этой аналогии математические уравнения rotational mechanical system сравниваются с узловыми сеточными уравнениями электрической системы.
Сравнивая уравнение 4 и уравнение 6, мы получим аналогичные количества вращательной механической системы и электрической системы. В следующей таблице показаны эти аналогичные количества.
Вращательная механическая система | Электрическая система |
---|---|
Крутящий момент (T) | Текущий (i) |
Момент инерции (Дж) | Емкость (C) |
Коэффициент трения вращения (B) | Взаимное сопротивление $ (\ frac {1} {R}) $ |
Жесткость пружины кручения (K) | Взаимная индуктивность $ (\ frac {1} {L}) $ |
Угловое смещение (θ) | Магнитный поток (ψ) |
Угловая скорость (ω) | Напряжение (В) |
В этой главе мы обсудили электрические аналогии механических систем. Эти аналогии полезны для изучения и анализа неэлектрической системы, такой как механическая система, из аналогичной электрической системы.