Системы управления - полярные графики

В предыдущих главах мы обсуждали графики Боде. Здесь у нас есть два отдельных графика для амплитуды и фазы как функции частоты. Теперь поговорим о полярных сюжетах. Полярный график - это график, который можно провести между величиной и фазой. Здесь величины представлены только нормальными значениями.

Полярная форма $ G (j \ omega) H (j \ omega) $ есть

$$ G (j \ omega) H (j \ omega) = | G (j \ omega) H (j \ omega) | \ угол G (j \ omega) H (j \ omega) $$

В Polar plotпредставляет собой график, который можно построить между величиной и фазовым углом $ G (j \ omega) H (j \ omega) $, изменяя $ \ omega $ от нуля до ∞. Лист полярного графика показан на следующем рисунке.

Этот графический лист состоит из концентрических окружностей и радиальных линий. Вconcentric circles и radial linesпредставляют собой величины и фазовые углы соответственно. Эти углы представлены положительными значениями против часовой стрелки. Точно так же мы можем представить углы с отрицательными значениями по часовой стрелке. Например, угол 270 0 в направлении против часовой стрелки равен углу -90 0 в направлении по часовой стрелке.

Правила построения полярных графиков

Следуйте этим правилам для построения полярных графиков.

  • Подставьте $ s = j \ omega $ в передаточную функцию разомкнутого контура.

  • Напишите выражения для величины и фазы $ G (j \ omega) H (j \ omega) $.

  • Найдите начальную величину и фазу $ G (j \ omega) H (j \ omega) $, подставив $ \ omega = 0 $. Итак, полярный график начинается с этой величины и фазового угла.

  • Найдите конечную величину и фазу $ G (j \ omega) H (j \ omega) $, подставив $ \ omega = \ infty $. Итак, полярный график заканчивается этой величиной и фазовым углом.

  • Проверьте, пересекает ли полярный график действительную ось, сделав мнимый член $ G (j \ omega) H (j \ omega) $ равным нулю, и найдите значение (я) $ \ omega $.

  • Проверьте, пересекает ли полярный график мнимую ось, сделав вещественный член $ G (j \ omega) H (j \ omega) $ равным нулю, и найдите значение (я) $ \ omega $.

  • Для более четкого построения графика в полярных координатах найдите величину и фазу $ G (j \ omega) H (j \ omega) $, рассматривая другие значения $ \ omega $.

пример

Рассмотрим передаточную функцию разомкнутого контура системы управления замкнутым контуром.

$$ G (s) H (s) = \ frac {5} {s (s + 1) (s + 2)} $$

Построим полярный график для этой системы управления, используя приведенные выше правила.

Step 1 - Заменить, $ s = j \ omega $ в передаточной функции разомкнутого контура.

$$ G (j \ omega) H (j \ omega) = \ frac {5} {j \ omega (j \ omega + 1) (j \ omega + 2)} $$

Величина передаточной функции разомкнутого контура равна

$$ M = \ frac {5} {\ omega (\ sqrt {\ omega ^ 2 + 1}) (\ sqrt {\ omega ^ 2 + 4})} $$

Фазовый угол передаточной функции разомкнутого контура равен

$$ \ phi = -90 ^ 0- \ tan ^ {- 1} \ omega- \ tan ^ {- 1} \ frac {\ omega} {2} $$

Step 2 - В следующей таблице показаны величина и фазовый угол передаточной функции разомкнутого контура при $ \ omega = 0 $ рад / сек и $ \ omega = \ infty $ рад / сек.

Частота (рад / сек) Величина Фазовый угол (градусы)
0 -90 или 270
0 -270 или 90

Итак, полярный график начинается с (∞, −90 0 ) и заканчивается в (0, −270 0 ). Первый и второй члены в скобках указывают величину и фазовый угол соответственно.

Step 3- На основе начальной и конечной полярных координат этот полярный график будет пересекать отрицательную действительную ось. Фазовый угол, соответствующий отрицательной действительной оси, равен -180 0 или 180 0 . Таким образом, приравняв фазовый угол передаточной функции разомкнутого контура к -180 0 или 180 0 , мы получим значение $ \ omega $ как $ \ sqrt {2} $.

Подставив $ \ omega = \ sqrt {2} $ в величину передаточной функции разомкнутого контура, мы получим $ M = 0,83 $. Следовательно, полярный график пересекает отрицательную действительную ось, когда $ \ omega = \ sqrt {2} $, а полярная координата (0,83, -180 0 ).

Итак, мы можем нарисовать полярный график с приведенной выше информацией на листе полярного графика.