Ağ Teorisi - Hızlı Kılavuz

Network theoryelektrik devreleri veya elektrik ağlarının problemlerini çözme çalışmasıdır. Bu giriş bölümünde, önce elektrik devrelerinin temel terminolojisini ve ağ elemanlarının türlerini tartışalım.

Temel Terminoloji

Ağ Teorisinde sık sık aşağıdaki terimlere rastlayacağız -

• Elektrik devresi
• Elektrik Ağı
• Current
• Voltage
• Power

Bu nedenle, ilerlemeden önce bu terimler hakkında bazı temel bilgileri toplamamız zorunludur. Elektrik Devresi ile başlayalım.

Elektrik devresi

Bir elektrik devresi, bir voltaj kaynağından veya akım kaynağından bir elektron akışı sağlamak için kapalı bir yol içerir. Bir elektrik devresinde bulunan elemanlar,series connection, parallel connectionveya seri ve paralel bağlantıların herhangi bir kombinasyonunda.

Elektrik Ağı

Bir elektrik şebekesinin, bir voltaj kaynağından veya akım kaynağından bir elektron akışı sağlamak için kapalı bir yol içermesi gerekmez. Bu nedenle, "tüm elektrik devrelerinin elektrik şebekeleri olduğu" sonucuna varabiliriz, ancak tersinin doğru olması gerekmez.

Güncel

Akım "I"bir iletkenden akmak, yükün zaman akış hızından başka bir şey değildir. Matematiksel olarak şu şekilde yazılabilir:

$$I = \frac{dQ}{dt}$$

Nerede,

• Q ücret ve birimi Coloumb'dir.

• t zaman ve birimi ikinci.

Bir benzetme olarak elektrik akımı, suyun bir borudan akması olarak düşünülebilir. Akım cinsinden ölçülürAmpere.

Genel olarak, Electron current kaynağın negatif terminalinden pozitif terminale akarken, Conventional current kaynağın pozitif terminalinden negatif terminale akar.

Electron current serbest elektronların hareketi nedeniyle elde edilirken, Conventional currentücretsiz pozitif ücretlerin hareketi nedeniyle elde edilir. Bunların her ikisine deelectric current.

Voltaj

Voltaj "V"yükün (elektronların) akmasına neden olan elektromotor kuvvetten başka bir şey değildir. Matematiksel olarak şu şekilde yazılabilir:

$$V = \frac{dW}{dQ}$$

Nerede,

• W potansiyel enerjidir ve birimi Joule'dir.

• Q ücret ve birimi Coloumb'dir.

Bir benzetme olarak, Voltaj, suyun bir borudan akmasına neden olan suyun basıncı olarak düşünülebilir. Açısından ölçülürVolt.

Güç

Güç "P"elektrik enerjisinin zaman hızından başka bir şey değildir. Matematiksel olarak şu şekilde yazılabilir:

$$P = \frac{dW}{dt}$$

Nerede,

• W elektrik enerjisidir ve cinsinden ölçülür Joule.

• t zamandır ve saniye cinsinden ölçülür.

Yukarıdaki denklemi yeniden yazabiliriz a

$$P = \frac{dW}{dt} = \frac{dW}{dQ} \times \frac{dQ}{dt} = VI$$

Bu nedenle, power başka bir şey değil product voltaj V ve güncel I. BirimiWatt.

Ağ Öğeleri Türleri

Network elemanlarını bazı parametrelere göre çeşitli tiplere ayırabiliriz. Aşağıda, Ağ öğesi türleri verilmiştir -

• Aktif Öğeler ve Pasif Öğeler

• Doğrusal Elemanlar ve Doğrusal Olmayan Elemanlar

• İkili Elemanlar ve Tek Taraflı Elemanlar

Aktif Öğeler ve Pasif Öğeler

Ağ öğelerini ikisine de sınıflandırabiliriz active veya passive güç sağlama yeteneğine dayanmaktadır.

• Active Elementsbir elektrik devresinde bulunan diğer elemanlara güç sağlar. Bazen gücü pasif unsurlar gibi emebilirler. Bu, aktif elemanların hem gücü verme hem de emme kapasitesine sahip olduğu anlamına gelir.Examples: Gerilim kaynakları ve akım kaynakları.

• Passive Elementsdiğer elementlere güç (enerji) veremez, ancak gücü emebilirler. Bu, bu elemanların ya gücü ısı biçiminde dağıttığı ya da enerjiyi manyetik alan ya da elektrik alanı biçiminde depoladığı anlamına gelir.Examples: Dirençler, İndüktörler ve kapasitörler.

Doğrusal Elemanlar ve Doğrusal Olmayan Elemanlar

Ağ elemanlarını şu şekilde sınıflandırabiliriz: linear veya non-linear Doğrusallık özelliğine uyma özelliklerine dayanır.

• Linear Elements gerilim ve akım arasında doğrusal bir ilişki gösteren unsurlardır. Examples: Dirençler, İndüktörler ve kapasitörler.

• Non-Linear Elements gerilim ve akım arasında doğrusal bir ilişki göstermeyenlerdir. Examples: Gerilim kaynakları ve akım kaynakları.

İkili Elemanlar ve Tek Taraflı Elemanlar

Ağ öğeleri de şu şekilde sınıflandırılabilir: bilateral veya unilateral şebeke elemanlarından geçen akımın yönüne göre.

Bilateral Elements Akıma her iki yönde izin veren ve akım akışının her iki yönünde de aynı empedansı sunan elemanlardır. Examples: Dirençler, İndüktörler ve kapasitörler.

İkili elemanlar kavramı aşağıdaki şekillerde gösterilmektedir.

Yukarıdaki şekilde, akım (I), Z ' empedansına sahip pasif bir elemanın içinden A terminallerinden B'ye akmaktadır . A ve B terminalleri ile akım (I) arasındaki bu elemana göre voltaj (V) oranıdır.

Yukarıdaki şekilde, akım (I), Z ' empedansına sahip pasif bir elemanın içinden B terminallerinden A'ya akmaktadır . Bu, akımın (–I) A terminallerinden B'ye aktığı anlamına gelir. Bu durumda da aynı empedans değerini alacağız, çünkü hem akım hem de gerilim A ve B terminallerine göre negatif işaretlere sahiptir.

Unilateral Elementsakıma sadece bir yönde izin verenlerdir. Bu nedenle, her iki yönde de farklı empedanslar sunarlar.

Bir önceki bölümde ağ elemanlarının türlerini tartıştık. Şimdi, tanımlayalımnature of network elements Aşağıdaki örneklerde verilen VI özelliklerinden.

örnek 1

V-I characteristics bir ağ elemanı aşağıda gösterilmiştir.

Step 1 - Ağ elemanını şu şekilde doğrulamak linear veya non-linear.

Yukarıdaki şekilden, bir ağ elemanının VI özellikleri, başlangıç ​​noktasından geçen düz bir çizgidir. Bu nedenle, bu birLinear element.

Step 2 - Ağ elemanını şu şekilde doğrulamak active veya passive.

Bir ağ elemanının verilen VI özellikleri, birinci ve üçüncü çeyrekte yer alır.

• İçinde first quadranthem gerilim (V) hem de akım (I) değerleri pozitiftir. Bu nedenle, gerilim (V) ve akım (I) oranları pozitif empedans değerleri verir.

• Benzer şekilde, third quadranthem gerilim (V) hem de akım (I) değerleri negatif değerlere sahiptir. Dolayısıyla, gerilim (V) ve akım (I) oranları pozitif empedans değerleri üretir.

Verilen VI özellikleri pozitif empedans değerleri sunduğundan, ağ elemanı bir Passive element.

Step 3 - Ağ elemanını şu şekilde doğrulamak bilateral veya unilateral.

Karakteristikler üzerindeki her nokta (I, V) için verilen karakteristikler üzerinde karşılık gelen bir nokta (-I, -V) vardır. Dolayısıyla, ağ elemanı birBilateral element.

Bu nedenle, verilen VI özellikleri, ağ elemanının bir Linear, Passive, ve Bilateral element.

Örnek 2

V-I characteristics bir ağ elemanı aşağıda gösterilmiştir.

Step 1 - Ağ elemanını şu şekilde doğrulamak linear veya non-linear.

Yukarıdaki şekilden, bir ağ elemanının VI özellikleri, yalnızca (-3A, -3V) ve (5A, 5V) noktaları arasında düz bir çizgidir. Bu noktaların ötesinde, VI özellikleri doğrusal ilişkiyi takip etmiyor. Bu nedenle, bu birNon-linear element.

Step 2 - Ağ elemanını şu şekilde doğrulamak active veya passive.

Bir ağ elemanının verilen VI özellikleri, birinci ve üçüncü çeyrekte yer alır. Bu iki kadranda, voltaj (V) ve akım (I) oranları pozitif empedans değerleri üretir. Dolayısıyla, ağ elemanı birPassive element.

Step 3 - Ağ elemanını şu şekilde doğrulamak bilateral or unilateral.

Özelliklerdeki (5A, 5V) noktasını düşünün. Karşılık gelen nokta (-5A, -3V) verilen özelliklerde (-5A, -5V) yerine mevcuttur. Dolayısıyla, ağ elemanı birUnilateral element.

Bu nedenle, verilen VI özellikleri, ağ elemanının bir Non-linear, Passive, ve Unilateral element.

Active Elementsbir elektrik devresinde bulunan diğer elemanlara güç sağlayan ağ elemanlarıdır. Bu nedenle, aktif elemanlara gerilim kaynağı veya akım türü olarak da adlandırılır. Bu kaynakları aşağıdaki iki kategoriye ayırabiliriz -

• Bağımsız Kaynaklar
• Bağımlı Kaynaklar

Bağımsız Kaynaklar

Adından da anlaşılacağı gibi, bağımsız kaynaklar sabit voltaj veya akım değerleri üretir ve bunlar başka herhangi bir parametreye bağlı değildir. Bağımsız kaynaklar ayrıca aşağıdaki iki kategoriye ayrılabilir:

• Bağımsız Gerilim Kaynakları
• Bağımsız Akım Kaynakları

Bağımsız Gerilim Kaynakları

Bağımsız bir voltaj kaynağı, iki terminali boyunca sabit bir voltaj üretir. Bu voltaj, voltaj kaynağının iki terminalinden akan akım miktarından bağımsızdır.

Bağımsız ideal voltage source ve VI özellikleri aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

V-I characteristicsBağımsız bir ideal gerilim kaynağının sabit bir hattı, akım değerinden (I) bağımsız olarak her zaman kaynak gerilimine (VS) eşittir. Dolayısıyla, bağımsız bir ideal voltaj kaynağının iç direnci sıfır Ohm'dur.

Bu nedenle, bağımsız ideal voltaj kaynakları do not exist practicallyçünkü bazı iç dirençler olacak.

Bağımsız practical voltage source ve VI özellikleri aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

Bağımsız bir pratik voltaj kaynağının VI özelliklerinde, bağımsız bir ideal voltaj kaynağının VI özelliklerinden bir sapma vardır. Bu, iç direncine karşı voltaj düşüşü (R nedeniyle _S bağımsız pratik gerilim kaynağının).

Bağımsız Akım Kaynakları

Bağımsız bir akım kaynağı sabit bir akım üretir. Bu akım, iki terminalindeki voltajdan bağımsızdır. Bağımsızideal current source ve VI özellikleri aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

V-I characteristicsbağımsız bir ideal akım kaynağının sabit bir hat olduğu, gerilim değerinden (V) bağımsız olarak her zaman kaynak akımına (I _S ) eşittir . Dolayısıyla, bağımsız bir ideal akım kaynağının iç direnci sonsuz ohm'dur.

Dolayısıyla bağımsız ideal akım kaynakları do not exist practicallyçünkü bazı iç dirençler olacak.

Bağımsız practical current source ve VI özellikleri aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

Bağımsız bir pratik akım kaynağının VI özelliklerinde, bağımsız bir ideal akım kaynağının VI özelliklerinden bir sapma vardır. Bunun nedeni, bağımsız bir pratik akım kaynağının dahili şönt direnci (R _S ) boyunca akan akım miktarıdır .

Bağımlı Kaynaklar

Adından da anlaşılacağı gibi, bağımlı kaynaklar, başka bir voltaj veya akıma bağlı olan voltaj veya akım miktarını üretir. Bağımlı kaynaklar olarak da adlandırılırcontrolled sources. Bağımlı kaynaklar aşağıdaki iki kategoriye ayrılabilir:

• Bağımlı Gerilim Kaynakları
• Bağımlı Akım Kaynakları

Bağımlı Gerilim Kaynakları

Bağımlı bir voltaj kaynağı, iki terminali boyunca bir voltaj üretir. Bu voltajın miktarı başka bir voltaj veya akıma bağlıdır. Bu nedenle, bağımlı voltaj kaynakları aşağıdaki iki kategoriye ayrılabilir -

• Gerilime Bağlı Gerilim Kaynağı (VDVS)
• Akıma Bağlı Gerilim Kaynağı (CDVS)

Bağımlı voltaj kaynakları, bir elmas şekli içinde "+" ve "-" işaretleriyle gösterilir. Gerilim kaynağının büyüklüğü, elmas şeklinin dışında gösterilebilir.

Bağımlı Akım Kaynakları

Bağımlı bir akım kaynağı bir akım üretir. Bu akımın miktarı başka bir voltaj veya akıma bağlıdır. Bu nedenle, bağımlı akım kaynakları aşağıdaki iki kategoriye ayrılabilir -

• Gerilime Bağlı Akım Kaynağı (VDCS)
• Akıma Bağlı Akım Kaynağı (CDCS)

Bağımlı akım kaynakları, elmas şeklindeki bir okla temsil edilir. Mevcut kaynağın büyüklüğü, elmas şeklinin dışında gösterilebilir.

Bu bağımlı veya kontrollü kaynakları eşdeğer transistör modellerinde gözlemleyebiliriz.

Kaynak Dönüşüm Tekniği

İki pratik kaynak olduğunu biliyoruz, yani voltage source ve current source. Ağ sorunlarını çözerken, bir kaynağı ihtiyaca göre diğerine dönüştürebiliriz (dönüştürebiliriz).

Bir kaynağı diğerine dönüştürme tekniğine denir. source transformation technique. Olası iki kaynak dönüşümü aşağıdadır -

• Pratik bir akım kaynağına pratik voltaj kaynağı
• Pratik bir voltaj kaynağına pratik akım kaynağı

Pratik bir akım kaynağına pratik voltaj kaynağı

Pratik voltaj kaynağının pratik bir akım kaynağına dönüşümü aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

Practical voltage sourcebir dirençle (R _S ) seri olarak bir voltaj kaynağından (V _S ) oluşur . Bu, şekilde gösterildiği gibi pratik bir akım kaynağına dönüştürülebilir. Bir dirençle (R _S ) paralel olarak bir akım kaynağından (I _S ) oluşur .

IS'nin değeri V _S ve R _S oranına eşit olacaktır . Matematiksel olarak şu şekilde temsil edilebilir:

$$I_S = \frac{V_S}{R_S}$$

Pratik bir voltaj kaynağına pratik akım kaynağı

Pratik akım kaynağının pratik bir voltaj kaynağına dönüşümü aşağıdaki şekilde gösterilmektedir.

Pratik akım kaynağı, bir dirençle (R _S ) paralel olarak bir akım kaynağından (I _S ) oluşur . Bu, şekilde gösterildiği gibi pratik bir voltaj kaynağına dönüştürülebilir. Bir dirençle (R _S ) seri olarak bir voltaj kaynağından (V _S ) oluşur .

V _S'nin değeri I _S ve R _S'nin çarpımına eşit olacaktır . Matematiksel olarak şu şekilde temsil edilebilir:

$$V_S = I_S R_S$$

Bu bölümde Direnç, İndüktör ve Kondansatör gibi pasif unsurları detaylı olarak tartışacağız. Dirençler ile başlayalım.

Direnç

Direncin temel işlevi, elektrik akımının akışına karşıdır veya onu kısıtlar. Bu nedenle dirençler, akım akışı miktarını ve / veya bölme (paylaşım) voltajını sınırlamak için kullanılır.

Dirençten akan akımın ben amper olmasına ve üzerindeki voltajın V volt olmasına izin verin. symbol akım, I ve voltaj ile birlikte direnç, V aşağıdaki şekilde gösterilmektedir.

Göre Ohm’s law, direnç üzerindeki voltaj, içinden geçen akımın ve bu direncin direncinin ürünüdür. Mathematicallyşu şekilde temsil edilebilir:

$V = IR$ Equation 1

$\Rightarrow I = \frac{V}{R}$Equation 2

Nerede, R bir direncin direncidir.

Denklem 2'den, dirençten akan akımın direnç boyunca uygulanan voltajla doğru orantılı olduğu ve direncin direnci ile ters orantılı olduğu sonucuna varabiliriz.

Power bir elektrik devresi elemanında şu şekilde temsil edilebilir:

$P = VI$Equation 3

İkame, Denklem 3'teki Denklem 1.

$P = (IR)I$

$\Rightarrow P = I^2 R$ Equation 4

İkame, Denklem 3'teki Denklem 2.

$P = V \lgroup \frac{V}{R} \rgroup$

$\Rightarrow P = \frac{V^2}{R}$ Equation 5

Dolayısıyla, Denklem 3 ila 5'te belirtilen formüllerden birini kullanarak dirençte harcanan güç miktarını hesaplayabiliriz.

Bobin

Genel olarak, indüktörlerin dönüş sayısı olacaktır. Bu nedenle, içinden akım geçtiğinde manyetik akı üretirler. Dolayısıyla, bir indüktör tarafından üretilen toplam manyetik akı miktarı, içinden akan akıma bağlıdır ve doğrusal bir ilişkileri vardır.

Mathematicallyşu şekilde yazılabilir

$$\Psi \: \alpha \: I$$

$$\Rightarrow \Psi = LI$$

Nerede,

• Ψ toplam manyetik akıdır

• L bir indüktörün endüktansıdır

İndüktörden akan akımın ben amper olmasına ve üzerindeki voltajın V volt olmasına izin verin . symbolakım I ve voltaj V ile birlikte indüktörün değeri aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

Göre Faraday’s law, indüktör üzerindeki voltaj şu şekilde yazılabilir:

$$V = \frac{d\Psi}{dt}$$

Yerine V = LI yukarıdaki denklemde.

$$V = \frac{d(LI)}{dt}$$

$$\Rightarrow V = L \frac{dI}{dt}$$

$$\Rightarrow I = \frac{1}{L} \int V dt$$

Yukarıdaki denklemlerden şu sonuca varabiliriz: linear relationship indüktör üzerindeki voltaj ile içinden geçen akım arasında.

Biz biliyoruz ki power bir elektrik devresi elemanında şu şekilde temsil edilebilir:

$$P = VI$$

Vekil $V = L \frac{dI}{dt}$ yukarıdaki denklemde.

$$P = \lgroup L \frac{dI}{dt}\rgroup I$$

$$\Rightarrow P = LI \frac{dI}{dt}$$

Yukarıdaki denklemi entegre ederek elde edeceğiz energy bir indüktörde saklanır

$$W = \frac{1}{2} LI^2$$

Böylece, indüktör enerjiyi manyetik alan formunda depolar.

Kondansatör

Genel olarak, bir kapasitör bir dielektrik ortam ile ayrılmış iki iletken plakaya sahiptir. Kondansatöre pozitif voltaj uygulanırsa, pozitif yük depolar. Benzer şekilde, kapasitör boyunca negatif voltaj uygulanırsa, negatif yük depolar.

