Системы управления - построение графиков Боде

В этой главе давайте подробно разберемся, как строить (рисовать) графики Боде.

Правила строительства участков Боде

Следуйте этим правилам при построении графика Боде.

  • Представьте передаточную функцию разомкнутого контура в стандартной форме постоянной времени.

  • Подставьте $ s = j \ omega $ в приведенное выше уравнение.

  • Найдите угловые частоты и расположите их в порядке возрастания.

  • Рассмотрим начальную частоту графика Боде , как 1/10 - го по минимальной угловой частоте или 0,1 рад / сек в зависимости от того меньшее значение и сделать сюжет Боде Шифрование до 10 - кратного максимального угловой частоты.

  • Нарисуйте графики величины для каждого термина и правильно объедините эти графики.

  • Нарисуйте фазовые графики для каждого термина и правильно объедините эти графики.

Note - Угловая частота - это частота, при которой происходит изменение наклона графика величины.

пример

Рассмотрим передаточную функцию разомкнутого контура системы управления замкнутым контуром

$$ G (s) H (s) = \ frac {10s} {(s + 2) (s + 5)} $$

Давайте преобразуем эту передаточную функцию без обратной связи в стандартную форму постоянной времени.

$$ G (s) H (s) = \ frac {10s} {2 \ left (\ frac {s} {2} +1 \ right) 5 \ left (\ frac {s} {5} +1 \ right )} $$

$$ \ Rightarrow G (s) H (s) = \ frac {s} {\ left (1+ \ frac {s} {2} \ right) \ left (1+ \ frac {s} {5} \ right )} $$

Итак, мы можем нарисовать график Боде на полулогарифмическом листе, используя упомянутые ранее правила.

Анализ устойчивости с использованием графиков Боде

Из графиков Боде мы можем сказать, является ли система управления стабильной, предельно стабильной или нестабильной, основываясь на значениях этих параметров.

  • Частота перехода усиления и частота перехода фазы
  • Запас по усилению и запас по фазе

Частота фазового перехода

Частота, при которой фазовый график имеет фазу -180 0 , известна какphase cross over frequency. Обозначается он $ \ omega_ {pc} $. Единица частоты перехода фазы:rad/sec.

Коэффициент кроссовера усиления

Частота, при которой график амплитуды имеет величину ноль дБ, известна как gain cross over frequency. Обозначается он $ \ omega_ {gc} $. Единица частоты кроссовера усиления:rad/sec.

Стабильность системы управления, основанная на соотношении между частотой перехода фазы и частотой перехода усиления, указана ниже.

  • Если частота перехода фазы $ \ omega_ {pc} $ больше, чем частота перехода $ \ omega_ {gc} $ усиления, то система управления stable.

  • Если частота перехода фазы $ \ omega_ {pc} $ равна частоте перехода усиления $ \ omega_ {gc} $, то система управления marginally stable.

  • Если частота перехода фазы $ \ omega_ {pc} $ меньше, чем частота перехода $ \ omega_ {gc} $ усиления, то система управления unstable.

Прибыль маржи

Запас по усилению $ GM $ равен отрицательной величине в дБ на частоте перехода фазы.

$$ GM = 20 \ log \ left (\ frac {1} {M_ {pc}} \ right) = 20logM_ {pc} $$

Где $ M_ {pc} $ - величина на частоте перехода фазы. Единица запаса усиления (GM):dB.

Запас по фазе

Формула запаса по фазе $ PM $:

$$ PM = 180 ^ 0 + \ phi_ {gc} $$

Где, $ \ phi_ {gc} $ - фазовый угол при частоте перехода усиления. Единица запаса по фазе:degrees.

Стабильность системы управления, основанная на соотношении между запасом усиления и запасом по фазе, указана ниже.

  • Если и запас усиления $ GM $, и запас по фазе $ PM $ положительны, то система управления stable.

  • Если и запас усиления $ GM $, и запас по фазе $ PM $ равны нулю, тогда система управления marginally stable.

  • Если запас по усилению $ GM $ и / или запас по фазе $ PM $ отрицательный, то система управления unstable.