Системы управления - анализ пространства состояний

В предыдущей главе мы узнали, как получить модель пространства состояний из дифференциального уравнения и передаточной функции. В этой главе давайте обсудим, как получить передаточную функцию из модели пространства состояний.

Передаточная функция из модели пространства состояний

Мы знаем, что модель пространства состояний линейной инвариантной во времени (LTI) системы -

$$ \ dot {X} = AX + BU $$

$$ Y = CX + DU $$

Примените преобразование Лапласа к обеим сторонам уравнения состояния.

$$ sX (s) = AX (s) + BU (s) $$

$$ \ Rightarrow (sI-A) X (s) = BU (s) $$

$$ \ Rightarrow X (s) = (sI-A) ^ {- 1} BU (s) $$

Примените преобразование Лапласа к обеим сторонам выходного уравнения.

$$ Y (s) = CX (s) + DU (s) $$

Подставьте значение X (s) в приведенное выше уравнение.

$$ \ Rightarrow Y (s) = C (sI-A) ^ {- 1} BU (s) + DU (s) $$

$$ \ Rightarrow Y (s) = [C (sI-A) ^ {- 1} B + D] U (s) $$

$$ \ Rightarrow \ frac {Y (s)} {U (s)} = C (sI-A) ^ {- 1} B + D $$

Вышеприведенное уравнение представляет передаточную функцию системы. Итак, мы можем вычислить передаточную функцию системы, используя эту формулу для системы, представленной в модели пространства состояний.

Note - Когда $ D = [0] $, передаточная функция будет

$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = C (sI-A) ^ {- 1} B $$

Example

Рассчитаем передаточную функцию системы, представленной в модели пространства состояний как,

$$ \ dot {X} = \ begin {bmatrix} \ dot {x} _1 \\\ dot {x} _2 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} [u] $$

$$ Y = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} $$

Вот,

$$ A = \ begin {bmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix}, \ quad B = \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix}, \ quad C = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ quad и \ quad D = [0] $$

Формула для передаточной функции при $ D = [0] $ равна -

$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = C (sI-A) ^ {- 1} B $$

Подставьте матрицы A, B и C в приведенное выше уравнение.

$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} s + 1 & 1 \\ - 1 & s \ end {bmatrix } ^ {- 1} \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} $$

$$ \ Rightarrow \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ frac {\ begin {bmatrix} s & -1 \\ 1 & s + 1 \ end {bmatrix}} {(s + 1) s-1 (-1)} \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} $$

$$ \ Rightarrow \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ frac {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} s \\ 1 \ end {bmatrix}} {s ^ 2 + s + 1} = \ frac {1} {s ^ 2 + s + 1} $$

Следовательно, передаточная функция системы для данной модели пространства состояний равна

$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ frac {1} {s ^ 2 + s + 1} $$

Матрица переходов состояний и ее свойства

Если у системы есть начальные условия, она выдаст результат. Поскольку этот вывод присутствует даже при отсутствии ввода, он называетсяzero input response$ x_ {ZIR} (t) $. Математически мы можем записать это как,

$$ x_ {ZIR} (t) = e ^ {At} X (0) = L ^ {- 1} \ left \ {\ left [sI-A \ right] ^ {- 1} X (0) \ right \} $$

Из приведенного выше соотношения мы можем записать матрицу перехода состояний $ \ phi (t) $ в виде

$$ \ phi (t) = e ^ {At} = L ^ {- 1} [sI-A] ^ {- 1} $$

Таким образом, нулевой входной отклик может быть получен путем умножения матрицы перехода состояний $ \ phi (t) $ на матрицу начальных условий.

Ниже приведены свойства матрицы перехода состояний.

Если $ t = 0 $, то матрица перехода состояний будет равна матрице идентичности.

$$ \ phi (0) = I $$
Матрица, обратная матрице перехода состояний, будет такой же, как матрица перехода состояний, просто путем замены «t» на «-t».

$$ \ phi ^ {- 1} (t) = \ phi (−t) $$
Если $ t = t_1 + t_2 $, то соответствующая матрица перехода состояний равна умножению двух матриц перехода состояний при $ t = t_1 $ и $ t = t_2 $.

$$ \ phi (t_1 + t_2) = \ phi (t_1) \ phi (t_2) $$

Управляемость и наблюдаемость

Обсудим теперь по порядку управляемость и наблюдаемость системы управления.

Управляемость

Система управления называется controllable если начальные состояния системы управления переводятся (изменяются) в некоторые другие желаемые состояния с помощью управляемого входа за конечный промежуток времени.

Мы можем проверить управляемость системы управления, используя Kalman’s test.

Запишите матрицу $ Q_c $ в следующем виде.

$$ Q_c = \ left [B \ quad AB \ quad A ^ 2B \ quad ... \ quad A ^ {n-1} B \ right] $$
Найти определитель матрицы $ Q_c $ и если он не равен нулю, то система управления управляема.

Наблюдаемость

Система управления называется observable если он может определить начальные состояния системы управления, наблюдая за выходами в конечный промежуток времени.

Мы можем проверить наблюдаемость системы управления, используя Kalman’s test.

Запишите матрицу $ Q_o $ в следующем виде.

$$ Q_o = \ left [C ^ T \ quad A ^ TC ^ T \ quad (A ^ T) ^ 2C ^ T \ quad ... \ quad (A ^ T) ^ {n-1} C ^ T \ right] $$
Найдите определитель матрицы $ Q_o $ и, если он не равен нулю, то система управления наблюдаема.

Example

Проверим управляемость и наблюдаемость системы управления, которая представлена в модели пространства состояний как

$$ \ dot {x} = \ begin {bmatrix} \ dot {x} _1 \\\ dot {x} _2 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} [u] $$

$$ Y = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} $$

Вот,

$$ A = \ begin {bmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix}, \ quad B = \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix}, \ quad \ begin {bmatrix } 0 & 1 \ end {bmatrix}, D = [0] \ quad и \ quad n = 2 $$

При $ n = 2 $ матрица $ Q_c $ будет

$$ Q_c = \ left [B \ quad AB \ right] $$

Мы получим произведение матриц A и B как,

$$ AB = \ begin {bmatrix} -1 \\ 1 \ end {bmatrix} $$

$$ \ Rightarrow Q_c = \ begin {bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix} $$

$$ | Q_c | = 1 \ neq 0 $$

Поскольку определитель матрицы $ Q_c $ не равен нулю, данная система управления управляема.

Для $ n = 2 $ матрица $ Q_o $ будет -

$$ Q_o = \ left [C ^ T \ quad A ^ TC ^ T \ right] $$

Вот,

$$ A ^ T = \ begin {bmatrix} -1 & 1 \\ - 1 & 0 \ end {bmatrix} \ quad и \ quad C ^ T = \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} $ $

Мы получим произведение матриц $ A ^ T $ и $ C ^ T $ как