Dolayısıyla, kapasitörde depolanan şarj miktarı uygulanan gerilime bağlıdır. Vkarşısında ve doğrusal bir ilişkileri var. Matematiksel olarak şu şekilde yazılabilir:

$$Q \: \alpha \: V$$

$$\Rightarrow Q = CV$$

Nerede,

• Q kapasitörde depolanan yüktür.

• C bir kapasitörün kapasitansıdır.

Kondansatörden akan akımın ben amper olmasına ve üzerindeki voltajın V volt olmasına izin verin . Akım I ve voltaj V ile birlikte kondansatör sembolü aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

Biliyoruz ki current başka bir şey değil time rate of flow of charge. Matematiksel olarak şu şekilde temsil edilebilir:

$$I = \frac{dQ}{dt}$$

Vekil $Q = CV$ yukarıdaki denklemde.

$$I = \frac{d(CV)}{dt}$$

$$\Rightarrow I = C \frac{dV}{dt}$$

$$\Rightarrow V = \frac{1}{C} \int I dt$$

Yukarıdaki denklemlerden şu sonuca varabiliriz: linear relationship kapasitördeki voltaj ile içinden geçen akım arasında.

Biz biliyoruz ki power bir elektrik devresi elemanında şu şekilde temsil edilebilir:

$$P = VI$$

Vekil $I = C \frac{dV}{dt}$ yukarıdaki denklemde.

$$P = V \lgroup C \frac{dV}{dt} \rgroup$$

$$\Rightarrow P = CV \frac{dV}{dt}$$

Yukarıdaki denklemi entegre ederek elde edeceğiz energy kapasitörde saklandığı gibi

$$W = \frac{1}{2}CV^2$$

Böylece kondansatör, enerjiyi elektrik alanı şeklinde depolar.

Ağ öğeleri aşağıdakilerden biri olabilir active veya passiveyazın. Herhangi bir elektrik devresi veya ağ, bu iki tür ağ elemanından birini veya her ikisinin bir kombinasyonunu içerir.

Şimdi, popüler olarak bilinen şu iki yasayı tartışalım: Kirchhoff’s laws.

• Kirchhoff'un Mevcut Yasası
• Kirchhoff'un Gerilim Yasası

Kirchhoff'un Mevcut Yasası

Kirchhoff'un Mevcut Yasası (KCL), bir düğümü terk eden (veya giren) akımların cebirsel toplamının sıfıra eşit olduğunu belirtir.

Bir Nodeiki veya daha fazla devre elemanının kendisine bağlı olduğu bir noktadır. Bir düğüme yalnızca iki devre elemanı bağlıysa, o zaman basit düğüm olduğu söylenir. Bir düğüme üç veya daha fazla devre elemanı bağlanırsa, o zamanPrincipal Node.

MathematicallyKCL şu şekilde temsil edilebilir:

$$\displaystyle\sum\limits_{m=1}^M I_m = 0$$

Nerede,

• I_mdüğümden çıkan m ^inci dal akımıdır.

• M bir düğüme bağlı dalların sayısıdır.

Yukarıdaki ifade KCL"Bir düğüme giren akımların cebirsel toplamı, bir düğümü terk eden akımların cebirsel toplamına eşittir" olarak da ifade edilebilir. Bu ifadeyi aşağıdaki örnekle doğrulayalım.

Misal

Yazmak KCL equation düğümde P aşağıdaki şeklin.

• Yukarıdaki şekilde, dal akımlar I ₁ , I ₂ ve ₃ vardırentering P düğümünde Bu üç akım için negatif işaretleri düşünün.

• Yukarıdaki şekilde, şube akımlar I ₄ ve ben ₅ vardırleaving P düğümünden. Yani, bu iki akım için pozitif işaretleri düşünün.

KCL equation P düğümünde

$$- I_1 - I_2 - I_3 + I_4 + I_5 = 0$$

$$\Rightarrow I_1 + I_2 + I_3 = I_4 + I_5$$

Yukarıdaki denklemde sol taraf, giren akımların toplamını temsil ederken, sağ taraf, çıkış akımlarının toplamını temsil eder.

Bu eğiticide, akım bir düğümden çıktığında pozitif işareti ve bir düğüme girdiğinde negatif işareti ele alacağız. Benzer şekilde, akım bir düğümden çıktığında negatif işareti ve bir düğüme girdiğinde pozitif işareti düşünebilirsiniz. Her iki durumda daresult will be same.

Note - KCL, bir düğüme bağlı ağ öğelerinin doğasından bağımsızdır.

Kirchhoff'un Gerilim Yasası

Kirchhoff'un Gerilim Yasası (KVL), bir döngü veya ağ etrafındaki gerilimlerin cebirsel toplamının sıfıra eşit olduğunu belirtir.

Bir Loopbaşladığı aynı düğümde sona eren bir yoldur. Aksine, birMesh içinde başka herhangi bir döngü içermeyen bir döngüdür.

Matematiksel olarak KVL şu şekilde temsil edilebilir:

$$\displaystyle\sum\limits_{n=1}^N V_n = 0$$

Nerede,

• V_nn ^inci elemanın bir döngüdeki (ağ) voltajıdır.

• N döngüdeki (ağ) ağ öğelerinin sayısıdır.

Yukarıdaki ifade KVL"Gerilim kaynaklarının cebirsel toplamı, bir döngüde mevcut olan gerilim düşüşlerinin cebirsel toplamına eşittir" şeklinde de ifade edilebilir. Bu ifadeyi aşağıdaki örnek yardımıyla doğrulayalım.

Misal

Yazmak KVL equation Aşağıdaki devrenin döngüsü etrafında.

Yukarıdaki devre şeması, iki direnç R ₁ ve R ₂ ile seri olarak V _S voltaj kaynağından oluşur . Dirençler R ₁ ve R ₂ üzerindeki voltaj düşüşleri sırasıyla V ₁ ve V _2'dir .

Uygulamak KVL döngü etrafında.

$$V_S - V_1 - V_2 = 0$$

$$\Rightarrow V_S = V_1 + V_2$$

Yukarıdaki denklemde, sol taraftaki terim tek voltaj kaynağı VS'yi temsil eder. Sağ taraf isesum of voltage drops. Bu örnekte, yalnızca bir voltaj kaynağını ele aldık. Bu nedenle sol taraf yalnızca bir terim içerir. Birden fazla voltaj kaynağı düşünürsek, sol taraf voltaj kaynaklarının toplamını içerir.

Bu eğitimde, her bir elemanın voltajının işaretini, döngü etrafında seyahat ederken mevcut olan ikinci terminalin polaritesi olarak ele alıyoruz. Benzer şekilde, her bir voltajın işaretini, döngü etrafında seyahat ederken mevcut olan ilk terminalin polaritesi olarak düşünebilirsiniz. Her iki durumda daresult will be same.

Note - KVL, bir döngüde bulunan ağ öğelerinin doğasından bağımsızdır.

Bu bölümde, elektriksel büyüklüklerin aşağıdaki iki bölme ilkesini tartışalım.

• Mevcut Bölme İlkesi
• Gerilim Bölme Prensibi

Mevcut Bölme İlkesi

İki veya daha fazla pasif eleman paralel bağlandığında, her bir elemandan geçen akım miktarı divided Düğüme giren akımdan kendi aralarında (paylaşılan).

Aşağıdakileri göz önünde bulundur circuit diagram.

Yukarıdaki devre şeması bir giriş akımı kaynağından oluşur I_S iki dirençle paralel olarak R₁ ve R₂. Her bir elemandaki voltajV_S. Dirençlerden geçen akımlarR₁ ve R₂ vardır I₁ ve I₂ sırasıyla.

KCL equation düğümde P olacak

$$I_S = I_1 + I_2$$

• Vekil $I_1 = \frac{V_S}{R_1}$ ve $I_2 = \frac{V_S}{R_2}$ yukarıdaki denklemde.

$$I_S = \frac{V_S}{R_1} + \frac{V_S}{R_2} = V_S \lgroup \frac {R_2 + R_1 }{R_1 R_2} \rgroup$$

$$\Rightarrow V_S = I_S \lgroup \frac{R_1R_2}{R_1 + R_2} \rgroup$$

• V _S değerini yerine koyun .$I_1 = \frac{V_S}{R_1}$.

$$I_1 = \frac{I_S}{R_1}\lgroup \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} \rgroup$$

$$\Rightarrow I_1 = I_S\lgroup \frac{R_2}{R_1 + R_2} \rgroup$$

• V _S değerini yerine koyun .$I_2 = \frac{V_S}{R_2}$.

$$I_2 = \frac{I_S}{R_2} \lgroup \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} \rgroup$$

$$\Rightarrow I_2 = I_S \lgroup \frac{R_1}{R_1 + R_2} \rgroup$$

I ₁ ve I ₂ denklemlerinden, herhangi bir pasif elemandan geçen akımın aşağıdaki formülü kullanarak bulunabileceğini genelleyebiliriz.

$$I_N = I_S \lgroup \frac{Z_1\rVert Z_2 \rVert...\rVert Z_{N-1}}{Z_1 + Z_2 + ... + Z_N}\rgroup$$

Bu olarak bilinir current division principle ve iki veya daha fazla pasif eleman paralel bağlandığında ve düğüme sadece bir akım girdiğinde uygulanabilir.

Nerede,

• I _{, N} , N pasif eleman yoluyla akan akımı ^inci dal.

• I _S , düğüme giren giriş akımıdır.

• Z ₁ , Z ₂ , ..., Z _N 1 empedansları olan ^st şube, 2 ^nd şube, ..., N ^inci sırasıyla dalı.

Gerilim Bölme Prensibi

İki veya daha fazla pasif eleman seri olarak bağlandığında, her bir elemanda bulunan voltaj miktarı divided bu kombinasyonun tamamında mevcut olan voltajdan kendi aralarında (paylaşılan).

Aşağıdakileri göz önünde bulundur circuit diagram.

Yukarıdaki devre şeması, iki direnç R ₁ ve R ₂ ile seri olarak V _S voltaj kaynağından oluşur . Bu elementlerden geçen akım I _S'dir . Dirençler R ₁ ve R ₂ üzerindeki voltaj düşüşleri sırasıyla V ₁ ve V _2'dir .

KVL equation döngü etrafında olacak

$$V_S = V_1 + V_2$$

• Yedek V ₁ = I _S R ' ₁ ve V ₂ = I _S R' ₂ , yukarıdaki denklemde

$$V_S = I_S R_1 + I_S R_2 = I_S(R_1 + R_2)$$

$$I_S = \frac{V_S}{R_1 + R_2}$$

• Değerinin yerine I _S içinde V ₁ = I _S R ' ₁ .

$$V_1 = \lgroup \frac {V_S}{R_1 + R_2} \rgroup R_1$$

$$\Rightarrow V_1 = V_S \lgroup \frac {R_1}{R_1 + R_2} \rgroup$$

• Değerinin yerine I _S içinde V ₂ = I _S R ' ₂ .

$$V_2 = \lgroup \frac {V_S}{R_1 + R_2} \rgroup R_2$$

$$\Rightarrow V_2 = V_S \lgroup \frac {R_2}{R_1 + R_2} \rgroup$$

V ₁ ve V ₂ denklemlerinden, herhangi bir pasif elemandaki voltajın aşağıdaki formül kullanılarak bulunabileceğini genelleyebiliriz.

$$V_N = V_S \lgroup \frac {Z_N}{Z_1 + Z_2 +....+ Z_N}\rgroup$$

Bu olarak bilinir voltage division principle ve iki veya daha fazla pasif eleman seri olarak bağlandığında ve tüm kombinasyonda yalnızca bir voltaj mevcut olduğunda uygulanabilir.

Nerede,

• V _{, N} , N üzerindeki gerilimdir ^inci pasif eleman.

• V _S , seri pasif elemanların tüm kombinasyonu boyunca mevcut olan giriş voltajıdır.

• Z, ₁ , Z, ₂ , ..., Z, ₃ 1 empedansları olan ^st pasif eleman, 2 ^nci pasif eleman, ..., N ^inci sırasıyla pasif eleman.

Herhangi bir elektrik şebekesini çözmek için kullanılan iki temel yöntem vardır: Nodal analysis ve Mesh analysis. Bu bölümde, konu hakkında tartışalım.Nodal analysis yöntem.

Düğüm analizinde, Düğüm gerilimlerini Toprağa göre ele alacağız. Bu nedenle, Düğüm analizi aynı zamandaNode-voltage method.

Düğüm Analizi Prosedürü

Nodal analizini kullanarak herhangi bir elektrik ağını veya devreyi çözerken bu adımları izleyin.

• Step 1 - Tanımlayın principal nodes ve bunlardan birini seçin reference node. Bu referans düğümünü Zemin olarak ele alacağız.

• Step 2 - Etiketle node voltages Referans düğüm hariç tüm ana düğümlerden Yere göre.

• Step 3 - Yaz nodal equationsreferans düğüm hariç tüm ana düğümlerde. Düğüm denklemi, önce KCL ve ardından Ohm kanunu uygulanarak elde edilir.

• Step 4 - Düğüm voltajlarını elde etmek için 3. Adımda elde edilen düğüm denklemlerini çözün.

Şimdi, düğüm voltajlarını kullanarak herhangi bir elemandan geçen akımı ve verilen ağda bulunan herhangi bir elemandaki voltajı bulabiliriz.

Misal

Aşağıdaki devrenin 20 Ω direncinden geçen akımı bulunuz. Nodal analysis.

Step 1 - vardır three principle nodesyukarıdaki devrede. Bunlar aşağıdaki şekilde 1, 2 ve 3 olarak etiketlenmiştir.

Yukarıdaki şekilde düşünün node 3 referans düğümü olarak (Zemin).

Step 2- Düğüm gerilimleri, V ₁ ve V ₂ , aşağıdaki şekilde etiketlenmiştir.

Yukarıdaki şekilde, V ₁ zemine göre 1 düğümünde gerilim ve V ₂ zemine göre düğüm 2'den gerilimdir.

Step 3 - Bu durumda alacağız two nodal equationsÇünkü Ground dışında 1 ve 2 olmak üzere iki ana düğüm vardır. Düğüm denklemlerini bir düğüme yazdığımızda, tüm akımların akımın yönünün belirtilmediği düğümden çıktığını ve bu düğümün voltajının devredeki diğer düğüm voltajlarından daha büyük olduğunu varsayalım.

nodal equation 1. düğümde

$$\frac{V_1 - 20}{5} + \frac{V_1}{10} + \frac{V_1 - V_2}{10} = 0$$

$$\Rightarrow \frac{2 V_1 - 40 + V_1 + V_1 - V_2}{10} = 0$$

$$\Rightarrow 4V_1 - 40 - V_2 = 0$$

$\Rightarrow V_2 = 4V_1 - 40$ Equation 1

nodal equation 2. düğümde

$$-4 + \frac{V_2}{20} + \frac{V_2 - V_1}{10} = 0$$

$$\Rightarrow \frac{-80 + V_2 + 2V_2 - 2V_2}{20} = 0$$

$\Rightarrow 3V_2 − 2V_1 = 80$ Equation 2

Step 4- Denklem 1 ve Denklem 2'yi çözerek düğüm voltajlarını, V ₁ ve V _2'yi bulmak .

Denklem 2'deki İkame Denklem 1.

$$3(4 V_1 - 40) - 2 V_1 = 80$$

$$\Rightarrow 12 V_1 - 120 - 2V_1 =80$$

$$\Rightarrow 10 V_1 = 200$$

$$\Rightarrow V_1 = 20V$$

Yerine V ₁ Equation1 içinde = 20 V.

$$V_2 = 4(20) - 40$$

$$\Rightarrow V_2 = 40V$$

Yani, biz düğüm gerilimleri var V ₁ ve V ₂ olarak20 V ve 40 V sırasıyla.

Step 5- 20 Ω direnç üzerindeki voltaj, düğüm voltajı V _2'den başka bir şey değildir ve 40 V'a eşittir. Şimdi, Ohm yasasını kullanarak 20 Ω dirençten geçen akımı bulabiliriz.

$$I_{20 \Omega} = \frac{V_2}{R}$$

Yukarıdaki denklemde V ₂ ve R değerlerini değiştirin .

$$I_{20 \Omega} = \frac{40}{20}$$

$$\Rightarrow I_{20 \Omega} = 2A$$

Bu nedenle, verilen devrenin 20 Ω direncinden geçen akım 2 A.

Note- Yukarıdaki örnekten, elektrik devresinde 'n' ana düğüm varsa (referans düğüm hariç) 'n' düğüm denklemlerini çözmemiz gerektiği sonucuna varabiliriz. Bu nedenle, Nodal analizini seçebiliriz.number of principal nodes (referans düğümü hariç) herhangi bir elektrik devresinin ağ sayısından daha azdır.

Mesh analizinde, her bir ağdan geçen akımları dikkate alacağız. Bu nedenle, Mesh analizi aynı zamandaMesh-current method.

Bir branchiki düğümü birleştiren ve bir devre elemanı içeren bir yoldur. Bir dal yalnızca bir ağa aitse, dal akımı ağ akımına eşit olacaktır.

Bir dal iki ağda ortaksa, dal akımı, aynı (veya zıt) yöndeyken iki örgü akımının toplamına (veya farkına) eşit olacaktır.

Mesh Analizi Prosedürü

Mesh analizini kullanarak herhangi bir elektrik ağını veya devreyi çözerken bu adımları izleyin.

• Step 1 - Tanımlayın meshes ve örgü akımlarını saat yönünde veya saat yönünün tersine etiketleyin.

• Step 2 - Her bir elemandan geçen akım miktarını örgü akımları açısından gözlemleyin.

• Step 3 - Yaz mesh equationstüm ağlara. Mesh denklemi, önce KVL ve ardından Ohm kanunu uygulanarak elde edilir.

• Step 4 - 3. Adımda elde edilen örgü denklemlerini çözün. mesh currents.

Şimdi, örgü akımları kullanarak herhangi bir elemandan geçen akımı ve verilen ağda bulunan herhangi bir elemandaki voltajı bulabiliriz.

Misal

Kullanarak 30 Ω direnç boyunca voltajı bulun Mesh analysis.

Step 1- Yukarıdaki devrede iki kafes vardır. mesh currentsI ₁ ve I ₂ saat yönünde kabul edilir. Bu örgü akımları aşağıdaki şekilde gösterilmektedir.

Step 2- Örgü akımı I ₁ , 20 V gerilim kaynağı ve 5 Ω dirençten geçer. Benzer şekilde, örgü akımı I ₂ 30 Ω direnç ve -80 V voltaj kaynağı içinden akar. Ancak, iki örgü akımının farkı, I ₁ ve I ₂ , iki ağın ortak dalı olduğu için 10 Ω dirençten geçer.

Step 3 - Bu durumda alacağız two mesh equationsçünkü verilen devrede iki ağ vardır. Örgü denklemlerini yazdığımızda, o belirli ağın örgü akımının devrenin diğer tüm örgü akımlarından daha büyük olduğunu varsayalım.

mesh equation ilk ağın

$$20 - 5I_1 -10(I_1 - I_2) = 0$$

$$\Rightarrow 20 - 15I_1 + 10I_2 = 0$$

$$\Rightarrow 10I_2 = 15I_1 - 20$$

Yukarıdaki denklemi 5'e bölün.

$$2I_2 = 3I_1 - 4$$

Yukarıdaki denklemi 2 ile çarpın.

