Системы управления - графики Боде
График Боде или диаграмма Боде состоит из двух графиков -
- График величины
- Фазовый сюжет
На обоих графиках ось абсцисс представляет угловую частоту (логарифмический масштаб). Принимая во внимание, что yaxis представляет величину (линейный масштаб) передаточной функции разомкнутого контура на графике амплитуды и фазовый угол (линейный масштаб) передаточной функции разомкнутого контура на фазовом графике.
В magnitude передаточной функции разомкнутого контура в дБ составляет -
$$ M = 20 \: \ log | G (j \ omega) H (j \ omega) | $$
В phase angle передаточной функции разомкнутого контура в градусах -
$$ \ phi = \ угол G (j \ omega) H (j \ omega) $$
Note - Основание логарифма 10.
Основные сюжеты Боде
В следующей таблице показаны значения крутизны, величины и фазового угла членов передаточной функции разомкнутого контура. Эти данные полезны при построении графиков Боде.
Тип срока | G (jω) H (jω) | Наклон (дБ / дек) | Величина (дБ) | Фазовый угол (градусы) |
---|---|---|---|---|
Постоянный |
$ Тыс. |
$ 0 $ |
$ 20 \ log K $ |
$ 0 $ |
Ноль в начале координат |
$ j \ omega $ |
20 $ |
$ 20 \ лог \ омега $ |
90 $ |
'n' нулей в начале координат |
$ (j \ omega) ^ n $ |
$ 20 \: n $ |
$ 20 \: n \ log \ omega $ |
$ 90 \: n $ |
Полюс в начале координат |
$ \ frac {1} {j \ omega} $ |
$ -20 $ |
$ -20 \ лог \ омега $ |
$ -90 \: или \: 270 $ |
'n' полюсов в начале координат |
$ \ frac {1} {(j \ omega) ^ n} $ |
$ -20 \: n $ |
$ -20 \: n \ log \ omega $ |
$ -90 \: n \: или \: 270 \: n $ |
Простой ноль |
$ 1 + j \ omega r $ |
20 $ |
$ 0 \: для \: \ omega <\ frac {1} {r} $ $ 20 \: \ log \ omega r \: для \: \ omega> \ frac {1} {r} $ |
$ 0 \: для \: \ omega <\ frac {1} {r} $ $ 90 \: для \: \ omega> \ frac {1} {r} $ |
Простой полюс |
$ \ frac {1} {1 + j \ omega r} $ |
$ -20 $ |
$ 0 \: для \: \ omega <\ frac {1} {r} $ $ -20 \: \ log \ omega r \: для \: \ omega> \ frac {1} {r} $ |
$ 0 \: для \: \ omega <\ frac {1} {r} $ $ -90 \: или \: 270 \: для \: \ omega> \ frac {1} {r} $ |
Член производной второго порядка |
$ \ omega_n ^ 2 \ left (1- \ frac {\ omega ^ 2} {\ omega_n ^ 2} + \ frac {2j \ delta \ omega} {\ omega_n} \ right) $ |
$ 40 $ |
$ 40 \: \ log \: \ omega_n \: для \: \ omega <\ omega_n $ $ 20 \: \ log \ :( 2 \ delta \ omega_n ^ 2) \: для \: \ omega = \ omega_n $ $ 40 \: \ log \: \ omega \: для \: \ omega> \ omega_n $ |
$ 0 \: для \: \ omega <\ omega_n $ $ 90 \: для \: \ omega = \ omega_n $ $ 180 \: для \: \ omega> \ omega_n $ |
Интегральный член второго порядка |
$ \ frac {1} {\ omega_n ^ 2 \ left (1- \ frac {\ omega ^ 2} {\ omega_n ^ 2} + \ frac {2j \ delta \ omega} {\ omega_n} \ right)} $ |
-40 $ |
$ -40 \: \ log \: \ omega_n \: для \: \ omega <\ omega_n $ $ -20 \: \ log \ :( 2 \ delta \ omega_n ^ 2) \: для \: \ omega = \ omega_n $ $ -40 \: \ log \: \ omega \: для \: \ omega> \ omega_n $ |
$ -0 \: для \: \ omega <\ omega_n $ $ -90 \: для \: \ omega = \ omega_n $ $ -180 \: для \: \ omega> \ omega_n $ |
Рассмотрим передаточную функцию разомкнутого контура $ G (s) H (s) = K $.
Величина $ M = 20 \: \ log K $ дБ
Фазовый угол $ \ phi = 0 $ градусов
Если $ K = 1 $, то величина равна 0 дБ.
Если $ K> 1 $, то величина будет положительной.
Если $ K <1 $, то величина будет отрицательной.
На следующем рисунке показан соответствующий график Боде.
График величины представляет собой горизонтальную линию, которая не зависит от частоты. Сама линия 0 дБ является графиком амплитуды, когда значение K равно единице. Для положительных значений K горизонтальная линия сместится на $ 20 \: \ log K $ дБ выше линии 0 дБ. Для отрицательных значений K горизонтальная линия сместится на $ 20 \: \ log K $ дБ ниже линии 0 дБ. Сама линия нуля градусов представляет собой фазовый график для всех положительных значений K.
Рассмотрим передаточную функцию разомкнутого контура $ G (s) H (s) = s $.
Величина $ M = 20 \ log \ omega $ дБ
Фазовый угол $ \ phi = 90 ^ 0 $
При $ \ omega = 0,1 $ рад / сек величина составляет -20 дБ.
При $ \ omega = 1 $ рад / сек величина равна 0 дБ.
При $ \ omega = 10 $ рад / сек величина составляет 20 дБ.
На следующем рисунке показан соответствующий график Боде.
График амплитуды представляет собой линию, имеющую наклон 20 дБ / дек. Эта линия начинается при $ \ omega = 0,1 $ рад / сек, имеет величину -20 дБ и продолжается на том же склоне. Он касается линии 0 дБ при $ \ omega = 1 $ рад / сек. В этом случае фазовый график представляет собой линию 90 0 .
Рассмотрим передаточную функцию разомкнутого контура $ G (s) H (s) = 1 + s \ tau $.
Величина $ M = 20 \: log \ sqrt {1 + \ omega ^ 2 \ tau ^ 2} $ дБ
Фазовый угол $ \ phi = \ tan ^ {- 1} \ omega \ tau $ градусов
Для $ ω <\ frac {1} {\ tau} $ величина равна 0 дБ, а фазовый угол равен 0 градусов.
Для $ \ omega> \ frac {1} {\ tau} $ величина составляет $ 20 \: \ log \ omega \ tau $ дБ, а фазовый угол равен 90 0 .
На следующем рисунке показан соответствующий график Боде.
График величины имеет величину от 0 дБ до $ \ omega = \ frac {1} {\ tau} $ рад / сек. От $ \ omega = \ frac {1} {\ tau} $ рад / сек он имеет крутизну 20 дБ / дек. В этом случае фазовый график имеет фазовый угол от 0 градусов до $ \ omega = \ frac {1} {\ tau} $ рад / сек, а отсюда фазовый угол равен 90 0 . Этот сюжет Боде называетсяasymptotic Bode plot.
Поскольку амплитуда и фазовые графики представлены прямыми линиями, точные графики Боде напоминают асимптотические графики Боде. Единственное отличие состоит в том, что графики Exact Bode будут иметь простые кривые вместо прямых линий.
Точно так же вы можете нарисовать графики Боде для других членов передаточной функции разомкнутого цикла, которые приведены в таблице.