Системы управления - математические модели
Системы управления могут быть представлены набором математических уравнений, известных как mathematical model. Эти модели полезны для анализа и проектирования систем управления. Анализ системы управления означает нахождение выхода, когда мы знаем входные данные и математическую модель. Проектирование системы управления означает поиск математической модели, когда мы знаем вход и выход.
В основном используются следующие математические модели.
- Модель дифференциального уравнения
- Модель передаточной функции
- Модель государственного пространства
Давайте обсудим первые две модели в этой главе.
Модель дифференциального уравнения
Модель дифференциального уравнения - это математическая модель систем управления во временной области. Выполните следующие действия для модели дифференциального уравнения.
Примените основные законы к данной системе управления.
Получите дифференциальное уравнение с точки зрения входных и выходных данных, исключив промежуточные переменные.
пример
Рассмотрим следующую электрическую систему, показанную на следующем рисунке. Эта схема состоит из резистора, катушки индуктивности и конденсатора. Все эти электрические элементы соединены вseries. Входное напряжение, приложенное к этой схеме, равно $ v_i $, а напряжение на конденсаторе - это выходное напряжение $ v_o $.
Уравнение сетки для этой схемы:
$$ v_i = Ri + L \ frac {\ text {d} i} {\ text {d} t} + v_o $$
Подставим ток, проходящий через конденсатор $ i = c \ frac {\ text {d} v_o} {\ text {d} t} $ в приведенном выше уравнении.
$$ \ Rightarrow \: v_i = RC \ frac {\ text {d} v_o} {\ text {d} t} + LC \ frac {\ text {d} ^ 2v_o} {\ text {d} t ^ 2} + v_o $$
$$ \ Rightarrow \ frac {\ text {d} ^ 2v_o} {\ text {d} t ^ 2} + \ left (\ frac {R} {L} \ right) \ frac {\ text {d} v_o} {\ text {d} t} + \ left (\ frac {1} {LC} \ right) v_o = \ left (\ frac {1} {LC} \ right) v_i $$
Приведенное выше уравнение второго порядка differential equation.
Модель передаточной функции
Модель передаточной функции - это математическая модель систем управления в s-области. ВTransfer function системы с линейным инвариантом во времени (LTI) определяется как отношение преобразования Лапласа на выходе и преобразования Лапласа на входе, предполагая, что все начальные условия равны нулю.
Если $ x (t) $ и $ y (t) $ являются входом и выходом системы LTI, то соответствующие преобразования Лапласа - это $ X (s) $ и $ Y (s) $.
Следовательно, передаточная функция системы LTI равна отношению $ Y (s) $ и $ X (s) $.
$$ т.е. \: Transfer \: Function = \ frac {Y (s)} {X (s)} $$
Модель передаточной функции системы LTI показана на следующем рисунке.
Здесь мы представили LTI-систему с блоком, имеющим внутри нее передаточную функцию. И этот блок имеет вход $ X (s) $ и выход $ Y (s) $.
пример
Ранее мы получали дифференциальное уравнение электрической системы в виде
$$ \ frac {\ text {d} ^ 2v_o} {\ text {d} t ^ 2} + \ left (\ frac {R} {L} \ right) \ frac {\ text {d} v_o} {\ текст {d} t} + \ left (\ frac {1} {LC} \ right) v_o = \ left (\ frac {1} {LC} \ right) v_i $$
Примените преобразование Лапласа с обеих сторон.
$$ s ^ 2V_o (s) + \ left (\ frac {sR} {L} \ right) V_o (s) + \ left (\ frac {1} {LC} \ right) V_o (s) = \ left ( \ frac {1} {LC} \ right) V_i (s) $$
$$ \ Rightarrow \ left \ {s ^ 2 + \ left (\ frac {R} {L} \ right) s + \ frac {1} {LC} \ right \} V_o (s) = \ left (\ frac { 1} {LC} \ right) V_i (s) $$
$$ \ Rightarrow \ frac {V_o (s)} {V_i (s)} = \ frac {\ frac {1} {LC}} {s ^ 2 + \ left (\ frac {R} {L} \ right) s + \ frac {1} {LC}} $$
Где,
$ v_i (s) $ - преобразование Лапласа входного напряжения $ v_i $
$ v_o (s) $ - преобразование Лапласа выходного напряжения $ v_o $
Вышеприведенное уравнение представляет собой transfer functionэлектрической системы второго порядка. Модель передаточной функции этой системы показана ниже.
Здесь мы показываем электрическую систему второго порядка с блоком, внутри которого есть передаточная функция. И этот блок имеет вход $ V_i (s) $ и выход $ V_o (s) $.