$4I_2 = 6I_1 - 8$ Equation 1

mesh equation ikinci ağın

$$-10(I_2 - I_1) - 30I_2 + 80 = 0$$

Yukarıdaki denklemi 10'a bölün.

$$-(I_2 - I_1) - 3I_2 + 8 = 0$$

$$\Rightarrow -4I_2 + I_1 + 8 = 0$$

$4I_2 = I_1 + 8$ Equation 2

Step 4- Denklem 1 ve Denklem 2'yi çözerek I ₁ ve I ₂ örgü akımlarını bulmak .

Denklem 1 ve Denklem 2'nin sol taraftaki terimleri aynıdır. Bu nedenle, I _1'in değerini bulmak için Denklem 1 ve Denklem 2'nin sağ taraftaki terimlerini eşitleyin .

$$6I_1 - 8 = I_1 + 8$$

$$\Rightarrow 5I_1 = 16$$

$$\Rightarrow I_1 = \frac{16}{5} A$$

Denklem 2'deki I ₁ değerini ikame edin .

$$4I_2 = \frac{16}{5} + 8$$

$$\Rightarrow 4I_2 = \frac{56}{5}$$

$$\Rightarrow I_2 = \frac{14}{5} A$$

Yani, biz örgü akımları var ben ₁ ve ben ₂ olarak$\mathbf{\frac{16}{5}}$ A ve $\mathbf{\frac{14}{5}}$ A sırasıyla.

Step 5- 30 Ω dirençten akan akım, ağ akımı I _2'den başka bir şey değildir ve eşittir$\frac{14}{5}$ A. Şimdi, Ohm yasasını kullanarak 30 Ω direnç üzerindeki voltajı bulabiliriz.

$$V_{30 \Omega} = I_2 R$$

Yukarıdaki denklemde I ₂ ve R değerlerini değiştirin .

$$V_{30 \Omega} = \lgroup \frac{14}{5} \rgroup 30$$

$$\Rightarrow V_{30 \Omega} = 84V$$

Bu nedenle, verilen devrenin 30 Ω direncindeki voltaj 84 V.

Note 1- Yukarıdaki örnekten, elektrik devresinde 'm' ağları varsa, 'm' örgü denklemlerini çözmemiz gerektiği sonucuna varabiliriz. Bu nedenle, ağ sayısı herhangi bir elektrik devresinin ana düğüm sayısından (referans düğüm hariç) az olduğunda Mesh analizini seçebiliriz.

Note 2 - Ağların sayısı, herhangi bir elektrik devresindeki ana düğümlerin sayısına (referans düğüm hariç) eşit olduğunda, Düğüm analizi veya Ağ analizini seçebiliriz.

Bir devre iki veya daha fazla benzer pasif elemandan oluşuyorsa ve yalnızca seri tip veya paralel tipte bağlıysa, bunları tek bir eşdeğer pasif elemanla değiştirebiliriz. Bu nedenle, bu devreye birequivalent circuit.

Bu bölümde, aşağıdaki iki eşdeğer devre hakkında tartışalım.

• Seri Eşdeğer Devre
• Paralel Eşdeğer Devre

Seri Eşdeğer Devre

Benzer pasif elemanlar bağlanırsa series, o zaman aynı akım tüm bu unsurlardan geçecektir. Ancak voltaj her bir elemana bölünür.

Aşağıdakileri göz önünde bulundur circuit diagram.

Tek bir voltaj kaynağına (V _S ) ve R ₁ , R ₂ ve R ₃ dirençlerine sahip üç dirence sahiptir . Tüm bu elemanlar seri olarak bağlanmıştır. Mevcut IS, tüm bu unsurların içinden geçiyor.

Yukarıdaki devre sadece bir ağa sahiptir. KVL equation bu ağın etrafında

$$V_S = V_1 + V_2 + V_3$$

Vekil $V_1 = I_S R_1, \: V_2 = I_S R_2$ ve $V_3 = I_S R_3$ yukarıdaki denklemde.

$$V_S = I_S R_1 + I_S R_2 + I_S R_3$$

$$\Rightarrow V_S = I_S(R_1 + R_2 + R_3)$$

Yukarıdaki denklem şu şekildedir: $V_S = I_S R_{Eq}$ nerede,

$$R_{Eq} = R_1 + R_2 + R_3$$

equivalent circuit diagram verilen devrenin sayısı aşağıdaki şekilde gösterilmektedir.

Bu, birden fazla direnç seri olarak bağlanırsa, bunları bir equivalent resistor. The resistance of this equivalent resistor is equal to sum of the resistances of all those multiple resistors.

Note 1 − If ‘N’ inductors having inductances of L₁, L₂, ..., L_N are connected in series, then the equivalent inductance will be

$$L_{Eq} = L_1 + L_2 + ... + L_N$$

Note 2 − If ‘N’ capacitors having capacitances of C₁, C₂, ..., C_N are connected in series, then the equivalent capacitance will be

$$\frac{1}{C_{Eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + ... + \frac{1}{C_N}$$

Parallel Equivalent Circuit

If similar passive elements are connected in parallel, then the same voltage will be maintained across each element. But, the current flowing through each element gets divided.

Consider the following circuit diagram.

It has a single current source (I_S) and three resistors having resistances of R₁, R₂, and R₃. All these elements are connected in parallel. The voltage (V_S) is available across all these elements.

The above circuit has only one principal node (P) except the Ground node. The KCL equation at this principal node (P) is

$$I_S = I_1 + I_2 + I_3$$

Substitute $I_1 = \frac{V_S}{R_1}, \: I_2 = \frac{V_S}{R_2}$ and $I_3 = \frac{V_S}{R_3}$ in the above equation.

$$I_S = \frac{V_S}{R_1} + \frac{V_S}{R_2} + \frac{V_S}{R_3}$$

$$\Rightarrow I_S = V_S \lgroup \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} \rgroup$$

$$\Rightarrow V_S = I_S\left [ \frac{1}{\lgroup \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} \rgroup} \right ]$$

The above equation is in the form of V_S = I_SR_Eq where,

$$R_{Eq} = \frac{1}{\lgroup \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} \rgroup}$$

$$\frac{1}{R_{Eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}$$

The equivalent circuit diagram of the given circuit is shown in the following figure.

That means, if multiple resistors are connected in parallel, then we can replace them with an equivalent resistor. The resistance of this equivalent resistor is equal to the reciprocal of sum of reciprocal of each resistance of all those multiple resistors.

Note 1 − If ‘N’ inductors having inductances of L₁, L₂, ..., L_N are connected in parallel, then the equivalent inductance will be

$$\frac{1}{L_{Eq}} = \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2} + ... + \frac{1}{L_N}$$

Note 2 − If ‘N’ capacitors having capacitances of C₁, C₂, ..., C_N are connected in parallel, then the equivalent capacitance will be

$$C_{Eq} = C_1 + C_2 + ... + C_N$$

In the previous chapter, we discussed about the equivalent circuits of series combination and parallel combination individually. In this chapter, let us solve an example problem by considering both series and parallel combinations of similar passive elements.

Example

Let us find the equivalent resistance across the terminals A & B of the following electrical network.

We will get the equivalent resistance across terminals A & B by minimizing the above network into a single resistor between those two terminals. For this, we have to identify the combination of resistors that are connected in series form and parallel form and then find the equivalent resistance of the respective form in every step.

The given electrical network is modified into the following form as shown in the following figure.

In the above figure, the letters, C to G, are used for labelling various terminals.

Step 1 − In the above network, two 6 Ω resistors are connected in parallel. So, the equivalent resistance between D & E will be 3 Ω. This can be obtained by doing the following simplification.

$$R_{DE} = \frac{6 \times 6}{6 + 6} = \frac{36}{12} = 3 \Omega$$

In the above network, the resistors 4 Ω and 8 Ω are connected in series. So, the equivalent resistance between F & G will be 12 Ω. This can be obtained by doing the following simplification.

$$R_{FG} = 4 + 8 = 12 \Omega$$

Step 2 − The simplified electrical network after Step 1 is shown in the following figure.

In the above network, two 3 Ω resistors are connected in series. So, the equivalent resistance between C & E will be 6 Ω. This can be obtained by doing the following simplification.

$$R_{CE} = 3 + 3 = 6 \Omega$$

Step 3 − The simplified electrical network after Step 2 is shown in the following figure.

In the above network, the resistors 6 Ω and 12 Ω are connected in parallel. So, the equivalent resistance between C & B will be 4 Ω. This can be obtained by doing the following simplification.

$$R_{CB} = \frac{6 \times 12}{6 + 12} = \frac{72}{18} = 4 \Omega$$

Step 4 − The simplified electrical network after Step 3 is shown in the following figure.

In the above network, the resistors 2 Ω and 4 Ω are connected in series between the terminals A & B. So, the equivalent resistance between A & B will be 6 Ω. This can be obtained by doing the following simplification.

$$R_{AB} = 2 + 4 = 6 \Omega$$

Therefore, the equivalent resistance between terminals A & B of the given electrical network is 6 Ω.

In the previous chapter, we discussed an example problem related equivalent resistance. There, we calculated the equivalent resistance between the terminals A & B of the given electrical network easily. Because, in every step, we got the combination of resistors that are connected in either series form or parallel form.

However, in some situations, it is difficult to simplify the network by following the previous approach. For example, the resistors connected in either delta (δ) form or star form. In such situations, we have to convert the network of one form to the other in order to simplify it further by using series combination or parallel combination. In this chapter, let us discuss about the Delta to Star Conversion.

Delta Network

Consider the following delta network as shown in the following figure.

The following equations represent the equivalent resistance between two terminals of delta network, when the third terminal is kept open.

$$R_{AB} = \frac{(R_1 + R_3)R_2}{R_1 + R_2 + R_3}$$

$$R_{BC} = \frac{(R_1 + R_2)R_3}{R_1 + R_2 + R_3}$$

$$R_{CA} = \frac{(R_2 + R_3)R_1}{R_1 + R_2 + R_3}$$

Yıldız Ağı

Aşağıdaki şekil, equivalent star network yukarıdaki delta ağına karşılık gelir.

Aşağıdaki denklemler, equivalent resistance üçüncü terminal açık tutulduğunda yıldız ağının iki terminali arasında.

$$R_{AB} = R_A + R_B$$

$$R_{BC} = R_B + R_C$$

$$R_{CA} = R_C + R_A$$

Delta Ağ Dirençleri Açısından Yıldız Ağ Dirençleri

Sol taraftaki terimlerin aynı olduğu yukarıdaki denklemlerin sağ taraftaki terimlerini eşitleyerek aşağıdaki denklemleri elde edeceğiz.

$R_A + R_B = \frac{(R_1 + R_3)R_2}{R_1 + R_2 + R_3}$ Equation 1

$R_B + R_C = \frac{(R_1 + R_2)R_3}{R_1 + R_2 + R_3}$ Equation 2

$R_C + R_A = \frac{(R_2 + R_3)R_1}{R_1 + R_2 + R_3}$ Equation 3

Yukarıdaki üç denklemi ekleyerek elde edeceğiz

$$2(R_A + R_B + R_C) = \frac{2(R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1)}{R_1 + R_2 + R_3}$$

$\Rightarrow R_A + R_B + R_C = \frac{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1}{R_1 + R_2 + R_3}$ Equation 4

Denklem 2'yi Denklem 4'ten çıkarın.

$R_A + R_B + R_C - (R_B + R_C) = \frac{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1}{R_1 + R_2 + R_3} - \frac{(R_1 + R_2)R_3}{R_1 + R_2 + R_3}$

$$R_A = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2 + R_3}$$

Denklem 3'ü Denklem 4'ten çıkararak şunu elde ederiz:

$$R_B = \frac{R_2 R_3}{R_1 + R_2 + R_3}$$

Denklem 1'i Denklem 4'ten çıkararak şunu elde ederiz:

$$R_C = \frac{R_3 R_1}{R_1 + R_2 + R_3}$$

Yukarıdaki ilişkileri kullanarak, yıldız ağının dirençlerini delta ağının direncinden bulabiliriz. Bu şekilde, birdelta network içine star network.

Misal

Hesaplayalım resistances of star network, aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi delta ağına eşdeğerdir.

Verilen resistances of delta networkolarak R, ₁ = 10 Q, R ₂ = 60 Ω ve R ' ₃ = 30 Ω.

Yıldız ağının direnişlerinin delta ağının dirençleri açısından aşağıdaki ilişkilerini biliyoruz.

$$R_A = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2 + R_3}$$

$$R_B = \frac{R_2 R_3}{R_1 + R_2 + R_3}$$

$$R_C = \frac{R_3 R_1}{R_1 + R_2 + R_3}$$

Yukarıdaki denklemlerde R ₁ , R ₂ ve R ₃ değerlerini değiştirin .

$$R_A = \frac{10 \times 60}{10 +60+30} = \frac{600}{100} = 6\Omega$$

$$R_B = \frac{60 \times 30}{10 +60+30} = \frac{1800}{100} = 18\Omega$$

$$R_C = \frac{30 \times 10}{10 +60+30} = \frac{300}{100} = 3\Omega$$

Böylece, yıldız ağının dirençlerini aldık. R_A = 6 Ω, R_B = 18 Ω ve R_C = 3 Ω, verilen delta ağının dirençlerine eşdeğerdir.

Önceki bölümde, delta ağının eşdeğer bir yıldız ağına dönüştürülmesinden bahsetmiştik. Şimdi, yıldız ağının eşdeğer bir delta ağına dönüştürülmesinden bahsedelim. Bu dönüşümeStar to Delta Conversion.

Önceki bölümde, biz var resistances of star network delta ağından

$R_A = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2 + R_3}$ Equation 1

$R_B = \frac{R_2 R_3}{R_1 + R_2 + R_3}$ Equation 2

$R_C = \frac{R_3 R_1}{R_1 + R_2 + R_3}$ Equation 3

Yıldız Ağı Dirençleri Açısından Delta Ağ Dirençleri

Yıldız ağının dirençleri cinsinden delta ağının dirençlerini elde etmek için yukarıdaki denklemleri değiştirelim.

• Multiply her iki denklem seti ve sonra add.

$$R_A R_B + R_B R_C + R_C R_A = \frac{R_1 R_2^2 R_3 + R_2 R_3^2 R_1 + R_3 R_1^2 R_2}{(R_1 + R_2 + R_3)^2}$$

$$\Rightarrow R_A R_B + R_B R_C + R_C R_A = \frac{R_1 R_2 R_3(R_1 + R_2 + R_3)}{(R_1 + R_2 + R_3)^2}$$

$\Rightarrow R_A R_B + R_B R_C + R_C R_A = \frac{R_1 R_2 R_3}{R_1 + R_2 + R_3}$ Equation 4

• Denklem 4'ü Denklem 2'ye bölerek,

$$\frac{R_A R_B + R_B R_C + R_C R_A}{R_B} = R_1$$

$$\Rightarrow R_1 = R_C + R_A + \frac{R_C R_A}{R_B}$$

• Denklem 4'ü Denklem 3'e bölerek,

$$R_2 = R_A + R_B + \frac{R_A R_B}{R_C}$$

• Denklem 4'ü Denklem 1'e bölerek,

$$R_3 = R_B + R_C + \frac{R_B R_C}{R_A}$$

Yukarıdaki ilişkileri kullanarak, yıldız ağının direnişlerinden delta ağının dirençlerini bulabiliriz. Bu şekilde dönüştürebilirizstar network into delta network.

Misal

Hesaplayalım resistances of delta network, aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi yıldız ağına eşdeğerdir.

Verilen resistances of star networkolarak R _bir = 6 Ω, R, _B = 18 Ω ve R, _Cı- = 3 Ω .

Aşağıdaki ilişkilerini biliyoruz resistances of delta network yıldız ağının dirençleri açısından.

$$R_1 = R_C + R_A + \frac{R_C R_A}{R_B}$$

$$R_2 = R_A + R_B + \frac{R_A R_B}{R_C}$$

$$R_3 = R_B + R_C + \frac{R_B R_C}{R_A}$$

Yukarıdaki denklemlerde R _A , R _B ve R _C değerlerini değiştirin .

$$R_1 = 3 + 6 + \frac{3 \times 6}{18} = 9 + 1 = 10 \Omega$$

$$R_2 = 6 + 18 + \frac{6 \times 18}{3} = 24 + 36 = 60 \Omega$$

$$R_3 = 18 + 3 + \frac{18 \times 3}{6} = 21 + 9 = 30 \Omega$$

Böylece, delta ağının dirençlerini aldık. R₁ = 10 Ω, R₂ = 60 Ω ve R₃ = 30 Ω, verilen yıldız ağının dirençlerine eşdeğerdir.

Ağ topolojisi, elektrik devrelerinin grafiksel bir temsilidir. Karmaşık elektrik devrelerini ağ grafiklerine dönüştürerek analiz etmek için kullanışlıdır. Ağ topolojisi aynı zamandaGraph theory.

Ağ Topolojisinin Temel Terminolojisi

Şimdi, bu ağ topolojisinde yer alan temel terminolojiyi tartışalım.

Grafik

Ağ grafiğine kısaca graph. Dallarla birbirine bağlanan bir dizi düğümden oluşur. Grafiklerde bir düğüm, iki veya daha fazla dalın ortak noktasıdır. Bazen, düğüme yalnızca tek bir dal bağlanabilir. Dal, iki düğümü birbirine bağlayan bir çizgi parçasıdır.

Herhangi bir elektrik devresi veya ağ, eşdeğerine dönüştürülebilir graphpasif elemanların ve gerilim kaynaklarının kısa devrelerle ve akım kaynaklarının açık devrelerle değiştirilmesiyle. Bu, grafikteki çizgi bölümlerinin, elektrik devresinin pasif elemanlarına veya voltaj kaynaklarına karşılık gelen dalları temsil ettiği anlamına gelir.

Misal

Aşağıdakileri düşünelim electric circuit.

Yukarıdaki devrede, var four principal nodes ve bunlar 1, 2, 3 ve 4 ile etiketlenmiştir. seven branches Aralarında bir dalın 20 V'luk bir voltaj kaynağı içerdiği yukarıdaki devrede, başka bir dal 4 A'lık bir akım kaynağı içerir ve kalan beş dal, sırasıyla 30 Ω, 5 Ω, 10 Ω, 10 Ω ve 20 dirençlere sahip dirençler içerir.

Eşdeğer graph Yukarıdaki elektrik devresine karşılık gelen aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

Yukarıdaki grafikte var four nodesve bunlar sırasıyla 1, 2, 3 ve 4 ile etiketlenmiştir. Bunlar, elektrik devresindeki ana düğümlerinki ile aynıdır. Varsix branches Yukarıdaki grafikte ve bunlar sırasıyla a, b, c, d, e & f ile etiketlenmiştir.

Bu durumda biz var one branch less Grafikte 4 A akım kaynağı elektrik devresini eşdeğer grafiğine dönüştürürken açık devre olarak yapıldığı için.

Bu Örnekten şu noktalara varabiliriz -

• number of nodes bir grafikte bulunanlar, bir elektrik devresinde bulunan ana düğümlerin sayısına eşit olacaktır.

• number of branches bir grafikte mevcut olan, bir elektrik devresinde bulunan dalların sayısından daha az veya ona eşit olacaktır.

Grafik Türleri

Aşağıda grafik türleri verilmiştir -

• Bağlı Grafik
• Bağlantısız Grafik
• Yönlendirilmiş grafik
• Yönlendirilmemiş Grafik

Şimdi bu grafikleri tek tek tartışalım.

Bağlı Grafik

Bir grafiğin iki düğümünden herhangi biri arasında en az bir dal varsa, buna bir connected graph. Bu, bağlı grafikteki her düğümün kendisine bağlı bir veya daha fazla dala sahip olacağı anlamına gelir. Dolayısıyla, hiçbir düğüm izole veya ayrılmış olarak görünmeyecektir.

