Формула усиления Мейсона

Давайте теперь обсудим формулу усиления Мейсона. Предположим, что в графе потока сигналов имеется 'N' прямых путей. Коэффициент усиления между входными и выходными узлами графа потока сигналов - это не что иное, какtransfer functionсистемы. Его можно рассчитать с помощью формулы усиления Мейсона.

Mason’s gain formula is

$$ T = \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {\ Sigma ^ N _ {i = 1} P_i \ Delta _i} {\ Delta} $$

Куда,

• C(s) выходной узел

• R(s) входной узел

• T - передаточная функция или коэффициент усиления между $ R (s) $ и $ C (s) $

• P_iэто усиление i- ^го пути вперед

$ \ Delta = 1- (сумма \: of \: все \: отдельные \: loop \: выигрыши) $

$ + (сумма \: из \: прирост \: продукты \: из \: все \: возможные \: два \: n касания \: петель) $

$$ - (сумма \: of \: gain \: products \: of \: all \: possible \: three \: nontouching \: loops) + ... $$

Δ _i получается из Δ путем удаления петель, которые касаются i- ^го прямого пути .

Рассмотрим следующий график потока сигналов, чтобы понять основную терминологию, используемую здесь.

Путь

Это обход ветвей от одного узла к любому другому в направлении стрелок ветвления. Он не должен проходить через какой-либо узел более одного раза.

Examples - $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_4 \ rightarrow y_5 $ и $ y_5 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $

Прямой путь

Путь, который существует от входного узла к выходному узлу, известен как forward path.

Examples - $ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_6 $ и $ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_6 $.

Усиление прямого пути

Он получается путем вычисления произведения всех усилений ветвей прямого пути.

Examples - $ abcde $ - это усиление прямого пути $ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_6 $, а abge - усиление прямого пути $ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_6 $.

Петля

Путь, который начинается с одного узла и заканчивается в том же узле, известен как loop. Следовательно, это замкнутый путь.

Examples - $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $ и $ y_3 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_3 $.

Loop Gain

Он получается путем вычисления произведения всех коэффициентов усиления контура.

Examples - $ b_j $ - это усиление цикла $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $, а $ g_h $ - усиление цикла $ y_3 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_3 $.

Бесконтактные петли

Это петли, у которых не должно быть общего узла.

Examples - Циклы $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $ и $ y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_4 $ не касаются друг друга.

Расчет передаточной функции с использованием формулы усиления Мейсона

Давайте рассмотрим тот же график потока сигналов для нахождения передаточной функции.

• Количество прямых путей, N = 2.

• Первый прямой путь - $ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_6 $.

• Коэффициент усиления первого прямого пути, $ p_1 = abcde $.

• Второй прямой путь - $ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_6 $.

• Усиление второго прямого пути, $ p_2 = abge $.

• Количество индивидуальных петель, L = 5.

• Циклы - $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $, $ y_3 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_3 $, $ y_3 \ rightarrow y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_3 $, $ y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_4 $ и $ y_5 \ rightarrow y_5 $.

• Прирост контура - $ l_1 = bj $, $ l_2 = gh $, $ l_3 = cdh $, $ l_4 = di $ и $ l_5 = f $.

• Количество двух не соприкасающихся петель = 2.

• Первая пара не касающихся петель - $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $, $ y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_4 $.

• Получите произведение первой пары не касающихся петель, $ l_1l_4 = bjdi $

• Вторая пара не соприкасающихся петель - $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $, $ y_5 \ rightarrow y_5 $.

• Произведение усиления второй пары не касающихся петель - $ l_1l_5 = bjf $

На этом графике потока сигналов отсутствует большее количество (более двух) не соприкасающихся петель.

Мы знаем,

$ \ Delta = 1- (сумма \: of \: все \: отдельные \: loop \: выигрыши) $

$ + (сумма \: из \: прирост \: продукты \: из \: все \: возможные \: два \: n касания \: петель) $

$$ - (сумма \: of \: gain \: products \: of \: all \: possible \: three \: nontouching \: loops) + ... $$

Подставьте значения в приведенное выше уравнение,

$ \ Delta = 1- (bj + gh + cdh + di + f) + (bjdi + bjf) - (0) $

$ \ Rightarrow \ Delta = 1- (bj + gh + cdh + di + f) + bjdi + bjf $

Нет петли, которая не касалась бы первого прямого пути.

Итак, $ \ Delta_1 = 1 $.

Аналогично $ \ Delta_2 = 1 $. Поскольку нет петли, которая не касается второго прямого пути.

Заменитель, N = 2 в формуле усиления Мэйсона

$$ T = \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {\ Sigma ^ 2 _ {i = 1} P_i \ Delta _i} {\ Delta} $$

$$ T = \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {P_1 \ Delta_1 + P_2 \ Delta_2} {\ Delta} $$

Подставьте все необходимые значения в приведенное выше уравнение.

$$ T = \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {(abcde) 1+ (abge) 1} {1- (bj + gh + cdh + di + f) + bjdi + bjf } $$

$$ \ Rightarrow T = \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {(abcde) + (abge)} {1- (bj + gh + cdh + di + f) + bjdi + bjf } $$

Следовательно, передаточная функция -

$$ T = \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {(abcde) + (abge)} {1- (bj + gh + cdh + di + f) + bjdi + bjf} $ $