Построение корневого локуса

В root locusявляется графическим представлением в s-области, симметричным относительно действительной оси. Потому что полюса и нули разомкнутого контура существуют в s-области, имеющей значения либо как действительные, либо как комплексно сопряженные пары. В этой главе давайте обсудим, как построить (нарисовать) корневой годограф.

Правила построения корневого локуса

Следуйте этим правилам для построения корневого локуса.

Rule 1 - Найдите полюса и нули разомкнутого контура в плоскости «s».

Rule 2 - Найдите количество ветвей корневого локуса.

Мы знаем, что ветви корневого годографа начинаются на полюсах разомкнутого контура и заканчиваются нулями разомкнутого контура. Итак, количество ветвей корневого локусаN равно количеству конечных полюсов разомкнутого контура P или количество конечных нулей разомкнутого контура Z, в зависимости от того, что больше.

Математически мы можем записать количество ветвей корневого годографа N в виде

$ N = P $, если $ P \ geq Z $

$ N = Z $, если $ P <Z $

Rule 3 - Определите и нарисуйте real axis root locus branches.

Если угол передаточной функции разомкнутого контура в точке нечетно кратен 180 ⁰ , то эта точка находится в корневом геометрическом месте. Если нечетное количество полюсов и нулей разомкнутого контура существует слева от точки на действительной оси, то эта точка находится на ветви корневого годографа. Следовательно, ветвь точек, удовлетворяющая этому условию, является действительной осью ветви корневого годографа.

Rule 4 - Найдите центр тяжести и угол асимптоты.

• Если $ P = Z $, то все ветви корневого множества начинаются с конечных полюсов разомкнутого контура и заканчиваются конечными нулями разомкнутого контура.

• Если $ P> Z $, то количество ветвей корневого множества $ Z $ начинается с конечных полюсов разомкнутого контура и заканчивается конечными нулями разомкнутого контура, а количество ветвей корневого множества $ P - Z $ начинается с конечных полюсов разомкнутого контура и заканчивается на бесконечности. нули разомкнутого контура.

• Если $ P <Z $, то число P ветвей корневого множества начинается с конечных полюсов разомкнутого контура и заканчивается конечными нулями разомкнутого контура, а количество $ Z - P $ ветвей корневого множества начинается с бесконечных полюсов разомкнутого контура и заканчивается конечным разомкнутым контуром. нули.

Итак, некоторые ветви корневого годографа стремятся к бесконечности, когда $ P \ neq Z $. Асимптоты определяют направление ветвей корневого годографа. Точка пересечения асимптот на действительной оси известна какcentroid.

Мы можем рассчитать centroid α используя эту формулу,

$ \ alpha = \ frac {\ sum Real \: part \: of \: final \: open \: loop \: poles \: - \ sum Real \: part \: of \: конечный \: открытый \: цикл \ : zeros} {PZ} $

Формула для угла asymptotes θ является

$$ \ theta = \ frac {(2q + 1) 180 ^ 0} {PZ} $$

Где,

$$ q = 0,1,2, ...., (PZ) -1 $$

Rule 5 - Найдите точки пересечения ветвей корневого годографа с мнимой осью.

Мы можем вычислить точку, в которой ветвь корневого годографа пересекает мнимую ось, и значение K в этот момент с помощью метода массива Рауса и специального case (ii).

• Если все элементы любой строки массива Рауса равны нулю, то ветвь корневого годографа пересекает мнимую ось и наоборот.

• Идентифицируйте строку таким образом, чтобы если мы сделали первый элемент равным нулю, то элементы всей строки были равны нулю. Найдите значениеK для этой комбинации.

• Заменить это Kзначение во вспомогательном уравнении. Вы получите точку пересечения ветви корневого годографа с мнимой осью.

Rule 6 - Найдите точки отрыва и взлома.

• Если существует ветвь корневого геометрического места действительной оси между двумя полюсами разомкнутого контура, то будет break-away point между этими двумя полюсами разомкнутого контура.

• Если существует ветвь геометрического места корня действительной оси между двумя нулями разомкнутого контура, тогда будет break-in point между этими двумя нулями разомкнутого контура.

Note - Точки отрыва и обрыва существуют только на ветвях корневого годографа реальной оси.