Önceki Örnekte gösterilen grafik bir connected graph. Burada tüm düğümler üç kolla birbirine bağlıdır.

Bağlantısız Grafik

Grafikte tek bir dalla bile bağlantısız kalan en az bir düğüm varsa, buna bir unconnected graph. Dolayısıyla, bağlantısız bir grafikte bir veya daha fazla izole düğüm olacaktır.

Aşağıdaki şekilde gösterilen grafiği düşünün.

Bu grafikte, 2, 3 ve 4 nolu düğümlerin her biri iki kol ile bağlanmıştır. Ancak, tek bir şube bile bağlı değilnode 1. Böylece, düğüm 1 birisolated node. Dolayısıyla, yukarıdaki grafik birunconnected graph.

Yönlendirilmiş grafik

Bir grafiğin tüm dalları oklarla temsil ediliyorsa, o grafiğe bir directed graph. Bu oklar, her daldaki akım akışının yönünü gösterir. Bu nedenle, bu grafik aynı zamandaoriented graph.

Aşağıdaki şekilde gösterilen grafiği düşünün.

Yukarıdaki grafikte, akım akışının yönü her dalda bir okla temsil edilmektedir. Bu nedenle, bu birdirected graph.

Yönlendirilmemiş Grafik

Bir grafiğin dalları oklarla temsil edilmiyorsa, o grafiğe bir undirected graph. Akım akışının yönü olmadığından, bu grafiğe aynı zamandaunoriented graph.

Bu bölümün ilk Örnekte gösterilen grafik bir unoriented graph, çünkü bu grafiğin dallarında oklar yoktur.

Altgraf ve Türleri

Grafiğin bir parçası olarak adlandırılır subgraph. Belirli bir grafiğin bazı düğümlerini ve / veya dallarını kaldırarak alt grafikler elde ederiz. Dolayısıyla, bir alt grafiğin dallarının ve / veya düğümlerinin sayısı, orijinal grafiğinkinden daha az olacaktır. Bu nedenle, bir alt grafiğin bir grafiğin bir alt kümesi olduğu sonucuna varabiliriz.

Aşağıdakiler two types alt grafikler.

• Tree
• Co-Tree

Ağaç

Ağaç, bir grafiğin tüm düğümlerini içeren, belirli bir grafiğin bağlantılı bir alt grafiğidir. Ancak, bu alt grafikte herhangi bir döngü olmamalıdır. Bir ağacın dallarınatwigs.

Aşağıdakileri göz önünde bulundur connected subgraph Bu bölümün başındaki Örnekte gösterilen grafiğin

Bu bağlı alt grafik, verilen grafiğin dört düğümünü de içerir ve döngü yoktur. Bu nedenle, bu birTree.

Bu Ağaç, verilen grafiğin altı dalından yalnızca üçüne sahiptir. Çünkü, grafiğin kalan dallarının tek bir dalını bile düşünürsek, o zaman yukarıdaki bağlı alt grafikte bir döngü olacaktır. Ardından, sonuçta ortaya çıkan bağlı alt grafik bir Ağaç olmayacaktır.

Yukarıdaki Ağaçtan şu sonuca varabiliriz: number of branches Ağaçta bulunanlar şuna eşit olmalıdır: n - 1 burada 'n' verilen grafiğin düğüm sayısıdır.

Ortak Ağaç

Co-Tree, bir Ağaç oluştururken çıkarılan dallarla oluşturulan bir alt grafiktir. Bu nedenle denirComplementBir Ağacın. Her Ağaç için karşılık gelen bir Ortak Ağaç olacaktır ve dalları şu şekilde adlandırılır:linksveya akorlar. Genel olarak, bağlantılar noktalı çizgilerle temsil edilir.

Co-Tree Yukarıdaki Ağaca karşılık gelen aşağıdaki şekilde gösterilmektedir.

Bu Ortak Ağaç, verilen grafiğin dört düğümü yerine yalnızca üç düğüme sahiptir, çünkü Düğüm 4, yukarıdaki Ortak Ağaçtan izole edilmiştir. Bu nedenle, Ortak Ağacın bağlantılı bir alt grafik olması gerekmez. Bu Ortak Ağacın üç dalı vardır ve bir döngü oluştururlar.

number of branchesbir ortak ağaçta bulunanlar, belirli bir grafiğin dal sayısı ile dal sayısı arasındaki farka eşit olacaktır. Matematiksel olarak şu şekilde yazılabilir:

$$l = b - (n - 1)$$

$$l = b - n + 1$$

Nerede,

• l bağlantıların sayısıdır.
• b belirli bir grafikte bulunan dalların sayısıdır.
• n belirli bir grafikte bulunan düğümlerin sayısıdır.

Bir Ağacı ve ona karşılık gelen Ortak Ağacı birleştirirsek, o zaman original graph Aşağıda gösterildiği gibi.

Ağaç dalları d, e ve f düz çizgilerle temsil edilir. Co-Tree dalları a, b ve c kesikli çizgilerle temsil edilir.

Önceki bölümde, bir elektrik devresinin nasıl eşdeğer bir grafiğe dönüştürüleceğini tartışmıştık. Şimdi, herhangi bir elektrik devresi veya ağ problemini eşdeğer grafiklerini kullanarak çözmek için yararlı olan Ağ Topolojisi Matrislerini tartışalım.

Ağ Grafikleriyle İlişkili Matrisler

Grafik teorisinde kullanılan üç matris aşağıdadır.

• Sıklık Matrisi
• Temel Döngü Matrisi
• Temel Kesim seti Matrisi

Sıklık Matrisi

Bir Olay Matrisi, belirli bir elektrik devresinin veya ağın grafiğini temsil eder. Dolayısıyla, aynı elektrik devresinin veya ağın grafiğini,incidence matrix.

Grafiğin bir dizi düğümden oluştuğunu ve bunların bazı dallarla birbirine bağlı olduğunu biliyoruz. Yani dalların bir düğüme bağlanmasına olay denir. İnsidans matrisi A harfi ile temsil edilir. Aynı zamanda insidans matrisine dallanma düğümleri veyanode incidence matrix.

Eğer 'n' düğümleri varsa ve 'b' dalları bir directed graph, bu durumda insidans matrisinin 'n' satırı ve 'b' sütunu olacaktır. Burada satırlar ve sütunlar, yönlendirilmiş bir grafiğin düğümlerine ve dallarına karşılık gelir. Bu nedenle,order insidans matrisi olacak n × b.

elements of incidence matrix +1, -1 ve 0 olmak üzere şu üç değerden birine sahip olacaktır.

• Dal akımı seçilen bir düğümden ayrılıyorsa, elemanın değeri +1 olacaktır.

• Dal akımı seçilen bir düğüme doğru giriyorsa, elemanın değeri -1 olacaktır.

• Dal akımı ne seçilen bir düğüme girerse ne de seçilen bir düğümden çıkarsa, elemanın değeri 0 olacaktır.

İnsidans Matrisini bulma prosedürü

Yönlendirilmiş grafiğin insidans matrisini bulmak için bu adımları izleyin.

• Verilen yönlendirilmiş grafiğin bir zamanında bir düğüm seçin ve bu düğüme karşılık gelen olay matrisinin öğelerinin değerlerini arka arkaya doldurun.

• Verilen yönlendirilmiş grafiğin tüm düğümleri için yukarıdaki adımı tekrarlayın.

Misal

Aşağıdakileri göz önünde bulundur directed graph.

incidence matrix yukarıdaki grafiğe karşılık gelen

$$A = \begin{bmatrix}-1 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0\\0 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0\\1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0 & 1 & -1 & -1 \end{bmatrix}$$

Yukarıdaki matrisin satırları ve sütunları, verilen yönlendirilmiş grafiğin düğümlerini ve dallarını temsil eder. Bu insidans matrisinin sırası 4 × 6'dır.

Yukarıdaki insidans matrisini gözlemleyerek, şu sonuca varabiliriz: summationİnsidans matrisinin sütun elemanlarının sayısı sıfıra eşittir. Bu, dal akımının bir düğümden ayrıldığı ve yalnızca başka bir tek düğüme girdiği anlamına gelir.

Note- Verilen grafik yönlendirilmemiş bir türse, her dalındaki okları temsil ederek onu yönlendirilmiş grafiğe dönüştürün. Her daldaki gelişigüzel akım yönünü düşünebiliriz.

Temel Döngü Matrisi

Temel döngü veya f-loopyalnızca bir bağlantı ve bir veya daha fazla dal içeren bir döngüdür. Dolayısıyla, f-döngülerinin sayısı bağlantıların sayısına eşit olacaktır. Temel döngü matrisi B harfi ile temsil edilir.fundamental circuit matrixve Tie-set matrisi. Bu matris, dal akımları ile bağlantı akımları arasındaki ilişkiyi verir.

Eğer 'n' düğümleri varsa ve 'b' dalları bir directed graph, bu durumda bir ortak ağaçta bulunan ve verilen grafiğin seçilen ağacına karşılık gelen bağlantıların sayısı b-n + 1 olacaktır.

Dolayısıyla, temel döngü matrisi 'b-n + 1' satırlarına ve 'b' sütunlarına sahip olacaktır. Burada satırlar ve sütunlar, ortak ağacın ve verilen grafiğin dallarının bağlantılarına karşılık gelir. Bu nedenle, temel döngü matrisinin sırası(b - n + 1) × b.

elements of fundamental loop matrix +1, -1 ve 0 olmak üzere şu üç değerden birine sahip olacaktır.

• Seçili f-döngüsünün bağlantısı için öğenin değeri +1 olacaktır.

• Öğelerin değeri, seçilen f döngüsünün parçası olmayan kalan bağlantılar ve dallar için 0 olacaktır.

• Seçilen f-döngüsünün dal akımının yönü, f-döngüsünün bağlantı akımınınki ile aynıysa, elemanın değeri +1 olacaktır.

• Seçilen f-döngüsünün dal akımının yönü, f-döngüsünün bağlantı akımınınkinin tersi ise, elemanın değeri -1 olacaktır.

Temel Döngü Matrisini Bulma Prosedürü

Verilen yönlendirilmiş grafiğin temel döngü matrisini bulmak için bu adımları izleyin.

• Verilen yönlendirilmiş grafiğin bir ağacını seçin.

• Her seferinde bir bağlantı ekleyerek, bir f döngüsü elde edeceğiz. Bu f-döngüsüne karşılık gelen elemanların değerlerini bir temel döngü matrisi satırında doldurun.

• Repeat the above step for all links.

Example

Take a look at the following Tree of directed graph, which is considered for incidence matrix.

The above Tree contains three branches d, e & f. Hence, the branches a, b & c will be the links of the Co-Tree corresponding to the above Tree. By including one link at a time to the above Tree, we will get one f-loop. So, there will be three f-loops, since there are three links. These three f-loops are shown in the following figure.

In the above figure, the branches, which are represented with colored lines form f-loops. We will get the row wise element values of Tie-set matrix from each f-loop. So, the Tieset matrix of the above considered Tree will be

$$B = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & -1 & 0 & -1\\0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 1 \end{bmatrix}$$

The rows and columns of the above matrix represents the links and branches of given directed graph. The order of this incidence matrix is 3 × 6.

The number of Fundamental loop matrices of a directed graph will be equal to the number of Trees of that directed graph. Because, every Tree will be having one Fundamental loop matrix.

Fundamental Cut-set Matrix

Fundamental cut set or f-cut set is the minimum number of branches that are removed from a graph in such a way that the original graph will become two isolated subgraphs. The f-cut set contains only one twig and one or more links. So, the number of f-cut sets will be equal to the number of twigs.

Fundamental cut set matrix is represented with letter C. This matrix gives the relation between branch voltages and twig voltages.

If there are ‘n’ nodes and ‘b’ branches are present in a directed graph, then the number of twigs present in a selected Tree of given graph will be n-1. So, the fundamental cut set matrix will have ‘n-1’ rows and ‘b’ columns. Here, rows and columns are corresponding to the twigs of selected tree and branches of given graph. Hence, the order of fundamental cut set matrix will be (n-1) × b.

The elements of fundamental cut set matrix will be having one of these three values, +1, -1 and 0.

• The value of element will be +1 for the twig of selected f-cutset.

• The value of elements will be 0 for the remaining twigs and links, which are not part of the selected f-cutset.

• If the direction of link current of selected f-cut set is same as that of f-cutset twig current, then the value of element will be +1.

• If the direction of link current of selected f-cut set is opposite to that of f-cutset twig current, then the value of element will be -1.

Procedure to find Fundamental Cut-set Matrix

Follow these steps in order to find the fundamental cut set matrix of given directed graph.

• Select a Tree of given directed graph and represent the links with the dotted lines.

• By removing one twig and necessary links at a time, we will get one f-cut set. Fill the values of elements corresponding to this f-cut set in a row of fundamental cut set matrix.

• Repeat the above step for all twigs.

Example

Consider the same directed graph , which we discussed in the section of incidence matrix. Select the branches d, e & f of this directed graph as twigs. So, the remaining branches a, b & c of this directed graph will be the links.

The twigs d, e & f are represented with solid lines and links a, b & c are represented with dotted lines in the following figure.

By removing one twig and necessary links at a time, we will get one f-cut set. So, there will be three f-cut sets, since there are three twigs. These three f-cut sets are shown in the following figure.

We will be having three f-cut sets by removing a set of twig and links of C₁, C₂ and C₃. We will get the row wise element values of fundamental cut set matrix from each f-cut set. So, the fundamental cut set matrix of the above considered Tree will be

$$C = \begin{bmatrix}1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0\\1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

The rows and columns of the above matrix represents the twigs and branches of given directed graph. The order of this fundamental cut set matrix is 3 × 6.

The number of Fundamental cut set matrices of a directed graph will be equal to the number of Trees of that directed graph. Because, every Tree will be having one Fundamental cut set matrix.

Superposition theorem is based on the concept of linearity between the response and excitation of an electrical circuit. It states that the response in a particular branch of a linear circuit when multiple independent sources are acting at the same time is equivalent to the sum of the responses due to each independent source acting at a time.

In this method, we will consider only one independent source at a time. So, we have to eliminate the remaining independent sources from the circuit. We can eliminate the voltage sources by shorting their two terminals and similarly, the current sources by opening their two terminals.

Therefore, we need to find the response in a particular branch ‘n’ times if there are ‘n’ independent sources. The response in a particular branch could be either current flowing through that branch or voltage across that branch.

Procedure of Superposition Theorem

Follow these steps in order to find the response in a particular branch using superposition theorem.

Step 1 − Find the response in a particular branch by considering one independent source and eliminating the remaining independent sources present in the network.

Step 2 − Repeat Step 1 for all independent sources present in the network.

Step 3 − Add all the responses in order to get the overall response in a particular branch when all independent sources are present in the network.

Example

Find the current flowing through 20 Ω resistor of the following circuit using superposition theorem.

Step 1 − Let us find the current flowing through 20 Ω resistor by considering only 20 V voltage source. In this case, we can eliminate the 4 A current source by making open circuit of it. The modified circuit diagram is shown in the following figure.

There is only one principal node except Ground in the above circuit. So, we can use nodal analysis method. The node voltage V₁ is labelled in the following figure. Here, V₁ is the voltage from node 1 with respect to ground.

The nodal equation at node 1 is

$$\frac{V_1 - 20}{5} + \frac{V_1}{10} + \frac{V_1}{10 + 20} = 0$$

$$\Rightarrow \frac{6V_1 - 120 + 3V_1 + V_1}{30} = 0$$

$$\Rightarrow 10V_1 = 120$$

$$\Rightarrow V_1 = 12V$$

The current flowing through 20 Ω resistor can be found by doing the following simplification.

$$I_1 = \frac{V_1}{10 + 20}$$

Substitute the value of V₁ in the above equation.

$$I_1 = \frac{12}{10 + 20} = \frac{12}{30} = 0.4 A$$

Therefore, the current flowing through 20 Ω resistor is 0.4 A, when only 20 V voltage source is considered.

Step 2 − Let us find the current flowing through 20 Ω resistor by considering only 4 A current source. In this case, we can eliminate the 20 V voltage source by making short-circuit of it. The modified circuit diagram is shown in the following figure.

In the above circuit, there are three resistors to the left of terminals A & B. We can replace these resistors with a single equivalent resistor. Here, 5 Ω & 10 Ω resistors are connected in parallel and the entire combination is in series with 10 Ω resistor.

The equivalent resistance to the left of terminals A & B will be

$$R_{AB} = \lgroup \frac{5 \times 10}{5 + 10} \rgroup + 10 = \frac{10}{3} + 10 = \frac{40}{3} \Omega$$

The simplified circuit diagram is shown in the following figure.

We can find the current flowing through 20 Ω resistor, by using current division principle.

$$I_2 = I_S \lgroup \frac{R_1}{R_1 + R_2} \rgroup$$

Substitute $I_S = 4A,\: R_1 = \frac{40}{3} \Omega$ and $R_2 = 20 \Omega$ in the above equation.

$$I_2 = 4 \lgroup \frac{\frac{40}{3}}{\frac{40}{3} + 20} \rgroup = 4 \lgroup \frac{40}{100} \rgroup = 1.6 A$$

Therefore, the current flowing through 20 Ω resistor is 1.6 A, when only 4 A current source is considered.

Step 3 − We will get the current flowing through 20 Ω resistor of the given circuit by doing the addition of two currents that we got in step 1 and step 2. Mathematically, it can be written as

$$I = I_1 + I_2$$

Substitute, the values of I₁ and I₂ in the above equation.

$$I = 0.4 + 1.6 = 2 A$$

Therefore, the current flowing through 20 Ω resistor of given circuit is 2 A.

Note − We can’t apply superposition theorem directly in order to find the amount of power delivered to any resistor that is present in a linear circuit, just by doing the addition of powers delivered to that resistor due to each independent source. Rather, we can calculate either total current flowing through or voltage across that resistor by using superposition theorem and from that, we can calculate the amount of power delivered to that resistor using $I^2 R$ or $\frac{V^2}{R}$.

Thevenin’s theorem states that any two terminal linear network or circuit can be represented with an equivalent network or circuit, which consists of a voltage source in series with a resistor. It is known as Thevenin’s equivalent circuit. A linear circuit may contain independent sources, dependent sources, and resistors.

If the circuit contains multiple independent sources, dependent sources, and resistors, then the response in an element can be easily found by replacing the entire network to the left of that element with a Thevenin’s equivalent circuit.

The response in an element can be the voltage across that element, current flowing through that element, or power dissipated across that element.

This concept is illustrated in following figures.

Thevenin’s equivalent circuit resembles a practical voltage source. Hence, it has a voltage source in series with a resistor.

• The voltage source present in the Thevenin’s equivalent circuit is called as Thevenin’s equivalent voltage or simply Thevenin’s voltage, V_Th.

• The resistor present in the Thevenin’s equivalent circuit is called as Thevenin’s equivalent resistor or simply Thevenin’s resistor, R_Th.

Methods of Finding Thevenin’s Equivalent Circuit

There are three methods for finding a Thevenin’s equivalent circuit. Based on the type of sources that are present in the network, we can choose one of these three methods. Now, let us discuss two methods one by one. We will discuss the third method in the next chapter.

Method 1

Follow these steps in order to find the Thevenin’s equivalent circuit, when only the sources of independent type are present.

• Step 1 − Consider the circuit diagram by opening the terminals with respect to which the Thevenin’s equivalent circuit is to be found.

• Step 2 − Find Thevenin’s voltage V_Th across the open terminals of the above circuit.

