Системы управления - математические модели

Системы управления могут быть представлены набором математических уравнений, известных как mathematical model. Эти модели полезны для анализа и проектирования систем управления. Анализ системы управления означает нахождение выхода, когда мы знаем входные данные и математическую модель. Проектирование системы управления означает поиск математической модели, когда мы знаем вход и выход.

В основном используются следующие математические модели.

  • Модель дифференциального уравнения
  • Модель передаточной функции
  • Модель государственного пространства

Давайте обсудим первые две модели в этой главе.

Модель дифференциального уравнения

Модель дифференциального уравнения - это математическая модель систем управления во временной области. Выполните следующие действия для модели дифференциального уравнения.

  • Примените основные законы к данной системе управления.

  • Получите дифференциальное уравнение с точки зрения входных и выходных данных, исключив промежуточные переменные.

пример

Рассмотрим следующую электрическую систему, показанную на следующем рисунке. Эта схема состоит из резистора, катушки индуктивности и конденсатора. Все эти электрические элементы соединены вseries. Входное напряжение, приложенное к этой схеме, равно $ v_i $, а напряжение на конденсаторе - это выходное напряжение $ v_o $.

Уравнение сетки для этой схемы:

$$ v_i = Ri + L \ frac {\ text {d} i} {\ text {d} t} + v_o $$

Подставим ток, проходящий через конденсатор $ i = c \ frac {\ text {d} v_o} {\ text {d} t} $ в приведенном выше уравнении.

$$ \ Rightarrow \: v_i = RC \ frac {\ text {d} v_o} {\ text {d} t} + LC \ frac {\ text {d} ^ 2v_o} {\ text {d} t ^ 2} + v_o $$

$$ \ Rightarrow \ frac {\ text {d} ^ 2v_o} {\ text {d} t ^ 2} + \ left (\ frac {R} {L} \ right) \ frac {\ text {d} v_o} {\ text {d} t} + \ left (\ frac {1} {LC} \ right) v_o = \ left (\ frac {1} {LC} \ right) v_i $$

Приведенное выше уравнение второго порядка differential equation.

Модель передаточной функции

Модель передаточной функции - это математическая модель систем управления в s-области. ВTransfer function системы с линейным инвариантом во времени (LTI) определяется как отношение преобразования Лапласа на выходе и преобразования Лапласа на входе, предполагая, что все начальные условия равны нулю.

Если $ x (t) $ и $ y (t) $ являются входом и выходом системы LTI, то соответствующие преобразования Лапласа - это $ X (s) $ и $ Y (s) $.

Следовательно, передаточная функция системы LTI равна отношению $ Y (s) $ и $ X (s) $.

$$ т.е. \: Transfer \: Function = \ frac {Y (s)} {X (s)} $$

Модель передаточной функции системы LTI показана на следующем рисунке.

Здесь мы представили LTI-систему с блоком, имеющим внутри нее передаточную функцию. И этот блок имеет вход $ X (s) $ и выход $ Y (s) $.

пример

Ранее мы получали дифференциальное уравнение электрической системы в виде

$$ \ frac {\ text {d} ^ 2v_o} {\ text {d} t ^ 2} + \ left (\ frac {R} {L} \ right) \ frac {\ text {d} v_o} {\ текст {d} t} + \ left (\ frac {1} {LC} \ right) v_o = \ left (\ frac {1} {LC} \ right) v_i $$

Примените преобразование Лапласа с обеих сторон.

$$ s ^ 2V_o (s) + \ left (\ frac {sR} {L} \ right) V_o (s) + \ left (\ frac {1} {LC} \ right) V_o (s) = \ left ( \ frac {1} {LC} \ right) V_i (s) $$

$$ \ Rightarrow \ left \ {s ^ 2 + \ left (\ frac {R} {L} \ right) s + \ frac {1} {LC} \ right \} V_o (s) = \ left (\ frac { 1} {LC} \ right) V_i (s) $$

$$ \ Rightarrow \ frac {V_o (s)} {V_i (s)} = \ frac {\ frac {1} {LC}} {s ^ 2 + \ left (\ frac {R} {L} \ right) s + \ frac {1} {LC}} $$

Где,

  • $ v_i (s) $ - преобразование Лапласа входного напряжения $ v_i $

  • $ v_o (s) $ - преобразование Лапласа выходного напряжения $ v_o $

Вышеприведенное уравнение представляет собой transfer functionэлектрической системы второго порядка. Модель передаточной функции этой системы показана ниже.

Здесь мы показываем электрическую систему второго порядка с блоком, внутри которого есть передаточная функция. И этот блок имеет вход $ V_i (s) $ и выход $ V_o (s) $.