Системы управления - Компенсаторы

Есть три типа компенсаторов - запаздывающие, опережающие и запаздывающие. Они используются чаще всего.

Компенсатор лагов

Компенсатор запаздывания - это электрическая сеть, которая выдает синусоидальный выходной сигнал с фазовой задержкой при подаче синусоидального входа. Схема компенсатора запаздывания в домене s показана на следующем рисунке.

Здесь конденсатор включен последовательно с резистором $ R_2 $, и выходной сигнал измеряется в этой комбинации.

Передаточная функция этого компенсатора запаздывания -

$$ \ frac {V_o (s)} {V_i (s)} = \ frac {1} {\ alpha} \ left (\ frac {s + \ frac {1} {\ tau}} {s + \ frac {1} {\ alpha \ tau}} \ right) $$

Куда,

$$ \ tau = R_2C $$

$$ \ alpha = \ frac {R_1 + R_2} {R_2} $$

Из приведенного выше уравнения $ \ alpha $ всегда больше единицы.

Из передаточной функции можно сделать вывод, что компенсатор запаздывания имеет один полюс в точке $ s = - \ frac {1} {\ alpha \ tau} $ и один ноль в точке $ s = - \ frac {1} {\ tau} $. . Это означает, что полюс будет ближе к исходной точке в конфигурации «полюс-ноль» компенсатора запаздывания.

Подставьте $ s = j \ omega $ в передаточную функцию.

$$ \ frac {V_o (j \ omega)} {V_i (j \ omega)} = \ frac {1} {\ alpha} \ left (\ frac {j \ omega + \ frac {1} {\ tau}} { j \ omega + \ frac {1} {\ alpha \ tau}} \ right) $$

Фазовый угол $ \ phi = \ tan ^ {- 1} \ omega \ tau - tan ^ {- 1} \ alpha \ omega \ tau $

Мы знаем, что фаза выходного синусоидального сигнала равна сумме фазовых углов входного синусоидального сигнала и передаточной функции.

Итак, чтобы на выходе этого компенсатора возникла фазовая задержка, фазовый угол передаточной функции должен быть отрицательным. Это произойдет, когда $ \ alpha> 1 $.

Свинцовый компенсатор

Компенсатор проводов представляет собой электрическую сеть, которая выдает синусоидальный выходной сигнал с фазовым выводом, когда применяется синусоидальный вход. Схема компенсатора отведений в домене s показана на следующем рисунке.

Здесь конденсатор подключен параллельно резистору $ R_1 $, а выходной сигнал измеряется на резисторе $ R_2.

Передаточная функция этого свинцового компенсатора -

$$ \ frac {V_o (s)} {V_i (s)} = \ beta \ left (\ frac {s \ tau + 1} {\ beta s \ tau + 1} \ right) $$

Куда,

$$ \ tau = R_1C $$

$$ \ beta = \ frac {R_2} {R_1 + R_2} $$

Из передаточной функции можно сделать вывод, что у свинцового компенсатора есть полюс в точке $ s = - \ frac {1} {\ beta} $ и ноль в точке $ s = - \ frac {1} {\ beta \ tau} $.

Подставьте $ s = j \ omega $ в передаточную функцию.

$$ \ frac {V_o (j \ omega)} {V_i (j \ omega)} = \ beta \ left (\ frac {j \ omega \ tau + 1} {\ beta j \ omega \ tau + 1} \ right ) $$

Фазовый угол $ \ phi = tan ^ {- 1} \ omega \ tau - tan ^ {- 1} \ beta \ omega \ tau $

Мы знаем, что фаза выходного синусоидального сигнала равна сумме фазовых углов входного синусоидального сигнала и передаточной функции.

Таким образом, чтобы получить фазовый опережение на выходе этого компенсатора, фазовый угол передаточной функции должен быть положительным. Это произойдет, когда $ 0 <\ beta <1 $. Следовательно, в конфигурации «полюс-ноль» компенсатора отведения ноль будет ближе к началу координат.

Компенсатор отставания

Компенсатор отставания-опережения - это электрическая сеть, которая создает отставание по фазе в одной частотной области и опережение фазы в другой частотной области. Это комбинация компенсаторов отставания и опережения. Схема компенсатора запаздывания в домене s показана на следующем рисунке.

Эта схема выглядит так, как будто оба компенсатора включены каскадом. Таким образом, передаточная функция этой схемы будет произведением передаточных функций опережения и компенсатора запаздывания.

$$ \ frac {V_o (s)} {V_i (s)} = \ beta \ left (\ frac {s \ tau_1 + 1} {\ beta s \ tau_1 + 1} \ right) \ frac {1} {\ alpha} \ left (\ frac {s + \ frac {1} {\ tau_2}} {s + \ frac {1} {\ alpha \ tau_2}} \ right) $$

Мы знаем, что $ \ alpha \ beta = 1 $.

$$ \ Rightarrow \ frac {V_o (s)} {V_i (s)} = \ left (\ frac {s + \ frac {1} {\ tau_1}} {s + \ frac {1} {\ beta \ tau_1}} \ right) \ left (\ frac {s + \ frac {1} {\ tau_2}} {s + \ frac {1} {\ alpha \ tau_2}} \ right) $$

Куда,

$$ \ tau_1 = R_1C_1 $$

$$ \ tau_2 = R_2C_2 $$