• Step 3 − Find Thevenin’s resistance R_Th across the open terminals of the above circuit by eliminating the independent sources present in it.

• Step 4 − Draw the Thevenin’s equivalent circuit by connecting a Thevenin’s voltage V_Th in series with a Thevenin’s resistance R_Th.

Now, we can find the response in an element that lies to the right side of Thevenin’s equivalent circuit.

Example

Find the current flowing through 20 Ω resistor by first finding a Thevenin’s equivalent circuit to the left of terminals A and B.

Step 1 − In order to find the Thevenin’s equivalent circuit to the left side of terminals A & B, we should remove the 20 Ω resistor from the network by opening the terminals A & B. The modified circuit diagram is shown in the following figure.

Step 2 − Calculation of Thevenin’s voltage V_Th.

There is only one principal node except Ground in the above circuit. So, we can use nodal analysis method. The node voltage V₁ and Thevenin’s voltage V_Th are labelled in the above figure. Here, V₁ is the voltage from node 1 with respect to Ground and V_Th is the voltage across 4 A current source.

• The nodal equation at node 1 is

$$\frac{V_1 - 20}{5} + \frac{V_1}{10} - 4 = 0$$

$$\Rightarrow \frac{2V_1 - 40 + V_1 - 40}{10} = 0$$

$$\Rightarrow 3V_1 - 80 = 0$$

$$\Rightarrow V_1 = \frac{80}{3}V$$

• The voltage across series branch 10 Ω resistor is

$$V_{10 \Omega} = (-4)(10) = -40V$$

• There are two meshes in the above circuit. The KVL equation around second mesh is

$$V_1 - V_{10 \Omega} - V_{Th} = 0$$

• Substitute the values of $V_1$ and $V_{10 \Omega}$ in the above equation.

$$\frac{80}{3} - (-40) - V_{Th} = 0$$

$$V_{Th} = \frac{80 + 120}{3} = \frac{200}{3}V$$

• Therefore, the Thevenin’s voltage is $V_{Th} = \frac{200}{3}V$

Step 3 − Calculation of Thevenin’s resistance R_Th.

Short circuit the voltage source and open circuit the current source of the above circuit in order to calculate the Thevenin’s resistance R_Th across the terminals A & B. The modified circuit diagram is shown in the following figure.

The Thevenin’s resistance across terminals A & B will be

$$R_{Th} = \lgroup \frac{5 \times 10}{5 + 10} \rgroup + 10 = \frac{10}{3} + 10 = \frac{40}{3} \Omega$$

Therefore, the Thevenin’s resistance is $\mathbf {R_{Th} = \frac{40}{3} \Omega}$.

Step 4 − The Thevenin’s equivalent circuit is placed to the left of terminals A & B in the given circuit. This circuit diagram is shown in the following figure.

The current flowing through the 20 Ω resistor can be found by substituting the values of V_Th, R_Th and R in the following equation.

$$l = \frac{V_{Th}}{R_{Th} + R}$$

$$l = \frac{\frac{200}{3}}{\frac{40}{3} + 20} = \frac{200}{100} = 2A$$

Therefore, the current flowing through the 20 Ω resistor is 2 A.

Method 2

Follow these steps in order to find the Thevenin’s equivalent circuit, when the sources of both independent type and dependent type are present.

• Step 1 − Consider the circuit diagram by opening the terminals with respect to which, the Thevenin’s equivalent circuit is to be found.

• Step 2 − Find Thevenin’s voltage V_Th across the open terminals of the above circuit.

• Step 3 − Find the short circuit current I_SC by shorting the two opened terminals of the above circuit.

• Step 4 − Find Thevenin’s resistance R_Th by using the following formula.

$$R_{Th} = \frac{V_{Th}}{I_{SC}}$$

Step 5 − Draw the Thevenin’s equivalent circuit by connecting a Thevenin’s voltage V_Th in series with a Thevenin’s resistance R_Th.

Now, we can find the response in an element that lies to the right side of the Thevenin’s equivalent circuit.

Norton’s theorem is similar to Thevenin’s theorem. It states that any two terminal linear network or circuit can be represented with an equivalent network or circuit, which consists of a current source in parallel with a resistor. It is known as Norton’s equivalent circuit. A linear circuit may contain independent sources, dependent sources and resistors.

If a circuit has multiple independent sources, dependent sources, and resistors, then the response in an element can be easily found by replacing the entire network to the left of that element with a Norton’s equivalent circuit.

The response in an element can be the voltage across that element, current flowing through that element or power dissipated across that element.

This concept is illustrated in following figures.

Norton’s equivalent circuit resembles a practical current source. Hence, it is having a current source in parallel with a resistor.

• The current source present in the Norton’s equivalent circuit is called as Norton’s equivalent current or simply Norton’s current I_N.

• The resistor present in the Norton’s equivalent circuit is called as Norton’s equivalent resistor or simply Norton’s resistor R_N.

Methods of Finding Norton’s Equivalent Circuit

There are three methods for finding a Norton’s equivalent circuit. Based on the type of sources that are present in the network, we can choose one of these three methods. Now, let us discuss these three methods one by one.

Method 1

Follow these steps in order to find the Norton’s equivalent circuit, when only the sources of independent type are present.

• Step 1 − Consider the circuit diagram by opening the terminals with respect to which, the Norton’s equivalent circuit is to be found.

• Step 2 − Find the Norton’s current I_N by shorting the two opened terminals of the above circuit.

• Step 3 − Find the Norton’s resistance R_N across the open terminals of the circuit considered in Step1 by eliminating the independent sources present in it. Norton’s resistance R_N will be same as that of Thevenin’s resistance R_Th.

• Step 4 − Draw the Norton’s equivalent circuit by connecting a Norton’s current IN in parallel with Norton’s resistance R_N.

Now, we can find the response in an element that lies to the right side of Norton’s equivalent circuit.

Method 2

Follow these steps in order to find the Norton’s equivalent circuit, when the sources of both independent type and dependent type are present.

• Step 1 − Consider the circuit diagram by opening the terminals with respect to which the Norton’s equivalent circuit is to be found.

• Step 2 − Find the open circuit voltage V_OC across the open terminals of the above circuit.

• Step 3 − Find the Norton’s current I_N by shorting the two opened terminals of the above circuit.

• Step 4 − Find Norton’s resistance R_N by using the following formula.

$$R_N = \frac{V_{OC}}{I_N}$$

• Step 5 − Draw the Norton’s equivalent circuit by connecting a Norton’s current I_N in parallel with Norton’s resistance R_N.

Now, we can find the response in an element that lies to the right side of Norton’s equivalent circuit.

Method 3

This is an alternate method for finding a Norton’s equivalent circuit.

• Step 1 − Find a Thevenin’s equivalent circuit between the desired two terminals. We know that it consists of a Thevenin’s voltage source, V_Th and Thevenin’s resistor, R_Th.

• Step 2 − Apply source transformation technique to the above Thevenin’s equivalent circuit. We will get the Norton’s equivalent circuit. Here,

Norton’s current,

$$I_N = \frac{V_{Th}}{R_{Th}}$$

Norton’s resistance,

$$R_N = R_{Th}$$

This concept is illustrated in the following figure.

Now, we can find the response in an element by placing Norton’s equivalent circuit to the left of that element.

Note − Similarly, we can find the Thevenin’s equivalent circuit by finding a Norton’s equivalent circuit first and then apply source transformation technique to it. This concept is illustrated in the following figure.

This is the Method 3 for finding a Thevenin’s equivalent circuit.

Example

Find the current flowing through 20 Ω resistor by first finding a Norton’s equivalent circuit to the left of terminals A and B.

Let us solve this problem using Method 3.

Step 1 − In previous chapter, we calculated the Thevenin’s equivalent circuit to the left side of terminals A & B. We can use this circuit now. It is shown in the following figure.

Here, Thevenin’s voltage, $V_{Th} = \frac{200}{3} V$ and Thevenin’s resistance, $R_{Th} = \frac{40}{3} \Omega$

Step 2 − Apply source transformation technique to the above Thevenin’s equivalent circuit. Substitute the values of V_Th and R_Th in the following formula of Norton’s current.

$$I_N = \frac{V_{Th}}{R_{Th}}$$

$$I_N = \frac{\frac{200}{3}}{\frac{40}{3}} = 5A$$

Therefore, Norton’s current I_N is 5 A.

We know that Norton’s resistance, R_N is same as that of Thevenin’s resistance R_Th.

$$\mathbf {R_N = \frac{40}{3} \Omega}$$

The Norton’s equivalent circuit corresponding to the above Thevenin’s equivalent circuit is shown in the following figure.

Now, place the Norton’s equivalent circuit to the left of the terminals A & B of the given circuit.

By using current division principle, the current flowing through the 20 Ω resistor will be

$$I_{20 \Omega} = 5 \lgroup \frac{\frac{40}{3}}{\frac{40}{3} + 20} \rgroup$$

$$I_{20 \Omega} = 5 \lgroup \frac{40}{100} \rgroup = 2A$$

Therefore, the current flowing through the 20 Ω resistor is 2 A.

The amount of power received by a load is an important parameter in electrical and electronic applications. In DC circuits, we can represent the load with a resistor having resistance of R_L ohms. Similarly, in AC circuits, we can represent it with a complex load having an impedance of Z_L ohms.

Maximum power transfer theorem states that the DC voltage source will deliver maximum power to the variable load resistor only when the load resistance is equal to the source resistance.

Similarly, Maximum power transfer theorem states that the AC voltage source will deliver maximum power to the variable complex load only when the load impedance is equal to the complex conjugate of source impedance.

In this chapter, let us discuss about the maximum power transfer theorem for DC circuits.

Proof of Maximum Power Transfer Theorem

Replace any two terminal linear network or circuit to the left side of variable load resistor having resistance of R_L ohms with a Thevenin’s equivalent circuit. We know that Thevenin’s equivalent circuit resembles a practical voltage source.

This concept is illustrated in following figures.

The amount of power dissipated across the load resistor is

$$P_L = I^2 R_L$$

Substitute $I = \frac{V_{Th}}{R_{Th} + R_L}$ in the above equation.

$$P_L = \lgroup \frac{V_{Th}}{(R_{Th} + R_L)} \rgroup ^2 R_L$$

$\Rightarrow P_L = {V_{Th}}^2 \lbrace \frac{R_L}{(R_{Th} + R_L)^2} \rbrace$ Equation 1

Condition for Maximum Power Transfer

For maximum or minimum, first derivative will be zero. So, differentiate Equation 1 with respect to R_L and make it equal to zero.

$$\frac{dP_L}{dR_L} = {V_{Th}}^2 \lbrace \frac{(R_{Th} + R_L)^2 \times 1 - R_L \times 2(R_{Th} + R_L)}{(R_{Th} + R_L)^4} \rbrace = 0$$

$$\Rightarrow (R_{Th} + R_L)^2 -2R_L(R_{Th} + R_L) = 0$$

$$\Rightarrow (R_{Th} + R_L)(R_{Th} + R_L - 2R_L) = 0$$

$$\Rightarrow (R_{Th} - R_L) = 0$$

$$\Rightarrow R_{Th} = R_L\:or\:R_L = R_{Th}$$

Therefore, the condition for maximum power dissipation across the load is $R_L = R_{Th}$. That means, if the value of load resistance is equal to the value of source resistance i.e., Thevenin’s resistance, then the power dissipated across the load will be of maximum value.

The value of Maximum Power Transfer

Substitute $R_L = R_{Th}\:\&\:P_L = P_{L, Max}$ in Equation 1.

$$P_{L, Max} = {V_{Th}}^2 \lbrace \frac{R_{Th}}{(R_{Th} + R_{Th})^2} \rbrace$$

$$P_{L, Max} = {V_{Th}}^2 \lbrace \frac{R_{Th}}{4 {R_{Th}}^2} \rbrace$$

$$\Rightarrow P_{L, Max} = \frac{{V_{Th}}^2}{4 R_{Th}}$$

$$\Rightarrow P_{L, Max} = \frac{{V_{Th}}^2}{4 R_{L}}, \: since \: R_{L} = R_{Th}$$

Therefore, the maximum amount of power transferred to the load is

$$P_{L, Max} = \frac{{V_{Th}}^2}{4R_{L}} = \frac{{V_{Th}}^2}{4R_{Th}}$$

Efficiency of Maximum Power Transfer

We can calculate the efficiency of maximum power transfer, $\eta_{Max}$ using following formula.

$\eta_{Max} = \frac{P_{L, Max}}{P_S}$ Equation 2

Where,

• $P_{L, Max}$ is the maximum amount of power transferred to the load.

• $P_S$ is the amount of power generated by the source.

The amount of power generated by the source is

$$P_S = I^2 R_{Th} + I^2 R_L$$

$$\Rightarrow P_S = 2 I^2 R_{Th},\:since\:R_{L} = R_{Th}$$

• Substitute $I = \frac{V_{Th}}{2 R_{Th}}$ in the above equation.

$$P_S = 2\lgroup \frac{V_{Th}}{2 R_{Th}} \rgroup ^2 R_{Th}$$

$$\Rightarrow P_S = 2\lgroup \frac{{V_{Th}}^2}{4 {R_{Th}}^2} \rgroup R_{Th}$$

$$\Rightarrow P_S = \frac{{V_{Th}}^2}{2 R_{Th}}$$

• Substitute the values of $P_{L, Max}$ and $P_S$ in Equation 2.

$$\eta_{Max} = \frac{\lgroup \frac{{V_{Th}}^2}{4R_{Th}} \rgroup}{\lgroup \frac{{V_{Th}}^2}{2R_{Th}}\rgroup}$$

$$\Rightarrow \eta_{Max} = \frac{1}{2}$$

We can represent the efficiency of maximum power transfer in terms of percentage as follows −

$$\% \eta_{Max} = \eta_{Max} \times 100\%$$

$$\Rightarrow \% \eta_{Max} = \lgroup \frac{1}{2} \rgroup \times 100\%$$

$$\Rightarrow \% \eta_{Max} = 50\%$$

Therefore, the efficiency of maximum power transfer is 50 %.

Example

Find the maximum power that can be delivered to the load resistor R_L of the circuit shown in the following figure.

Step 1 − In Thevenin’s Theorem chapter, we calculated the Thevenin’s equivalent circuit to the left side of terminals A & B. We can use this circuit now. It is shown in the following figure.

Here, Thevenin’s voltage $V_{Th} = \frac{200}{3}V$ and Thevenin’s resistance $R_{Th} = \frac{40}{3} \Omega$

Step 2 − Replace the part of the circuit, which is left side of terminals A & B of the given circuit with the above Thevenin’s equivalent circuit. The resultant circuit diagram is shown in the following figure.

Step 3- Yük direncine verilecek maksimum gücü, R _L aşağıdaki formülü kullanarak bulabiliriz.

$$P_{L, Max} = \frac{{V_{Th}}^2}{4 R_{Th}}$$

Vekil $V_{Th} = \frac{200}{3}V$ ve $R_{Th} = \frac{40}{3} \Omega$ yukarıdaki formülde.

$$P_{L, Max} = \frac{\lgroup \frac{200}{3} \rgroup ^ 2}{4 \lgroup \frac{40}{3}\rgroup } $$

$$P_{L, Max} = \frac{250}{3} W$$

bu yüzden maximum power verilen devrenin RL yük direncine teslim edilecek olan $\mathbf {\frac{250}{3}}$ W

Bir giriş için bir elektrik devresinin çıkışı zamana göre değişiklik gösteriyorsa, o zaman time response. Zaman cevabı aşağıdaki iki bölümden oluşur.

• Geçici tepki
• Kararlı durum tepkisi

Bu bölümde, önce bu iki yanıtı tartışalım ve ardından bir DC voltaj kaynağı tarafından uyarıldığında bir seri RL devresindeki bu iki yanıtı gözlemleyelim.

Geçici tepki

Bir elektrik devresine bir giriş uyguladıktan sonra, çıkışın kararlı duruma ulaşması belirli bir zaman alır. Böylece, sabit bir duruma geçene kadar çıkış geçici durumda olacaktır. Bu nedenle, geçici durum sırasında elektrik devresinin tepkisi olarak bilinir.transient response.

Büyük 't' değerleri için geçici yanıt sıfır olacaktır. İdeal olarak, bu 't' değeri sonsuz olmalıdır. Ama pratik olarakfive time constants yeterlidir.

Geçici Akımların Varlığı veya Yokluğu

Yanıtta geçici olaylar meydana gelir: sudden changeelektrik devresine uygulanan kaynaklarda ve / veya anahtarlama eylemi nedeniyle. İki olası anahtarlama eylemi vardır. Bunlar açma anahtarı ve kapama anahtarıdır.

• transient Bölüm olacak not presentsadece dirençler içeriyorsa, bir elektrik devresinin veya ağın cevabında. Çünküresistor herhangi bir miktarda voltaj ve akımı ayarlayabilme yeteneğine sahiptir.

• transient part occurs gibi enerji depolayan elemanların varlığı nedeniyle bir elektrik devresinin veya ağın tepkisinde inductor and capacitor. Çünkü bu elementlerde depolanan enerjiyi anında değiştiremezler.

İndüktör Davranışı

Anahtarlama eyleminin t = 0'da gerçekleştiğini varsayın .Inductor currentanahtarlama eylemi gerçekleştiğinde anında değişmez. Bu, anahtarlama eyleminden hemen sonraki indüktör akımının değerinin, anahtarlama eyleminden hemen öncekiyle aynı olacağı anlamına gelir.

Matematiksel olarak şu şekilde temsil edilebilir:

$$i_L (0^+) = i_L (0^-)$$

Kondansatör Davranışı

capacitor voltageanahtarlama eylemi gerçekleştiğinde, indüktör akımına benzer şekilde anında değişmez. Bu, anahtarlama eyleminden hemen sonraki kapasitör voltajının değerinin, anahtarlama eyleminden hemen öncekiyle aynı olacağı anlamına gelir.

Matematiksel olarak şu şekilde temsil edilebilir:

$$v_c (0^+) = v_c (0^-)$$

Kararlı durum tepkisi

Büyük 't' değerleri için geçici yanıt sıfır değer olduktan sonra bile kalan zaman yanıtının parçası olarak bilinir steady state response. Bu, kararlı durum sırasında yanıtta herhangi bir geçici bölüm olmayacağı anlamına gelir.

İndüktör Davranışı

Bağımsız kaynak, uzun bir süre boyunca bir veya daha fazla indüktöre ve dirence (isteğe bağlı) sahip elektrik devresine veya ağa bağlanırsa, bu elektrik devresinin veya ağın sabit durumda olduğu söylenir. Bu nedenle, o elektrik devresinin indüktör (ler) inde depolanan enerji maksimum ve sabittir.

Matematiksel olarak şu şekilde temsil edilebilir:

$W_L = \frac{L {i_L}^2}{2} = $ Maksimum ve sabit

$\Rightarrow i_L = $ Maksimum ve sabit

Bu nedenle, indüktör bir constant current source sabit durumda.

İndüktördeki voltaj

$$V_L = L \frac{di_{L}}{dt} = 0V$$

Böylece, indüktör bir short circuit sabit durumda.

Kondansatör Davranışı

Bağımsız kaynak, uzun bir süre boyunca bir veya daha fazla kapasitör ve direnci (isteğe bağlı) olan elektrik devresine veya ağa bağlanırsa, bu elektrik devresinin veya ağın sabit durumda olduğu söylenir. Bu nedenle, o elektrik devresinin kapasitör (ler) inde depolanan enerji maksimum ve sabittir.

