Системы управления - полярные графики
В предыдущих главах мы обсуждали графики Боде. Здесь у нас есть два отдельных графика для амплитуды и фазы как функции частоты. Теперь поговорим о полярных сюжетах. Полярный график - это график, который можно провести между величиной и фазой. Здесь величины представлены только нормальными значениями.
Полярная форма $ G (j \ omega) H (j \ omega) $ есть
$$ G (j \ omega) H (j \ omega) = | G (j \ omega) H (j \ omega) | \ угол G (j \ omega) H (j \ omega) $$
В Polar plotпредставляет собой график, который можно построить между величиной и фазовым углом $ G (j \ omega) H (j \ omega) $, изменяя $ \ omega $ от нуля до ∞. Лист полярного графика показан на следующем рисунке.
Этот графический лист состоит из концентрических окружностей и радиальных линий. Вconcentric circles и radial linesпредставляют собой величины и фазовые углы соответственно. Эти углы представлены положительными значениями против часовой стрелки. Точно так же мы можем представить углы с отрицательными значениями по часовой стрелке. Например, угол 270 0 в направлении против часовой стрелки равен углу -90 0 в направлении по часовой стрелке.
Правила построения полярных графиков
Следуйте этим правилам для построения полярных графиков.
Подставьте $ s = j \ omega $ в передаточную функцию разомкнутого контура.
Напишите выражения для величины и фазы $ G (j \ omega) H (j \ omega) $.
Найдите начальную величину и фазу $ G (j \ omega) H (j \ omega) $, подставив $ \ omega = 0 $. Итак, полярный график начинается с этой величины и фазового угла.
Найдите конечную величину и фазу $ G (j \ omega) H (j \ omega) $, подставив $ \ omega = \ infty $. Итак, полярный график заканчивается этой величиной и фазовым углом.
Проверьте, пересекает ли полярный график действительную ось, сделав мнимый член $ G (j \ omega) H (j \ omega) $ равным нулю, и найдите значение (я) $ \ omega $.
Проверьте, пересекает ли полярный график мнимую ось, сделав вещественный член $ G (j \ omega) H (j \ omega) $ равным нулю, и найдите значение (я) $ \ omega $.
Для более четкого построения графика в полярных координатах найдите величину и фазу $ G (j \ omega) H (j \ omega) $, рассматривая другие значения $ \ omega $.
пример
Рассмотрим передаточную функцию разомкнутого контура системы управления замкнутым контуром.
$$ G (s) H (s) = \ frac {5} {s (s + 1) (s + 2)} $$
Построим полярный график для этой системы управления, используя приведенные выше правила.
Step 1 - Заменить, $ s = j \ omega $ в передаточной функции разомкнутого контура.
$$ G (j \ omega) H (j \ omega) = \ frac {5} {j \ omega (j \ omega + 1) (j \ omega + 2)} $$
Величина передаточной функции разомкнутого контура равна
$$ M = \ frac {5} {\ omega (\ sqrt {\ omega ^ 2 + 1}) (\ sqrt {\ omega ^ 2 + 4})} $$
Фазовый угол передаточной функции разомкнутого контура равен
$$ \ phi = -90 ^ 0- \ tan ^ {- 1} \ omega- \ tan ^ {- 1} \ frac {\ omega} {2} $$
Step 2 - В следующей таблице показаны величина и фазовый угол передаточной функции разомкнутого контура при $ \ omega = 0 $ рад / сек и $ \ omega = \ infty $ рад / сек.
| Частота (рад / сек) | Величина | Фазовый угол (градусы) |
|---|---|---|
| 0 | ∞ | -90 или 270 |
| ∞ | 0 | -270 или 90 |
Итак, полярный график начинается с (∞, −90 0 ) и заканчивается в (0, −270 0 ). Первый и второй члены в скобках указывают величину и фазовый угол соответственно.
Step 3- На основе начальной и конечной полярных координат этот полярный график будет пересекать отрицательную действительную ось. Фазовый угол, соответствующий отрицательной действительной оси, равен -180 0 или 180 0 . Таким образом, приравняв фазовый угол передаточной функции разомкнутого контура к -180 0 или 180 0 , мы получим значение $ \ omega $ как $ \ sqrt {2} $.
Подставив $ \ omega = \ sqrt {2} $ в величину передаточной функции разомкнутого контура, мы получим $ M = 0,83 $. Следовательно, полярный график пересекает отрицательную действительную ось, когда $ \ omega = \ sqrt {2} $, а полярная координата (0,83, -180 0 ).
Итак, мы можем нарисовать полярный график с приведенной выше информацией на листе полярного графика.