Системы управления - графики Боде

График Боде или диаграмма Боде состоит из двух графиков -

  • График величины
  • Фазовый сюжет

На обоих графиках ось абсцисс представляет угловую частоту (логарифмический масштаб). Принимая во внимание, что yaxis представляет величину (линейный масштаб) передаточной функции разомкнутого контура на графике амплитуды и фазовый угол (линейный масштаб) передаточной функции разомкнутого контура на фазовом графике.

В magnitude передаточной функции разомкнутого контура в дБ составляет -

$$ M = 20 \: \ log | G (j \ omega) H (j \ omega) | $$

В phase angle передаточной функции разомкнутого контура в градусах -

$$ \ phi = \ угол G (j \ omega) H (j \ omega) $$

Note - Основание логарифма 10.

Основные сюжеты Боде

В следующей таблице показаны значения крутизны, величины и фазового угла членов передаточной функции разомкнутого контура. Эти данные полезны при построении графиков Боде.

Тип срока G (jω) H (jω) Наклон (дБ / дек) Величина (дБ) Фазовый угол (градусы)

Постоянный

$ Тыс.

$ 0 $

$ 20 \ log K $

$ 0 $

Ноль в начале координат

$ j \ omega $

20 $

$ 20 \ лог \ омега $

90 $

'n' нулей в начале координат

$ (j \ omega) ^ n $

$ 20 \: n $

$ 20 \: n \ log \ omega $

$ 90 \: n $

Полюс в начале координат

$ \ frac {1} {j \ omega} $

$ -20 $

$ -20 \ лог \ омега $

$ -90 \: или \: 270 $

'n' полюсов в начале координат

$ \ frac {1} {(j \ omega) ^ n} $

$ -20 \: n $

$ -20 \: n \ log \ omega $

$ -90 \: n \: или \: 270 \: n $

Простой ноль

$ 1 + j \ omega r $

20 $

$ 0 \: для \: \ omega <\ frac {1} {r} $

$ 20 \: \ log \ omega r \: для \: \ omega> \ frac {1} {r} $

$ 0 \: для \: \ omega <\ frac {1} {r} $

$ 90 \: для \: \ omega> \ frac {1} {r} $

Простой полюс

$ \ frac {1} {1 + j \ omega r} $

$ -20 $

$ 0 \: для \: \ omega <\ frac {1} {r} $

$ -20 \: \ log \ omega r \: для \: \ omega> \ frac {1} {r} $

$ 0 \: для \: \ omega <\ frac {1} {r} $

$ -90 \: или \: 270 \: для \: \ omega> \ frac {1} {r} $

Член производной второго порядка

$ \ omega_n ^ 2 \ left (1- \ frac {\ omega ^ 2} {\ omega_n ^ 2} + \ frac {2j \ delta \ omega} {\ omega_n} \ right) $

$ 40 $

$ 40 \: \ log \: \ omega_n \: для \: \ omega <\ omega_n $

$ 20 \: \ log \ :( 2 \ delta \ omega_n ^ 2) \: для \: \ omega = \ omega_n $

$ 40 \: \ log \: \ omega \: для \: \ omega> \ omega_n $

$ 0 \: для \: \ omega <\ omega_n $

$ 90 \: для \: \ omega = \ omega_n $

$ 180 \: для \: \ omega> \ omega_n $

Интегральный член второго порядка

$ \ frac {1} {\ omega_n ^ 2 \ left (1- \ frac {\ omega ^ 2} {\ omega_n ^ 2} + \ frac {2j \ delta \ omega} {\ omega_n} \ right)} $

-40 $

$ -40 \: \ log \: \ omega_n \: для \: \ omega <\ omega_n $

$ -20 \: \ log \ :( 2 \ delta \ omega_n ^ 2) \: для \: \ omega = \ omega_n $

$ -40 \: \ log \: \ omega \: для \: \ omega> \ omega_n $

$ -0 \: для \: \ omega <\ omega_n $

$ -90 \: для \: \ omega = \ omega_n $

$ -180 \: для \: \ omega> \ omega_n $

Рассмотрим передаточную функцию разомкнутого контура $ G (s) H (s) = K $.

Величина $ M = 20 \: \ log K $ дБ

Фазовый угол $ \ phi = 0 $ градусов

Если $ K = 1 $, то величина равна 0 дБ.

Если $ K> 1 $, то величина будет положительной.

Если $ K <1 $, то величина будет отрицательной.

На следующем рисунке показан соответствующий график Боде.

График величины представляет собой горизонтальную линию, которая не зависит от частоты. Сама линия 0 дБ является графиком амплитуды, когда значение K равно единице. Для положительных значений K горизонтальная линия сместится на $ 20 \: \ log K $ дБ выше линии 0 дБ. Для отрицательных значений K горизонтальная линия сместится на $ 20 \: \ log K $ дБ ниже линии 0 дБ. Сама линия нуля градусов представляет собой фазовый график для всех положительных значений K.

Рассмотрим передаточную функцию разомкнутого контура $ G (s) H (s) = s $.

Величина $ M = 20 \ log \ omega $ дБ

Фазовый угол $ \ phi = 90 ^ 0 $

При $ \ omega = 0,1 $ рад / сек величина составляет -20 дБ.

При $ \ omega = 1 $ рад / сек величина равна 0 дБ.

При $ \ omega = 10 $ рад / сек величина составляет 20 дБ.

На следующем рисунке показан соответствующий график Боде.

График амплитуды представляет собой линию, имеющую наклон 20 дБ / дек. Эта линия начинается при $ \ omega = 0,1 $ рад / сек, имеет величину -20 дБ и продолжается на том же склоне. Он касается линии 0 дБ при $ \ omega = 1 $ рад / сек. В этом случае фазовый график представляет собой линию 90 0 .

Рассмотрим передаточную функцию разомкнутого контура $ G (s) H (s) = 1 + s \ tau $.

Величина $ M = 20 \: log \ sqrt {1 + \ omega ^ 2 \ tau ^ 2} $ дБ

Фазовый угол $ \ phi = \ tan ^ {- 1} \ omega \ tau $ градусов

Для $ ω <\ frac {1} {\ tau} $ величина равна 0 дБ, а фазовый угол равен 0 градусов.

Для $ \ omega> \ frac {1} {\ tau} $ величина составляет $ 20 \: \ log \ omega \ tau $ дБ, а фазовый угол равен 90 0 .

На следующем рисунке показан соответствующий график Боде.

График величины имеет величину от 0 дБ до $ \ omega = \ frac {1} {\ tau} $ рад / сек. От $ \ omega = \ frac {1} {\ tau} $ рад / сек он имеет крутизну 20 дБ / дек. В этом случае фазовый график имеет фазовый угол от 0 градусов до $ \ omega = \ frac {1} {\ tau} $ рад / сек, а отсюда фазовый угол равен 90 0 . Этот сюжет Боде называетсяasymptotic Bode plot.

Поскольку амплитуда и фазовые графики представлены прямыми линиями, точные графики Боде напоминают асимптотические графики Боде. Единственное отличие состоит в том, что графики Exact Bode будут иметь простые кривые вместо прямых линий.

Точно так же вы можете нарисовать графики Боде для других членов передаточной функции разомкнутого цикла, которые приведены в таблице.