Matematiksel olarak şu şekilde temsil edilebilir:

$W_c = \frac{C{v_c}^2}{2} = $ Maksimum ve sabit

$\Rightarrow v_c = $Maksimum ve sabit

Bu nedenle, kondansatör bir constant voltage source sabit durumda.

Kondansatörden geçen akım

$$i_c = C\frac{dv_c}{dt} = 0A$$

Yani, kapasitör bir open circuit sabit durumda.

Seri RL Devresinin Yanıtını Bulmak

Aşağıdakileri göz önünde bulundur series RL circuit diyagram.

Yukarıdaki devrede, switch tutuldu opent = 0'a kadar ve t = 0'da kapatıldı. Dolayısıyla, V volt olan DC gerilim kaynağı bu ana kadar seri RL devresine bağlı değildir. Bu nedenle, varno initial current indüktörden akar.

Devre şeması, switch içinde closed pozisyon aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

Şimdi, şu anki i DC voltaj kaynağı sahip olduğu için tüm devrede akar V volt seri RL devresine bağlanır.

Şimdi başvur KVL döngü etrafında.

$$V = Ri + L \frac{di}{dt}$$

$\frac{di}{dt} + \lgroup \frac{R}{L} \rgroup i = \frac{V}{L}$Equation 1

Yukarıdaki denklem birinci dereceden bir diferansiyel denklemdir ve şu şekildedir:

$\frac{dy}{dt} + Py = Q$Equation 2

Tarafından comparing Denklem 1 ve Denklem 2, aşağıdaki ilişkileri alacağız.

$$x = t$$

$$y = i$$

$$P = \frac{R}{L}$$

$$Q = \frac{V}{L}$$

solution Denklem 2'nin

$ye^{\int p dx} = \int Q e^{\int p dx} dx + k$Equation 3

Nerede, k sabittir.

Denklem 3'teki x, y, P ve Q değerlerini değiştirin.

$ie^{\int {\lgroup \frac{R}{L} \rgroup}dt} = \int (\frac{V}{L}) \lgroup e^{\int {\lgroup \frac{R}{L} \rgroup}dt} \rgroup dt + k$

$\Rightarrow ie^{\lgroup \frac{R}{L} \rgroup t} = \frac{V}{L} \int e^{\lgroup \frac{R}{L} \rgroup t} dt + k$

$\Rightarrow ie^{\lgroup \frac{R}{L} \rgroup t} = \frac{V}{L} \lbrace \frac{e^{\lgroup \frac{R}{L} \rgroup}t}{\frac{R}{L}} \rbrace + k$

$\Rightarrow i = \frac{V}{R} + k e^{-\lgroup \frac{R}{L} \rgroup}t$Equation 4

Devrede başlangıç ​​akımı olmadığını biliyoruz. Dolayısıyla, ikame, t = 0 ve Sabitin değerini bulmak için Denklem 4'te = 0 k.

$$0 = \frac{V}{R} + ke^{-\lgroup \frac{R}{L} \rgroup(0)}$$

$$0 = \frac{V}{R} + k(1)$$

$$k = - \frac{V}{R}$$

İkame, Denklem 4'teki k değeri.

$$i = \frac{V}{R} + \lgroup - \frac{V}{R} \rgroup e^{-\lgroup \frac{R}{L} \rgroup t}$$

$$i = \frac{V}{R} - \frac{V}{R}e^{-\lgroup \frac{R}{L} \rgroup t}$$

bu yüzden current devreden akan

$i = - \frac{V}{R}e^{-\lgroup \frac{R}{L} \rgroup t} + \frac{V}{R}$Equation 5

Dolayısıyla, seri RL devresinin yanıtı, bir DC voltaj kaynağı tarafından uyarıldığında, aşağıdaki iki terime sahiptir.

• İlk dönem $-\frac{V}{R}e^{-\lgroup \frac{R}{L} \rgroup t}$ karşılık gelir transient response.

• İkinci dönem $\frac{V}{R}$ karşılık gelir steady state response. Bu iki yanıt aşağıdaki şekilde gösterilmektedir.

Denklem 5'i aşağıdaki gibi yeniden yazabiliriz -

$i = \frac{V}{R} \lgroup 1 - e^{-\lgroup \frac{R}{L} \rgroup t} \rgroup$

$\Rightarrow i = \frac{V}{R} \lgroup 1 - e^{-\lgroup \frac{t}{\tau} \rgroup} \rgroup$Equation 6

Nerede, τ ... time constant ve değeri eşittir $\frac{L}{R}$.

Denklem 5 ve Denklem 6 aynıdır. Ancak, birkaç değeri değiştirerek Denklem 6'dan devreden geçen akımın yukarıdaki dalga biçimini kolayca anlayabiliriz.t 0, τ, 2τ, 5τ vb. gibi

Devre boyunca akan akımın yukarıdaki dalga formunda, geçici yanıt sıfırdan beşe kadar zaman sabitini sunarken, kararlı durum yanıtı beş zaman sabitinden itibaren mevcut olacaktır.

Önceki bölümde, DC devresinin geçici yanıtı ve kararlı durum yanıtını tartıştık. Bu bölümde tartışalımresponse of AC circuit. Önceki bölümde tartıştığımız hem geçici yanıt hem de sabit durum yanıtı kavramları burada da yararlı olacaktır.

Seri RL Devresinin Yanıtını Bulmak

Aşağıdakileri göz önünde bulundur series RL circuit diyagram.

Yukarıdaki devrede, switch tutuldu openkadar t = 0 ile ve kapatıldığı t = 0 . Dolayısıyla, tepe gerilimi V _m volt olan AC gerilim kaynağı , bu ana kadar seri RL devresine bağlanmaz. Bu nedenle, varno initial current indüktörden akar.

Devre şeması, switch içinde closed konumu, aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

Şimdi, mevcut i (t) bir zirve voltajı olan AC gerilim kaynağı, çünkü, bütün devrede akar V _m volt dizisi RL devresine bağlıdır.

Yukarıdaki devreden geçen akım i (t) ' nin iki terime sahip olacağını biliyoruz, biri geçici kısmı temsil eder ve diğer terim sabit durumu temsil eder.

Matematiksel olarak şu şekilde temsil edilebilir:

$i(t) = i_{Tr}(t) + i_{ss}(t)$Equation 1

Nerede,

• $i_{Tr}(t)$ devreden geçen akımın geçici yanıtıdır.

• $i_{ss}(t)$ devreden geçen akımın kararlı durum tepkisidir.

Önceki bölümde, seri RL devresinden geçen akımın geçici tepkisini aldık. Şeklindedir$Ke^{-\lgroup \frac{t}{\tau} \rgroup}$.

Substitute $i_{Tr}(t) = Ke^{-\lgroup \frac{t}{\tau} \rgroup}$ in Equation 1.

$i(t) = Ke^{-\lgroup \frac{t}{\tau} \rgroup} + i_{ss}(t)$Equation 2

Calculation of Steady State Current

If a sinusoidal signal is applied as an input to a Linear electric circuit, then it produces a steady state output, which is also a sinusoidal signal. Both the input and output sinusoidal signals will be having the same frequency, but different amplitudes and phase angles.

We can calculate the steady state response of an electric circuit, when it is excited by a sinusoidal voltage source using Laplace Transform approach.

The s-domain circuit diagram, when the switch is in closed position, is shown in the following figure.

In the above circuit, all the quantities and parameters are represented in s-domain. These are the Laplace transforms of time-domain quantities and parameters.

The Transfer function of the above circuit is

$$H(s) = \frac{I(s)}{V(s)}$$

$$\Rightarrow H(s) = \frac{1}{Z(s)}$$

$$\Rightarrow H(s) = \frac{1}{R + sL}$$

Substitute $s = j \omega$ in the above equation.

$$H(j \omega) = \frac{1}{R + j \omega L}$$

Magnitude of $\mathbf{\mathit{H(j \omega)}}$ is

$$|H(j \omega)| = \frac{1}{\sqrt{R^2 + {\omega}^2}L^2}$$

Phase angle of $\mathbf{\mathit{H(j \omega)}}$ is

$$\angle H(j \omega) = -tan^{-1} \lgroup \frac{\omega L}{R} \rgroup$$

We will get the steady state current $i_{ss}(t)$ by doing the following two steps −

• Multiply the peak voltage of input sinusoidal voltage and the magnitude of $H(j \omega)$.

• Add the phase angles of input sinusoidal voltage and $H(j \omega)$.

The steady state current $i_{ss}(t)$ will be

$$i_{ss}(t) = \frac{V_m}{\sqrt{R^2 +{\omega}^2 L^2}} sin \lgroup \omega t + \varphi - tan^{-1} \lgroup \frac {\omega L}{R}\rgroup \rgroup$$

Substitute the value of $i_{ss}(t)$ in Equation 2.

$i(t) = Ke^{-\lgroup \frac{t}{\tau} \rgroup} + \frac{V_m}{\sqrt{R^2 +{\omega}^2 L^2}} sin \lgroup \omega t + \varphi - tan^{-1} \lgroup \frac {\omega L}{R}\rgroup \rgroup$Equation 3

We know that there is no initial current in the circuit. Hence, substitute t = 0 & i(t) = 0 in Equation 3 in order to find the value of constant, K.

$$0 = Ke^{-\lgroup \frac{0}{\tau} \rgroup} + \frac{V_m}{\sqrt{R^2 +{\omega}^2 L^2}} sin \lgroup \omega (0) + \varphi - tan^{-1} \lgroup \frac {\omega L}{R}\rgroup \rgroup$$

$$\Rightarrow 0 = K + \frac{V_m}{\sqrt{R^2 +{\omega}^2 L^2}} sin \lgroup \varphi - tan^{-1} \lgroup \frac {\omega L}{R}\rgroup \rgroup$$

$$\Rightarrow K = - \frac{V_m}{\sqrt{R^2 +{\omega}^2 L^2}} sin \lgroup \varphi - tan^{-1} \lgroup \frac {\omega L}{R}\rgroup \rgroup$$

Substitute the value of K in Equation 3.

$i(t) = - \frac{V_m}{\sqrt{R^2 +{\omega}^2 L^2}} sin \lgroup \varphi - tan^{-1} \lgroup \frac {\omega L}{R}\rgroup \rgroup e^{-\lgroup \frac{t}{\tau} \rgroup} + \frac{V_m}{\sqrt{R^2 +{\omega}^2 L^2}} sin \lgroup \omega t + \varphi - tan^{-1} \lgroup \frac {\omega L}{R}\rgroup \rgroup$Equation 4

Equation 4 represents the current flowing through the series RL circuit, when it is excited by a sinusoidal voltage source. It is having two terms. The first and second terms represent the transient response and steady state response of the current respectively.

We can neglect the first term of Equation 4 because its value will be very much less than one. So, the resultant current flowing through the circuit will be

$$i(t) = \frac{V_m}{\sqrt{R^2 +{\omega}^2 L^2}} sin \lgroup \omega t + \varphi - tan^{-1} \lgroup \frac {\omega L}{R}\rgroup \rgroup$$

It contains only the steady state term. Hence, we can find only the steady state response of AC circuits and neglect transient response of it.

Resonance occurs in electric circuits due to the presence of energy storing elements like inductor and capacitor. It is the fundamental concept based on which, the radio and TV receivers are designed in such a way that they should be able to select only the desired station frequency.

There are two types of resonances, namely series resonance and parallel resonance. These are classified based on the network elements that are connected in series or parallel. In this chapter, let us discuss about series resonance.

Series Resonance Circuit Diagram

If the resonance occurs in series RLC circuit, then it is called as Series Resonance. Consider the following series RLC circuit, which is represented in phasor domain.

Here, the passive elements such as resistor, inductor and capacitor are connected in series. This entire combination is in series with the input sinusoidal voltage source.

Apply KVL around the loop.

$$V - V_R - V_L - V_C = 0$$

$$\Rightarrow V - IR - I(j X_L) - I(-j X_C) = 0$$

$$\Rightarrow V = IR + I(j X_L) + I(-j X_C)$$

$\Rightarrow V = I[R + j(X_L - X_C)]$Equation 1

The above equation is in the form of V = IZ.

Therefore, the impedance Z of series RLC circuit will be

$$Z = R + j(X_L - X_C)$$

Parameters & Electrical Quantities at Resonance

Now, let us derive the values of parameters and electrical quantities at resonance of series RLC circuit one by one.

Resonant Frequency

The frequency at which resonance occurs is called as resonant frequency f_r. In series RLC circuit resonance occurs, when the imaginary term of impedance Z is zero, i.e., the value of $X_L - X_C$ should be equal to zero.

$$\Rightarrow X_L = X_C$$

Substitute $X_L = 2 \pi f L$ and $X_C = \frac{1}{2 \pi f C}$ in the above equation.

$$2 \pi f L = \frac{1}{2 \pi f C}$$

$$\Rightarrow f^2 = \frac{1}{(2 \pi)^2 L C}$$

$$\Rightarrow f = \frac{1}{(2 \pi) \sqrt{LC}}$$

Therefore, the resonant frequency f_r of series RLC circuit is

$$f_r = \frac{1}{(2 \pi) \sqrt{LC}}$$

Where, L is the inductance of an inductor and C is the capacitance of a capacitor.

The resonant frequency f_r of series RLC circuit depends only on the inductance L and capacitance C. But, it is independent of resistance R.

Impedance

We got the impedance Z of series RLC circuit as

$$Z = R + j(X_L - X_C)$$

Substitute $X_L = X_C$ in the above equation.

$$Z = R + j(X_C - X_C)$$

$$\Rightarrow Z = R + j(0)$$

$$\Rightarrow Z = R$$

At resonance, the impedance Z of series RLC circuit is equal to the value of resistance R, i.e., Z = R.

Current flowing through the Circuit

Substitute $X_L - X_C = 0$ in Equation 1.

$$V = I[R + j(0)]$$

$$\Rightarrow V = IR$$

$$\Rightarrow I = \frac{V}{R}$$

Therefore, current flowing through series RLC circuit at resonance is $\mathbf{\mathit{I = \frac{V}{R}}}$.

At resonance, the impedance of series RLC circuit reaches to minimum value. Hence, the maximum current flows through this circuit at resonance.

Voltage across Resistor

The voltage across resistor is

$$V_R = IR$$

Substitute the value of I in the above equation.

$$V_R = \lgroup \frac{V}{R} \rgroup R$$

$$\Rightarrow V_R = V$$

Therefore, the voltage across resistor at resonance is V_R = V.

Voltage across Inductor

The voltage across inductor is

$$V_L = I(jX_L)$$

Substitute the value of I in the above equation.

$$V_L = \lgroup \frac{V}{R} \rgroup (jX_L)$$

$$\Rightarrow V_L = j \lgroup \frac{X_L}{R} \rgroup V$$

$$\Rightarrow V_L = j QV$$

Therefore, the voltage across inductor at resonance is $V_L = j QV$.

So, the magnitude of voltage across inductor at resonance will be

$$|V_L| = QV$$

Where Q is the Quality factor and its value is equal to $\frac{X_L}{R}$

Voltage across Capacitor

The voltage across capacitor is

$$V_C = I(-j X_C)$$

Substitute the value of I in the above equation.

$$V_C = \lgroup \frac{V}{R} \rgroup (-j X_C)$$

$$\Rightarrow V_C = -j \lgroup \frac{X_C}{R} \rgroup V$$

$$\Rightarrow V_C = -jQV$$

Therefore, the voltage across capacitor at resonance is $\mathbf{\mathit{V_C = -jQV}}$.

So, the magnitude of voltage across capacitor at resonance will be

$$|V_C| = QV$$

Where Q is the Quality factor and its value is equal to $\frac{X_{C}}{R}$

Note − Series resonance RLC circuit is called as voltage magnification circuit, because the magnitude of voltage across the inductor and the capacitor is equal to Q times the input sinusoidal voltage V.

In the previous chapter, we discussed the importance of series resonance. Now, let us discuss parallel resonance in RLC circuits.

Parallel Resonance Circuit Diagram

If the resonance occurs in parallel RLC circuit, then it is called as Parallel Resonance. Consider the following parallel RLC circuit, which is represented in phasor domain.

Here, the passive elements such as resistor, inductor and capacitor are connected in parallel. This entire combination is in parallel with the input sinusoidal current source.

Write nodal equation at node P.

$$- I + I_R + I_L + I_C = 0$$

$$\Rightarrow - I + \frac{V}{R} + \frac{V}{j X_L} + \frac{V}{-j X_C} = 0$$

$$\Rightarrow I = \frac{V}{R} - \frac{jV}{X_L} + \frac{jV}{X_C}$$

$\Rightarrow I = V[\frac{1}{R} + j \lgroup \frac{1}{X_C} - \frac{1}{X_L} \rgroup]$Equation 1

The above equation is in the form of I = VY.

Therefore, the admittance Y of parallel RLC circuit will be

$$Y = \frac{1}{R} + j \lgroup \frac{1}{X_C} - \frac{1}{X_L} \rgroup$$

Parameters & Electrical Quantities at Resonance

Now, let us derive the values of parameters and electrical quantities at resonance of parallel RLC circuit one by one.

Resonant Frequency

We know that the resonant frequency, f_r is the frequency at which, resonance occurs. In parallel RLC circuit resonance occurs, when the imaginary term of admittance, Y is zero. i.e., the value of $\frac{1}{X_C} - \frac{1}{X_L}$ should be equal to zero

$$\Rightarrow \frac{1}{X_C} = \frac{1}{X_L}$$

$$\Rightarrow X_L = X_C$$

The above resonance condition is same as that of series RLC circuit. So, the resonant frequency, f_r will be same in both series RLC circuit and parallel RLC circuit.

Therefore, the resonant frequency, f_r of parallel RLC circuit is

$$f_r = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$$

Where,

• L is the inductance of an inductor.
• C is the capacitance of a capacitor.

The resonant frequency, f_r of parallel RLC circuit depends only on the inductance L and capacitance C. But, it is independent of resistance R.

Admittance

We got the admittance Y of parallel RLC circuit as

$$Y = \frac{1}{R} + j \lgroup \frac{1}{X_C} - \frac{1}{X_L} \rgroup$$

Substitute, $X_L = X_C$ in the above equation.

$$Y = \frac{1}{R} + j \lgroup \frac{1}{X_C} - \frac{1}{X_C} \rgroup$$

$$\Rightarrow Y = \frac{1}{R} + j(0)$$

$$\Rightarrow Y = \frac{1}{R}$$

At resonance, the admittance, Y of parallel RLC circuit is equal to the reciprocal of the resistance, R. i.e., $\mathbf{\mathit{Y = \frac{1}{R}}}$

Voltage across each Element

Substitute, $\frac{1}{X_C} - \frac{1}{X_L} = 0$ in Equation 1

$$I = V [\frac{1}{R} + j(0)]$$

$$\Rightarrow I = \frac{V}{R}$$

$$\Rightarrow V = IR$$

Therefore, the voltage across all the elements of parallel RLC circuit at resonance is V = IR.

At resonance, the admittance of parallel RLC circuit reaches to minimum value. Hence, maximum voltage is present across each element of this circuit at resonance.

Current flowing through Resistor

The current flowing through resistor is

$$I_R = \frac{V}{R}$$

Substitute the value of V in the above equation.

$$I_R = \frac{IR}{R}$$

$$\Rightarrow I_R = I$$

Therefore, the current flowing through resistor at resonance is $\mathbf{\mathit{I_R = I}}$.

