Моделирование механических систем

В этой главе давайте обсудим differential equation modelingмеханических систем. Есть два типа механических систем в зависимости от типа движения.

  • Трансляционные механические системы
  • Вращательные механические системы

Моделирование трансляционных механических систем

Трансляционные механические системы движутся по straight line. Эти системы в основном состоят из трех основных элементов. Это масса, пружина и демпфер.

Если к поступательной механической системе приложена сила, то ей противостоят противоположные силы, обусловленные массой, упругостью и трением системы. Поскольку приложенная сила и противодействующие силы направлены в противоположные стороны, алгебраическая сумма сил, действующих на систему, равна нулю. Давайте теперь посмотрим на силу, которой противостоят эти три элемента по отдельности.

Масса

Масса - это свойство тела, которое хранит kinetic energy. Если сила приложена к телу, имеющему массуM, то ему противостоит противодействующая сила из-за массы. Эта противодействующая сила пропорциональна ускорению тела. Предположим, что эластичность и трение незначительны.

$$ F_m \ propto \: a $$

$$ \ Rightarrow F_m = Ma = M \ frac {\ text {d} ^ 2x} {\ text {d} t ^ 2} $$

$$ F = F_m = M \ frac {\ text {d} ^ 2x} {\ text {d} t ^ 2} $$

Куда,

  • F приложенная сила

  • Fm противодействующая сила за счет массы

  • M масса

  • a это ускорение

  • x это смещение

весна

Весна - это элемент, который хранит potential energy. Если к пружине приложено усилиеK, то ему противодействует противодействующая сила из-за упругости пружины. Эта противодействующая сила пропорциональна перемещению пружины. Предположим, что масса и трение незначительны.

$$ F \ propto \: x $$

$$ \ Rightarrow F_k = Kx $$

$$ F = F_k = Kx $$

Куда,

  • F приложенная сила

  • Fk противодействующая сила за счет упругости пружины

  • K жесткость пружины

  • x это смещение

Dashpot

Если на приборную панель действует сила B, то ему противостоит противодействующая сила из-за frictionдашпота. Эта противодействующая сила пропорциональна скорости тела. Предположим, что масса и эластичность незначительны.

$$ F_b \ propto \: \ nu $$

$$ \ Rightarrow F_b = B \ nu = B \ frac {\ text {d} x} {\ text {d} t} $$

$$ F = F_b = B \ frac {\ text {d} x} {\ text {d} t} $$

Куда,

  • Fb противодействующая сила из-за трения демпфера

  • B коэффициент трения

  • v это скорость

  • x это смещение

Моделирование вращательных механических систем

Вращательные механические системы движутся вокруг фиксированной оси. Эти системы в основном состоят из трех основных элементов. Этоmoment of inertia, torsional spring а также dashpot.

Если к вращающейся механической системе приложен крутящий момент, то ему противодействуют противоположные крутящие моменты из-за момента инерции, упругости и трения системы. Поскольку приложенный крутящий момент и противоположные крутящие моменты имеют противоположные направления, алгебраическая сумма крутящих моментов, действующих на систему, равна нулю. Давайте теперь посмотрим на крутящий момент, которому противостоят эти три элемента по отдельности.

Момент инерции

В поступательной механической системе масса запасает кинетическую энергию. Точно так же во вращающейся механической системе момент инерции сохраняетсяkinetic energy.

Если крутящий момент приложен к телу, имеющему момент инерции J, то ему противодействует противодействующий крутящий момент из-за момента инерции. Этот противодействующий крутящий момент пропорционален угловому ускорению тела. Предположим, что эластичность и трение незначительны.

$$ T_j \ propto \: \ alpha $$

$$ \ Rightarrow T_j = J \ alpha = J \ frac {\ text {d} ^ 2 \ theta} {\ text {d} t ^ 2} $$

$$ T = T_j = J \ frac {\ text {d} ^ 2 \ theta} {\ text {d} t ^ 2} $$

Куда,

  • T прилагаемый крутящий момент

  • Tj - противодействующий крутящий момент из-за момента инерции

  • J момент инерции

  • α угловое ускорение

  • θ угловое смещение

Торсионная пружина

В поступательной механической системе пружина хранит потенциальную энергию. Точно так же в ротационной механической системе склады торсионных пружинpotential energy.

Если к торсионной пружине приложен крутящий момент K, то ему противодействует противодействующий крутящий момент из-за упругости торсионной пружины. Этот противодействующий крутящий момент пропорционален угловому смещению торсионной пружины. Предположим, что момент инерции и трение незначительны.

$$ T_k \ propto \: \ theta $$

$$ \ Rightarrow T_k = K \ theta $$

$$ T = T_k = K \ theta $$

Куда,

  • T прилагаемый крутящий момент

  • Tk противодействующий крутящий момент за счет упругости торсионной пружины

  • K жесткость пружины кручения

  • θ угловое смещение

Dashpot

Если крутящий момент приложен к приборной панели B, то ему противостоит противодействующий крутящий момент из-за rotational frictionдашпота. Этот противоположный крутящий момент пропорционален угловой скорости тела. Предположим, что момент инерции и упругость незначительны.

$$ T_b \ propto \: \ omega $$

$$ \ Rightarrow T_b = B \ omega = B \ frac {\ text {d} \ theta} {\ text {d} t} $$

$$ T = T_b = B \ frac {\ text {d} \ theta} {\ text {d} t} $$

Куда,

  • Tb - противодействующий крутящий момент из-за трения вращения приборной панели

  • B коэффициент трения вращения

  • ω угловая скорость

  • θ угловое смещение