Выполните следующие действия, чтобы найти точки отрыва и обкатки.

• Запишите $ K $ через $ s $ из характеристического уравнения $ 1 + G (s) H (s) = 0 $.

• Продифференцируем $ K $ по s и сделаем его равным нулю. Подставьте эти значения $ s $ в приведенное выше уравнение.

• Значения $ s $, для которых значение $ K $ положительно, являются break points.

Rule 7 - Найдите угол вылета и угол прибытия.

Угол отклонения и угол прихода могут быть вычислены при комплексно сопряженных полюсах разомкнутого контура и комплексно сопряженных нулях разомкнутого контура соответственно.

Формула для angle of departure $ \ phi_d $ - это

$$ \ phi_d = 180 ^ 0- \ phi $$

Формула для angle of arrival $ \ phi_a $ - это

$$ \ phi_a = 180 ^ 0 + \ phi $$

Где,

$$ \ phi = \ sum \ phi_P- \ sum \ phi_Z $$

пример

Теперь нарисуем корневой геометрический рисунок системы управления с передаточной функцией разомкнутого контура, $ G (s) H (s) = \ frac {K} {s (s + 1) (s + 5)} $

Step 1- Данная передаточная функция разомкнутого контура имеет три полюса при $ s = 0, s = −1 $ и $ s = −5 $. У него нет нуля. Следовательно, количество ветвей корневого годографа равно количеству полюсов передаточной функции разомкнутого контура.

$$ N = P = 3 $$

Расположение трех полюсов показано на рисунке выше. Отрезок между $ s = −1 $ и $ s = 0 $ является одной ветвью корневого геометрического места на действительной оси. А другая ветвь корневого годографа на вещественной оси - это отрезок слева от $ s = −5 $.

Step 2 - Получим значения центроида и угла асимптоты по приведенным формулам.

Центроид $ \ alpha = −2 $

Угол асимптоты равен $ \ theta = 60 ^ 0,180 ^ 0 $ и $ 300 ^ 0 $.

Центроид и три асимптоты показаны на следующем рисунке.

Step 3- Поскольку две асимптоты имеют углы $ 60 ^ 0 $ и $ 300 ^ 0 $, две ветви корневого годографа пересекают мнимую ось. Используя метод массива Рауса и специальный случай (ii), ветви корневого годографа пересекают мнимую ось в точках $ j \ sqrt {5} $ и $ −j \ sqrt {5} $.

Между полюсами $ s = −1 $ и $ s = 0 $ будет одна точка отрыва на ветви корневого годографа вещественной оси. Следуя процедуре, описанной для расчета точки отрыва, мы получим ее как $ s = −0,473 $.

Диаграмма корневого годографа для данной системы управления показана на следующем рисунке.

Таким образом, вы можете нарисовать диаграмму корневого годографа любой системы управления и наблюдать за перемещением полюсов передаточной функции замкнутого контура.

Из диаграмм корневого годографа мы можем узнать диапазон значений K для различных типов демпфирования.

Влияние добавления полюсов и нулей разомкнутого цикла на корневой годограф

Корневой локус можно сместить в ‘s’ plane добавлением полюсов разомкнутого контура и нулей разомкнутого контура.

• Если мы включим полюс в передаточную функцию разомкнутого контура, то некоторые ветви корневого годографа переместятся в правую половину плоскости s. Из-за этого коэффициент демпфирования $ \ delta $ уменьшается. Это означает, что затухающая частота $ \ omega_d $ увеличивается, а характеристики временной области, такие как время задержки $ t_d $, время нарастания $ t_r $ и время пика $ t_p $, уменьшаются. Но это влияет на стабильность системы.

• Если мы включим ноль в передаточную функцию разомкнутого контура, то некоторые ветви корневого годографа переместятся в левую половину плоскости s. Таким образом, повышается устойчивость системы управления. В этом случае коэффициент демпфирования $ \ delta $ увеличивается. Это означает, что затухающая частота $ \ omega_d $ уменьшается, а характеристики временной области, такие как время задержки $ t_d $, время нарастания $ t_r $ и пиковое время $ t_p $, увеличиваются.

Таким образом, в зависимости от требований, мы можем включить (добавить) полюса разомкнутого контура или нули в передаточную функцию.