Current flowing through Inductor

The current flowing through inductor is

$$I_L = \frac{V}{j X_L}$$

Substitute the value of V in the above equation.

$$I_L = \frac{IR}{j X_L}$$

$$\Rightarrow I_L = -j \lgroup \frac{R}{X_L} \rgroup I$$

$$\Rightarrow I_L = -jQI$$

Therefore, the current flowing through inductor at resonance is $I_L = -jQI$.

So, the magnitude of current flowing through inductor at resonance will be

$$|I_L| = QI$$

Where, Q is the Quality factor and its value is equal to $\frac{R}{X_L}$

Current flowing through Capacitor

The current flowing through capacitor is

$$I_C = \frac{V}{-j X_C}$$

Substitute the value of V in the above equation.

$$I_C = \frac{IR}{-j X_C}$$

$$\Rightarrow I_C = j \lgroup \frac{R}{X_C} \rgroup I$$

$$\Rightarrow I_C = jQI$$

Therefore, the current flowing through capacitor at resonance is $I_C = jQI$

So, the magnitude of current flowing through capacitor at resonance will be

$$|I_C| = QI$$

Where, Q is the Quality factor and its value is equal to $\frac{R}{X_C}$

Note − Parallel resonance RLC circuit is called as current magnification circuit. Because, the magnitude of current flowing through inductor and capacitor is equal to Q times the input sinusoidal current I.

An electric circuit is said to be a coupled circuit, when there exists a mutual inductance between the coils (or inductors) present in that circuit. Coil is nothing but the series combination of resistor and inductor. In the absence of resistor, coil becomes inductor. Sometimes, the terms coil and inductor are interchangeably used.

In this chapter, first let us discuss about the dot convention and then will discuss about classification of coupling.

Dot Convention

Dot convention is a technique, which gives the details about voltage polarity at the dotted terminal. This information is useful, while writing KVL equations.

• If the current enters at the dotted terminal of one coil (or inductor), then it induces a voltage at another coil (or inductor), which is having positive polarity at the dotted terminal.

• If the current leaves from the dotted terminal of one coil (or inductor), then it induces a voltage at another coil (or inductor), which is having negative polarity at the dotted terminal.

Classification of Coupling

We can classify coupling into the following two categories.

• Electrical Coupling
• Magnetic Coupling

Now, let us discuss about each type of coupling one by one.

Electrical Coupling

Electrical coupling occurs, when there exists a physical connection between two coils (or inductors). This coupling can be of either aiding type or opposing type. It is based on whether the current enters at the dotted terminal or leaves from the dotted terminal.

Coupling of Aiding type

Consider the following electric circuit, which is having two inductors that are connected in series.

Since the two inductors are connected in series, the same current I flow through both inductors having self-inductances L₁ and L₂.

In this case, the current, I enter at the dotted terminal of each inductor. Hence, the induced voltage in each inductor will be having positive polarity at the dotted terminal due to the current flowing in another coil.

Apply KVL around the loop of the above electric circuit or network.

$$V - L_1 \frac{dI}{dt} - M \frac{dI}{dt} - L_2 \frac{dI}{dt} - M \frac{dI}{dt} = 0$$

$$V = L_1 \frac{dI}{dt} + L_2 \frac{dI}{dt} + 2M \frac{dI}{dt}$$

$$V = (L_1 + L_2 + 2M)\frac{dI}{dt}$$

The above equation is in the form of $\mathbf{\mathit{V = L_{Eq} \frac{dI}{dt}}}$

Therefore, the equivalent inductance of series combination of inductors shown in the above figure is

$$L_{Eq} = L_1 + L_2 + 2M$$

In this case, the equivalent inductance has been increased by 2M. Hence, the above electrical circuit is an example of electrical coupling which is of aiding type.

Coupling of Opposing type

Consider the following electric circuit, which is having two inductors that are connected in series.

In the above circuit, the current I enters at the dotted terminal of the inductor having an inductance of L₁. Hence, it induces a voltage in the other inductor having an inductance of L₂. So, positive polarity of the induced voltage is present at the dotted terminal of this inductor.

In the above circuit, the current I leaves from the dotted terminal of the inductor having an inductance of L₂. Hence, it induces a voltage in the other inductor having an inductance of L₁. So, negative polarity of the induced voltage is present at the dotted terminal of this inductor.

Apply KVL around the loop of the above electric circuit or network.

$$V - L_1 \frac{dI}{dt} + M \frac{dI}{dt} - L_2 \frac{dI}{dt} + M \frac{dI}{dt} = 0$$

$$\Rightarrow V = L_1 \frac{dI}{dt} + L_2 \frac{dI}{dt} - 2M \frac{dI}{dt}$$

$$\Rightarrow V = (L_1 + L_2 - 2M)\frac{dI}{dt}$$

The above equation is in the form of $\mathbf{\mathit{V = L_{Eq} \frac{dI}{dt}}}$

Therefore, the equivalent inductance of series combination of inductors shown in the above figure is

$$L_{Eq} = L_1 + L_2 - 2M$$

In this case, the equivalent inductance has been decreased by 2M. Hence, the above electrical circuit is an example of electrical coupling which is of opposing type.

Magnetic Coupling

Magnetic coupling occurs, when there is no physical connection between two coils (or inductors). This coupling can be of either aiding type or opposing type. It is based on whether the current enters at the dotted terminal or leaves from the dotted terminal.

Coupling of Aiding type

Consider the following electrical equivalent circuit of transformer. It is having two coils and these are called as primary and secondary coils.

The currents flowing through primary and secondary coils are i₁ and i₂ respectively. In this case, these currents enter at the dotted terminal of respective coil. Hence, the induced voltage in each coil will be having positive polarity at the dotted terminal due to the current flowing in another coil.

Apply KVL around primary coil.

$$v_1 - L_1 \frac{d i_1}{dt} - M \frac{d i_2}{dt} = 0$$

$\Rightarrow v_1 = L_1 \frac{d i_1}{dt} + M \frac{d i_2}{dt}$Equation 1

Apply KVL around secondary coil.

$$v_2 - L_2 \frac{d i_2}{dt} - M \frac{d i_1}{dt} = 0$$

$\Rightarrow v_2 = L_2 \frac{d i_2}{dt} + M \frac{d i_1}{dt}$Equation 2

In Equation 1 and Equation 2, the self-induced voltage and mutually induced voltage have the same polarity. Hence, the above transformer circuit is an example of magnetic coupling, which is of aiding type.

Coupling of Opposing Type

Consider the following electrical equivalent circuit of transformer.

The currents flowing through primary and secondary coils are i₁ and i₂ respectively. In this case, the current, i₁ enters at the dotted terminal of primary coil. Hence, it induces a voltage in secondary coil. So, positive polarity of the induced voltage is present at the dotted terminal of this secondary coil.

In the above circuit, the current, i₂ leaves from the dotted terminal of secondary coil. Hence, it induces a voltage in primary coil. So, negative polarity of the induced voltage is present at the dotted terminal of this primary coil.

Apply KVL around primary coil.

$$v_1 - L_1 \frac{d i_1}{dt} + M \frac{d i_2}{dt} = 0$$

$\Rightarrow v_1 = L_1 \frac{d i_1}{dt} - M \frac{d i_2}{dt}$Equation 3

Apply KVL around secondary coil.

$$v_2 - L_2 \frac{d i_2}{dt} + M \frac{d i_1}{dt} = 0$$

$\Rightarrow v_2 = L_2 \frac{d i_2}{dt} - M \frac{d i_1}{dt}$Equation 4

In Equation 3 and Equation 4, self-induced voltage and mutually induced voltage are having opposite polarity. Hence, the above transformer circuit is an example of magnetic coupling, which is of opposing type.

In general, it is easy to analyze any electrical network, if it is represented with an equivalent model, which gives the relation between input and output variables. For this, we can use two port network representations. As the name suggests, two port networks contain two ports. Among which, one port is used as an input port and the other port is used as an output port. The first and second ports are called as port1 and port2 respectively.

One port network is a two terminal electrical network in which, current enters through one terminal and leaves through another terminal. Resistors, inductors and capacitors are the examples of one port network because each one has two terminals. One port network representation is shown in the following figure.

Here, the pair of terminals, 1 & 1’ represents a port. In this case, we are having only one port since it is a one port network.

Similarly, two port network is a pair of two terminal electrical network in which, current enters through one terminal and leaves through another terminal of each port. Two port network representation is shown in the following figure.

Here, one pair of terminals, 1 & 1’ represents one port, which is called as port1 and the other pair of terminals, 2 & 2’ represents another port, which is called as port2.

There are four variables V₁, V₂, I₁ and I₂ in a two port network as shown in the figure. Out of which, we can choose two variables as independent and another two variables as dependent. So, we will get six possible pairs of equations. These equations represent the dependent variables in terms of independent variables. The coefficients of independent variables are called as parameters. So, each pair of equations will give a set of four parameters.

Two Port Network Parameters

The parameters of a two port network are called as two port network parameters or simply, two port parameters. Following are the types of two port network parameters.

• Z parameters
• Y parameters
• T parameters
• T’ parameters
• h-parameters
• g-parameters

Now, let us discuss about these two port network parameters one by one.

Z parameters

We will get the following set of two equations by considering the variables V₁ & V₂ as dependent and I₁ & I₂ as independent. The coefficients of independent variables, I₁ and I₂ are called as Z parameters.

$$V_1 = Z_{11} I_1 + Z_{12} I_2$$

$$V_2 = Z_{21} I_1 + Z_{22} I_2$$

The Z parameters are

$$Z_{11} = \frac{V_1}{I_1}, \: when \: I_2 = 0$$

$$Z_{12} = \frac{V_1}{I_2}, \: when \: I_1 = 0$$

$$Z_{21} = \frac{V_2}{I_1}, \: when \: I_2 = 0$$

$$Z_{22} = \frac{V_2}{I_2}, \: when \: I_1 = 0$$

Z parameters are called as impedance parameters because these are simply the ratios of voltages and currents. Units of Z parameters are Ohm (Ω).

We can calculate two Z parameters, Z₁₁ and Z₂₁, by doing open circuit of port2. Similarly, we can calculate the other two Z parameters, Z₁₂ and Z₂₂ by doing open circuit of port1. Hence, the Z parameters are also called as open-circuit impedance parameters.

Y parameters

We will get the following set of two equations by considering the variables I₁ & I₂ as dependent and V₁ & V₂ as independent. The coefficients of independent variables, V₁ and V₂ are called as Y parameters.

$$I_1 = Y_{11} V_1 + Y_{12} V_2$$

$$I_2 = Y_{21} V_1 + Y_{22} V_2$$

The Y parameters are

$$Y_{11} = \frac{I_1}{V_1}, \: when \: V_2 = 0$$

$$Y_{12} = \frac{I_1}{V_2}, \: when \: V_1 = 0$$

$$Y_{21} = \frac{I_2}{V_1}, \: when \: V_2 = 0$$

$$Y_{22} = \frac{I_2}{V_2}, \: when \: V_1 = 0$$

Y parameters are called as admittance parameters because these are simply, the ratios of currents and voltages. Units of Y parameters are mho.

We can calculate two Y parameters, Y₁₁ and Y₂₁ by doing short circuit of port2. Similarly, we can calculate the other two Y parameters, Y₁₂ and Y₂₂ by doing short circuit of port1. Hence, the Y parameters are also called as short-circuit admittance parameters.

T parameters

We will get the following set of two equations by considering the variables V₁ & I₁ as dependent and V₂ & I₂ as independent. The coefficients of V₂ and -I₂ are called as T parameters.

$$V_1 = A V_2 - B I_2$$

$$I_1 = C V_2 - D I_2$$

The T parameters are

$$A = \frac{V_1}{V_2}, \: when \: I_2 = 0$$

$$B = -\frac{V_1}{I_2}, \: when \: V_2 = 0$$

$$C = \frac{I_1}{V_2}, \: when \: I_2 = 0$$

$$D = -\frac{I_1}{I_2}, \: when \: V_2 = 0$$

T parameters are called as transmission parameters or ABCD parameters. The parameters, A and D do not have any units, since those are dimension less. The units of parameters, B and C are ohm and mho respectively.

We can calculate two parameters, A and C by doing open circuit of port2. Similarly, we can calculate the other two parameters, B and D by doing short circuit of port2.

T ’ parameters

We will get the following set of two equations by considering the variables V₂ & I₂ as dependent and V₁ & I₁ as independent. The coefficients of V₁ and -I₁ are called as T’ parameters.

$$V_2 = A' V_1 - B' I_1$$

$$I_2 = C' V_1 - D' I_1$$

The T’ parameters are

$$A' = \frac{V_2}{V_1}, \: when\: I_1 = 0$$

$$B' = -\frac{V_2}{I_1}, \: when\: V_1 = 0$$

$$C' = \frac{I_2}{V_1}, \: when\: I_1 = 0$$

$$D' = -\frac{I_2}{I_1}, \: when \: V_1 = 0$$

T’ parameters are called as inverse transmission parameters or A’B’C’D’ parameters. The parameters A’ and D’ do not have any units, since those are dimension less. The units of parameters, B’ and C’, are Ohm and Mho respectively.

We can calculate two parameters, A’ and C’, by doing an open circuit of port1. Similarly, we can calculate the other two parameters, B’ and D’, by doing a short circuit of port1.

h-parameters

We will get the following set of two equations by considering the variables V₁ & I₂ as dependent and I₁ & V₂ as independent. The coefficients of independent variables, I₁ and V₂, are called as h-parameters.

$$V_1 = h_{11} I_1 + h_{12} V_2$$

$$I_2 = h_{21} I_1 + h_{22} V_2$$

The h-parameters are

$$h_{11} = \frac{V_1}{I_1},\: when\: V_2 = 0$$

$$h_{12} = \frac{V_1}{V_2},\: when\: I_1 = 0$$

$$h_{21} = \frac{I_2}{I_1},\: when\: V_2 = 0$$

$$h_{22} = \frac{I_2}{V_2},\: when\: I_1 = 0$$

h-parameters are called as hybrid parameters. The parameters, h₁₂ and h₂₁, do not have any units, since those are dimension-less. The units of parameters, h₁₁ and h₂₂, are Ohm and Mho respectively.

We can calculate two parameters, h₁₁ and h₂₁ by doing short circuit of port2. Similarly, we can calculate the other two parameters, h₁₂ and h₂₂ by doing open circuit of port1.

The h-parameters or hybrid parameters are useful in transistor modelling circuits (networks).

g-parameters

We will get the following set of two equations by considering the variables I₁ & V₂ as dependent and V₁ & I₂ as independent. The coefficients of independent variables, V₁ and I₂ are called as g-parameters.

$$I_1 = g_{11} V_1 + g_{12} I_2$$

$$V_2 = g_{21} V_1 + g_{22} I_2$$

The g-parameters are

$$g_{11} = \frac{I_1}{V_1},\: when\: I_2 = 0$$

$$g_{12} = \frac{I_1}{I_2},\: when\: V_1 = 0$$

$$g_{21} = \frac{V_2}{V_1},\: when\: I_2 = 0$$

$$g_{22} = \frac{V_2}{I_2},\: when \: V_1 = 0$$

g-parameters are called as inverse hybrid parameters. The parameters, g₁₂ and g₂₁ do not have any units, since those are dimension less. The units of parameters, g₁₁ and g₂₂ are mho and ohm respectively.

We can calculate two parameters, g₁₁ and g₂₁ by doing open circuit of port2. Similarly, we can calculate the other two parameters, g₁₂ and g₂₂ by doing short circuit of port1.

In the previous chapter, we discussed about six types of two-port network parameters. Now, let us convert one set of two-port network parameters into other set of two port network parameters. This conversion is known as two port network parameters conversion or simply, two-port parameters conversion.

Sometimes, it is easy to find one set of parameters of a given electrical network easily. In those situations, we can convert these parameters into the required set of parameters instead of calculating these parameters directly with more difficulty.

Now, let us discuss about some of the two port parameter conversions.

Procedure of two port parameter conversions

Follow these steps, while converting one set of two port network parameters into the other set of two port network parameters.

• Step 1 − Write the equations of a two port network in terms of desired parameters.

• Step 2 − Write the equations of a two port network in terms of given parameters.

• Step 3 − Re-arrange the equations of Step2 in such a way that they should be similar to the equations of Step1.

• Step 4 − By equating the similar equations of Step1 and Step3, we will get the desired parameters in terms of given parameters. We can represent these parameters in matrix form.

Z parameters to Y parameters

Here, we have to represent Y parameters in terms of Z parameters. So, in this case Y parameters are the desired parameters and Z parameters are the given parameters.

Step 1 − We know that the following set of two equations, which represents a two port network in terms of Y parameters.

$$I_1 = Y_{11} V_1 + Y_{12} V_2$$

$$I_2 = Y_{21} V_1 + Y_{22} V_2$$

We can represent the above two equations in matrix form as

$\begin{bmatrix}I_1 \\I_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}Y_{11} & Y_{12} \\Y_{21} & Y_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}V_1 \\V_2 \end{bmatrix}$Equation 1

Step 2 − We know that the following set of two equations, which represents a two port network in terms of Z parameters.

$$V_1 = Z_{11} I_1 + Z_{12} I_2$$

$$V_2 = Z_{21} I_1 + Z_{22} I_2$$

We can represent the above two equations in matrix form as

$$\begin{bmatrix}V_1 \\V_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}Z_{11} & Z_{12} \\Z_{21} & Z_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}I_1 \\I_2 \end{bmatrix}$$

Step 3 − We can modify it as

$\begin{bmatrix}I_1 \\I_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}Z_{11} & Z_{12} \\Z_{21} & Z_{22} \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix}V_1 \\V_2 \end{bmatrix}$Equation 2

Step 4 − By equating Equation 1 and Equation 2, we will get

$$\begin{bmatrix}Y_{11} & Y_{12} \\Y_{21} & Y_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}Z_{11} & Z_{12} \\Z_{21} & Z_{22} \end{bmatrix}^{-1} $$

$$\Rightarrow \begin{bmatrix}Y_{11} & Y_{12} \\Y_{21} & Y_{22} \end{bmatrix} = \frac{\begin{bmatrix}Z_{22} & -Z_{12} \\-Z_{21} & Z_{11} \end{bmatrix}}{\Delta Z}$$

Where,

$$\Delta Z = Z_{11} Z_{22} - Z_{12} Z_{21}$$

So, just by doing the inverse of Z parameters matrix, we will get Y parameters matrix.

Z parameters to T parameters

Here, we have to represent T parameters in terms of Z parameters. So, in this case T parameters are the desired parameters and Z parameters are the given parameters.

Step 1 − We know that, the following set of two equations, which represents a two port network in terms of T parameters.

$$V_1 = A V_2 - B I_2$$

$$I_1 = C V_2 - D I_2$$

Step 2 − We know that the following set of two equations, which represents a two port network in terms of Z parameters.

$$V_1 = Z_{11} I_1 + Z_{12} I_2$$

$$V_2 = Z_{21} I_1 + Z_{22} I_2$$

Step 3 − We can modify the above equation as

$$\Rightarrow V_2 - Z_{22} I_2 = Z_{21} I_1$$

$$\Rightarrow I_1 = \lgroup \frac{1}{Z_{21}} \rgroup V_2 - \lgroup \frac{Z_{22}}{Z_{21}} \rgroup I_2$$

Step 4 − The above equation is in the form of $I_1 = CV_2 − DI_2$. Here,

$$C = \frac{1}{Z_{21}}$$

$$D = \frac{Z_{22}}{Z_{21}}$$

Step 5 − Substitute $I_1$ value of Step 3 in $V_1$ equation of Step 2.

$$V_1 = Z_{11} \lbrace \lgroup \frac {1}{Z_{12}} \rgroup V_2 - \lgroup \frac {Z_{22}}{Z_{21}} \rgroup I_2 \rbrace + Z_{12} I_2$$

$$\Rightarrow V_1 = \lgroup \frac {Z_{11}}{Z_{21}} \rgroup V_2 - \lgroup \frac{Z_{11} Z_{22} - Z_{12} Z_{21}}{Z_{21}} \rgroup I_2$$

Step 6 − The above equation is in the form of $V_1 = AV_2 − BI_2$. Here,

$$A = \frac{Z_{11}}{Z_{21}}$$

$$B = \frac{Z_{11} Z_{22} - Z_{12} Z_{21}}{Z_{21}}$$

Step 7 − Therefore, the T parameters matrix is

$$\begin{bmatrix}A & B \\C & D \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{Z_{11}}{Z_{21}} & \frac{Z_{11}Z_{22} - Z_{12}Z_{21}}{Z_{21}} \\\frac{1}{Z_{21}} & \frac{Z_{22}}{Z_{21}} \end{bmatrix}$$

Y parameters to Z parameters

Here, we have to represent Z parameters in terms of Y parameters. So, in this case Z parameters are the desired parameters and Y parameters are the given parameters.

Step 1 − We know that, the following matrix equation of two port network regarding Z parameters as

$\begin{bmatrix}V_1 \\V_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}Z_{11} & Z_{12} \\Z_{21} & Z_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}I_1 \\I_2 \end{bmatrix}$Equation 3

Step 2 - İki port ağının Y parametreleri ile ilgili aşağıdaki matris denkleminin aşağıdaki gibi olduğunu biliyoruz:

$$\begin{bmatrix}I_1 \\I_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}Y_{11} & Y_{12} \\Y_{21} & Y_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}V_1 \\V_2 \end{bmatrix}$$

Step 3 - olarak değiştirebiliriz

$\begin{bmatrix}V_1 \\V_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}Y_{11} & Y_{12} \\Y_{21} & Y_{22} \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix}I_1 \\I_2 \end{bmatrix}$Equation 4

Step 4 - Denklem 3 ve Denklem 4'ü eşitleyerek,

$$\begin{bmatrix}Z_{11} & Z_{12} \\Z_{21} & Z_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}Y_{11} & Y_{12} \\Y_{21} & Y_{22} \end{bmatrix}^{-1}$$

$$\Rightarrow \begin{bmatrix}Z_{11} & Z_{12} \\Z_{21} & Z_{22} \end{bmatrix} = \frac{\begin{bmatrix}Y_{22} & - Y_{12} \\- Y_{21} & Y_{11} \end{bmatrix}}{\Delta Y}$$

Nerede,

$$\Delta Y = Y_{11} Y_{22} - Y_{12} Y_{21}$$

Yani, sadece yaparak inverse of Y parameters matrixZ parametreleri matrisini alacağız.

Y parametrelerinden T parametrelerine

Burada T parametrelerini Y parametreleri cinsinden göstermeliyiz. Yani bu durumda T parametreleri istenen parametrelerdir ve Y parametreleri verilen parametrelerdir.

Step 1 - Aşağıdaki iki denklem setinin, iki portlu bir ağı temsil ettiğini biliyoruz. T parameters.

$$V_1 = A V_2 - B I_2$$

$$I_1 = C V_2 - D I_2$$

Step 2 - Y parametreleri ile ilgili olarak iki port ağının aşağıdaki iki denklem setini biliyoruz.

$$I_1 = Y_{11} V_1 + Y_{12} V_2$$

$$I_2 = Y_{21} V_1 + Y_{22} V_2$$

Step 3 - Yukarıdaki denklemi şu şekilde değiştirebiliriz:

$$\Rightarrow I_2 - Y_{22} V_2 = Y_{21} V_1$$

$$\Rightarrow V_1 = \lgroup \frac{- Y_{22}}{Y_{21}} \rgroup V_2 - \lgroup \frac{-1}{Y_{21}} \rgroup I_2$$

Step 4 - Yukarıdaki denklem şu şekildedir: $V_1 = AV_2 − BI_2$. Buraya,

$$A = \frac{- Y_{22}}{Y_{21}}$$

$$B = \frac{-1}{Y_{21}}$$

Step 5 - Yedek $V_1$ 3. Adımın değeri $I_1$ Adım 2 denklemi.

$$I_1 = Y_{11} \lbrace \lgroup \frac{- Y_{22}}{Y_{21}} \rgroup V_2 - \lgroup \frac{-1}{Y_{21}} \rgroup I_2 \rbrace + Y_{12} V_2$$

$$\Rightarrow I_1 = \lgroup \frac {Y_{12} Y_{21} - Y_{11} Y_{22}}{Y_{21}} \rgroup V_2 - \lgroup \frac{- Y_{11}} {Y_{21}} \rgroup I_2$$

Step 6 - Yukarıdaki denklem şu şekildedir: $I_1 = CV_2 − DI_2$. Buraya,

$$C = \frac {Y_{12} Y_{21} - Y_{11} Y_{22}}{Y_{21}}$$

$$D = \frac{- Y_{11}} {Y_{21}}$$

Step 7 - Bu nedenle, T parameters matrix dır-dir

$$\begin{bmatrix}A & B \\C & D \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{-Y_{22}}{Y_{21}} & \frac{-1}{Y_{21}} \\\frac{Y_{12}Y_{21} - Y_{11}Y_{22}}{Y_{21}} & \frac{-Y_{11}}{Y_{21}} \end{bmatrix}$$

T parametrelerinden h parametrelerine

Burada, h parametrelerini T parametreleri cinsinden temsil etmeliyiz. Dolayısıyla bu durumda hparametreleri istenen parametrelerdir ve T parametreleri verilen parametrelerdir.

Step 1 - Aşağıdakileri biliyoruz h-parameters iki bağlantı noktalı bir ağın.

$$h_{11} = \frac{V_1}{I_1}, \: when \: V_2 = 0$$

$$h_{12} = \frac{V_1}{V_2}, \: when \: I_1 = 0$$

$$h_{21} = \frac{I_2}{I_1}, \: when \: V_2 = 0$$

$$h_{22} = \frac{I_2}{V_2}, \: when \: I_1 = 0$$

Step 2 - İki port ağının aşağıdaki iki denklem setinin, T parameters.

$V_1 = A V_2 - B I_2$Equation 5

$I_1 = C V_2 - D I_2$Equation 6

Step 3 - Yedek $V_2 = 0$ Yukarıdaki denklemlerde iki h parametresini bulmak için, $h_{11}$ ve $h_{21}$.

$$\Rightarrow V_1 = -B I_2$$

$$\Rightarrow I_1 = -D I_2$$

Vekil, $V_1$ ve $I_1$ h parametresindeki değerler, $h_{11}$.

$$h_{11} = \frac{-B I_2}{-D I_2}$$

$$\Rightarrow h_{11} = \frac{B}{D}$$

Vekil $I_1$ h parametresindeki değer $h_{21}$.

$$h_{21} = \frac{I_2}{- D I_2}$$

$$\Rightarrow h_{21} = - \frac{1}{D}$$

Step 4 - Yedek $I_1 = 0$ h parametresini bulmak için 2. adımın ikinci denkleminde $h_{22}$.

$$0 = C V_2 - D I_2$$

$$\Rightarrow C V_2 = D I_2$$

$$\Rightarrow \frac{I_2}{V_2} = \frac{C}{D}$$

$$\Rightarrow h_{22} = \frac{C}{D}$$

Step 5 - Yedek $I_2 = \lgroup \frac{C}{D} \rgroup V_2$ h parametresini bulmak için 2. adımın ilk denkleminde, $h_{12}$.

$$V_1 = A V_2 - B \lgroup \frac{C}{D} \rgroup V_2$$

$$\Rightarrow V_1 = \lgroup \frac{AD - BC}{D} \rgroup V_2$$

$$\Rightarrow \frac{V_1}{V_2} = \frac{AD - BC}{D}$$

$$\Rightarrow h_{12} = \frac{AD - BC}{D}$$

Step 6 - Bu nedenle, h parametreleri matrisi

$$\begin{bmatrix}h_{11} & h_{12} \\h_{21} & h_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{B}{D} & \frac{AD - BC}{D} \\-\frac{1}{D} & \frac{C}{D} \end{bmatrix}$$

h parametrelerinden Z parametrelerine

Burada, Z parametrelerini h-parametreleri cinsinden temsil etmeliyiz. Dolayısıyla, bu durumda Z parametreleri istenen parametrelerdir ve h-parametreleri verilen parametrelerdir.

Step 1 - İki port ağının aşağıdaki iki denklem setiyle ilgili olduğunu biliyoruz. Z parameters.

$$V_1 = Z_{11} I_1 + Z_{12} I_2$$

$$V_2 = Z_{21} I_1 + Z_{22} I_2$$

Step 2 - İki bağlantı noktalı ağın aşağıdaki iki denklem setinin, h-parameters.

$$V_1 = h_{11} I_1 + h_{12} V_2$$

$$I_2 = h_{21} I_1 + h_{22} V_2$$

Step 3 - Yukarıdaki denklemi şu şekilde değiştirebiliriz:

$$\Rightarrow I_2 - h_{21} I_1 = h_{22} V_2$$

$$\Rightarrow V_2 = \frac{I_2 - h_{21} I_1}{h_{22}}$$

$$\Rightarrow V_2 = \lgroup \frac{-h_{21}}{h_{22}} \rgroup I_1 + \lgroup \frac{1}{h_{22}} \rgroup I_2$$

Yukarıdaki denklem şu şekildedir: $V_2 = Z_{21} I_1 + Z_{22} I_2. Here,$

$$Z_{21} = \frac{-h_{21}}{h_{22}}$$

$$Z_{22} = \frac{1}{h_{22}}$$

Step 4- Adım 2'nin ilk denklemindeki V ₂ değerini değiştirin.

$$V_1 = h_{11} I_1 + h_{21} \lbrace \lgroup \frac{-h_{21}}{h_{22}} \rgroup I_1 + \lgroup \frac{1}{h_{22}} \rgroup I_2 \rbrace$$

$$\Rightarrow V_1 = \lgroup \frac{h_{11}h_{22} - h_{12}h_{21}}{h_{22}} \rgroup I_1 + \lgroup \frac{h_{12}}{h_{22}} \rgroup I_2$$

Yukarıdaki denklem şu şekildedir: $V_1 = Z_{11}I_1 + Z_{12}I_2$. Buraya,

$$Z_{11} = \frac{h_{11}h_{22} - h_{12}h_{21}}{h_{22}}$$

$$Z_{12} = \frac{h_{12}}{h_{22}}$$

Step 5 - Bu nedenle, Z parametreleri matrisi

$$\begin{bmatrix}Z_{11} & Z_{12} \\Z_{21} & Z_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{h_{11}h_{22} - h_{12}h_{21}}{h_{22}} & \frac{h_{12}}{h_{22}} \\\frac{-h_{21}}{h_{22}} & \frac{1}{h_{22}} \end{bmatrix}$$

Bu şekilde, bir parametre setini diğer parametre setine dönüştürebiliriz.

Adından da anlaşılacağı gibi filtreler, frekans bileşenlerini filtreler. Bu, belirli frekans bileşenlerine izin verdikleri ve / veya diğer bazı frekans bileşenlerini reddettikleri anlamına gelir.

Bu bölümde, konu hakkında tartışalım. passive filters. Direnç, indüktör ve kondansatör gibi pasif elemanlara sahip elektrik devreleri veya ağlarıdır.

Filtre Türleri

Filtreler esas olarak şu şekilde sınıflandırılır: four typesizin veren frekans bandına ve / veya reddeden frekans bandına bağlıdır. Aşağıda filtre türleri verilmiştir.

• Alçak geçiş filtresi
• Yüksek geçiren filtre
• Bant Geçiş Filtresi
• Bant Durdurma Filtresi

Alçak geçiş filtresi

Adından da anlaşılacağı gibi düşük geçiş filtresi, yalnızca izin verir (geçer) low frequencybileşenleri. Bu, diğer tüm yüksek frekanslı bileşenleri reddettiği (bloke ettiği) anlamına gelir.

S-alanı circuit diagram (ağ) Düşük Geçiş Filtresi aşağıdaki şekilde gösterilmektedir.

İçerisine bağlanan iki pasif eleman direnci ve kapasitörden oluşur. series. Giriş voltajı bu kombinasyonun tamamına uygulanır ve çıkış, kapasitör üzerindeki voltaj olarak kabul edilir.

Buraya, $V_i(s)$ ve $V_o(s)$ giriş voltajının Laplace dönüşümleri, $v_i(t)$ ve çıkış voltajı, $v_o(t)$ sırasıyla.

transfer function yukarıdaki ağın

$$H(s) = \frac{V_o(s)}{V_i(s)} = \frac{\frac{1}{sC}}{R + \frac{1}{sC}}$$

$$\Rightarrow H(s) = \frac{1}{1 + sCR}$$

Vekil, $s = j \omega$ yukarıdaki denklemde.

$$H(j \omega) = \frac{1}{1 + j \omega CR}$$

Transfer fonksiyonunun büyüklüğü

$$|H(j \omega)| = \frac{1}{\sqrt{(1 + (\omega CR)^2}}$$

• En ω = 0, transfer fonksiyonunun büyüklüğü 1'e eşittir.

• Şurada: $\omega = \frac{1}{CR}$, transfer fonksiyonunun büyüklüğü 0,707'ye eşittir.

• En w = ∞, transfer fonksiyonunun büyüklüğü 0 eşittir.

Bu nedenle, transfer fonksiyonunun büyüklüğü Low pass filterω 0 ile ∞ arasında değiştiğinden 1 ile 0 arasında değişecektir .

Yüksek geçiren filtre

Adından da anlaşılacağı gibi yüksek geçiş filtresi, yalnızca izin verir (geçer) high frequencybileşenleri. Bu, tüm düşük frekans bileşenlerini reddettiği (bloke ettiği) anlamına gelir.

S-alanı circuit diagram (ağ) Yüksek geçiren filtre aşağıdaki şekilde gösterilmektedir.

İçerisine bağlı iki pasif eleman kapasitör ve dirençten oluşur. series. Giriş voltajı bu kombinasyonun tamamına uygulanır ve çıkış, direnç üzerindeki voltaj olarak kabul edilir.

Buraya, $V_i(s)$ ve $V_o(s)$ giriş voltajının Laplace dönüşümleri, $v_i(t)$ ve çıkış voltajı, $v_o(t)$ sırasıyla.

transfer function yukarıdaki ağın

$$H(s) = \frac{V_o(s)}{V_i(s)} = \frac{R}{R + \frac{1}{sC}}$$

$$\Rightarrow H(s) = \frac{sCR}{1 + sCR}$$

Vekil, $s = j \omega$ yukarıdaki denklemde.

$$H(j \omega) = \frac{j \omega CR}{1 + j \omega CR}$$

Transfer fonksiyonunun büyüklüğü

$$|H(j \omega)| = \frac{\omega CR}{\sqrt{(1 + (\omega CR)^2}}$$

• En ω = 0, transfer fonksiyonunun büyüklüğü 0 eşittir.

• Şurada: $\omega = \frac{1}{CR}$, transfer fonksiyonunun büyüklüğü 0,707'ye eşittir.

• En w = ∞, transfer fonksiyonunun büyüklüğü 1'e eşittir.

Bu nedenle, transfer fonksiyonunun büyüklüğü High pass filterω 0 ile ∞ arasında değiştiğinden, 0 ile 1 arasında değişecektir .

Bant Geçiş Filtresi

Adından da anlaşılacağı gibi bant geçiş filtresi, allows sadece (geçer) one bandfrekansların. Genel olarak, bu frekans bandı, düşük frekans aralığı ile yüksek frekans aralığı arasındadır. Bu, bu filtrenin hem düşük hem de yüksek frekanslı bileşenleri reddettiği (bloke ettiği) anlamına gelir.

S-alanı circuit diagram (ağ) Bant geçiş filtresi aşağıdaki şekilde gösterilmektedir.

Bağlanan üç pasif eleman indüktör, kondansatör ve dirençten oluşur. series. Giriş voltajı bu kombinasyonun tamamına uygulanır ve çıkış, direnç üzerindeki voltaj olarak kabul edilir.

Buraya, $V_i(s)$ ve $V_o(s)$ giriş voltajının Laplace dönüşümleri, $v_i(t)$ ve çıkış voltajı, $v_o(t)$ sırasıyla.

transfer function yukarıdaki ağın

$$H(s) = \frac{V_o(s)}{V_i(s)} = \frac{R}{R + \frac{1}{sC} + sL}$$

$$\Rightarrow H(s) = \frac{s CR}{s^2 LC + sCR + 1}$$

Vekil $s = j \omega$ yukarıdaki denklemde.

$$H(j \omega) = \frac{j \omega CR}{1 - \omega^2 LC + j \omega CR}$$

Transfer fonksiyonunun büyüklüğü

$$|H(j \omega)| = \frac{\omega CR}{\sqrt{(1 - \omega^2 LC)^2 + (\omega CR)^2}}$$

• En ω = 0, transfer fonksiyonunun büyüklüğü 0 eşittir.

• Şurada: $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$, transfer fonksiyonunun büyüklüğü 1'e eşittir.

• En w = ∞, transfer fonksiyonunun büyüklüğü 0 eşittir.

Bu nedenle, transfer fonksiyonunun büyüklüğü Band pass filterω 0 ile ∞ arasında değiştiği için 0 ile 1 & 1 ile 0 arasında değişecektir.

Bant Durdurma Filtresi

Adından da anlaşılacağı gibi bant durdurma filtresi, yalnızca bir frekans bandını reddeder (bloke eder). Genel olarak, bu frekans bandı, düşük frekans aralığı ile yüksek frekans aralığı arasındadır. Yani, bu filtre hem düşük hem de yüksek frekanslı bileşenlere izin verir (geçer).

S-alanı (ağı) circuit diagramve durdurma filtresi aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

Bağlanan üç pasif eleman direnç, indüktör ve kapasitörden oluşur. series. Giriş voltajı bu kombinasyonun tamamına uygulanır ve çıkış, indüktör ve kapasitör kombinasyonundaki voltaj olarak kabul edilir.

Buraya, $V_i(s)$ ve $V_o(s)$ giriş voltajının Laplace dönüşümleri, $v_i(t)$ ve çıkış voltajı, $v_o(t)$ sırasıyla.

transfer function yukarıdaki ağın

$$H(s) = \frac{V_o(s)}{V_i(s)} = \frac{sL + \frac{1}{sC}}{R + sL + \frac{1}{sC}}$$

$$\Rightarrow H(s) = \frac{s^2 LC + 1}{s^2 LC + sCR + 1}$$

Vekil, $s = j \omega$ yukarıdaki denklemde.

$$H(j \omega) = \frac{1 - \omega^2 LC}{1 - \omega^2 LC + j \omega CR}$$

Transfer fonksiyonunun büyüklüğü

$$|H(j \omega)| = \frac{1 - \omega^2 LC}{\sqrt{(1 - \omega^2 LC)^2 + (\omega CR)^2}}$$

• En ω = 0, transfer fonksiyonunun büyüklüğü 1'e eşittir.

• Şurada: $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$, transfer fonksiyonunun büyüklüğü 0'a eşittir.

• En w = ∞, transfer fonksiyonunun büyüklüğü 1'e eşittir.

Bu nedenle, transfer fonksiyonunun büyüklüğü Band stop filterω 0 ile ∞ arasında değiştiğinden 1'den 0'a ve 0'dan 1'e değişecektir.