Ağ Topolojisi Matrisleri

Önceki bölümde, bir elektrik devresinin nasıl eşdeğer bir grafiğe dönüştürüleceğini tartışmıştık. Şimdi, herhangi bir elektrik devresi veya ağ problemini eşdeğer grafiklerini kullanarak çözmek için yararlı olan Ağ Topolojisi Matrislerini tartışalım.

Ağ Grafikleriyle İlişkili Matrisler

Aşağıda Grafik teorisinde kullanılan üç matris verilmiştir.

• Sıklık Matrisi
• Temel Döngü Matrisi
• Temel Kesim seti Matrisi

Sıklık Matrisi

Bir Olay Matrisi, belirli bir elektrik devresinin veya ağın grafiğini temsil eder. Dolayısıyla, aynı elektrik devresinin veya ağın grafiğini,incidence matrix.

Grafiğin bir dizi düğümden oluştuğunu ve bunların bazı dallarla birbirine bağlı olduğunu biliyoruz. Bu nedenle, dalların bir düğüme bağlanmasına olay denir. İnsidans matrisi A harfi ile temsil edilir. Aynı zamanda insidans matrisini dallara düğüm olarak da adlandırılır veyanode incidence matrix.

Eğer 'n' düğümleri varsa ve 'b' dalları bir directed graph, bu durumda insidans matrisinin 'n' satırı ve 'b' sütunu olacaktır. Burada satırlar ve sütunlar, yönlendirilmiş bir grafiğin düğümlerine ve dallarına karşılık gelir. Bu nedenle,order insidans matrisi olacak n × b.

elements of incidence matrix +1, -1 ve 0 olmak üzere şu üç değerden birine sahip olacaktır.

• Dal akımı seçilen bir düğümden ayrılıyorsa, elemanın değeri +1 olacaktır.

• Dal akımı seçilen bir düğüme doğru giriyorsa, elemanın değeri -1 olacaktır.

• Dal akımı ne seçilen bir düğüme girerse ne de seçilen bir düğümden çıkarsa, elemanın değeri 0 olacaktır.

İnsidans Matrisini bulma prosedürü

Yönlendirilmiş grafiğin insidans matrisini bulmak için bu adımları izleyin.

• Verilen yönlendirilmiş grafiğin bir zamanında bir düğüm seçin ve bu düğüme karşılık gelen olay matrisinin öğelerinin değerlerini arka arkaya doldurun.

• Verilen yönlendirilmiş grafiğin tüm düğümleri için yukarıdaki adımı tekrarlayın.

Misal

Aşağıdakileri göz önünde bulundur directed graph.

incidence matrix yukarıdaki grafiğe karşılık gelen

$$ A = \ başla {bmatrix} -1 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & -1 \ end {bmatrix} $$

Yukarıdaki matrisin satırları ve sütunları, verilen yönlendirilmiş grafiğin düğümlerini ve dallarını temsil eder. Bu insidans matrisinin sırası 4 × 6'dır.

Yukarıdaki insidans matrisini gözlemleyerek, şu sonuca varabiliriz: summationİnsidans matrisinin sütun elemanlarının sayısı sıfıra eşittir. Bu, dal akımının bir düğümden ayrıldığı ve yalnızca başka bir tek düğüme girdiği anlamına gelir.

Note- Verilen grafik yönlendirilmemiş bir türse, her dalındaki okları temsil ederek onu yönlendirilmiş grafiğe dönüştürün. Her daldaki gelişigüzel akım yönünü düşünebiliriz.

Temel Döngü Matrisi

Temel döngü veya f-loopyalnızca bir bağlantı ve bir veya daha fazla dal içeren bir döngüdür. Yani, f-döngülerinin sayısı bağlantıların sayısına eşit olacaktır. Temel döngü matrisi B harfi ile temsil edilir.fundamental circuit matrixve Tie-set matrisi. Bu matris, dal akımları ile bağlantı akımları arasındaki ilişkiyi verir.

Eğer 'n' düğümleri varsa ve 'b' dalları bir directed graph, bu durumda bir ortak ağaçta bulunan ve verilen grafiğin seçilen ağacına karşılık gelen bağlantıların sayısı b-n + 1 olacaktır.

Bu nedenle, temel döngü matrisi 'b-n + 1' satırlarına ve 'b' sütunlarına sahip olacaktır. Burada, satırlar ve sütunlar ortak ağacın ve verilen grafiğin dallarının bağlantılarına karşılık gelir. Bu nedenle, temel döngü matrisinin sırası(b - n + 1) × b.

elements of fundamental loop matrix +1, -1 ve 0 olmak üzere şu üç değerden birine sahip olacaktır.

• Seçili f-döngüsünün bağlantısı için öğenin değeri +1 olacaktır.

• Öğelerin değeri, seçilen f döngüsünün parçası olmayan kalan bağlantılar ve dallar için 0 olacaktır.

• Seçilen f-döngüsünün dal akımının yönü, f-döngüsünün bağlantı akımınınki ile aynıysa, elemanın değeri +1 olacaktır.

• Seçilen f-döngüsünün dal akımının yönü, f-döngüsünün bağlantı akımınınkinin tersi ise, elemanın değeri -1 olacaktır.

Temel Döngü Matrisini Bulma Prosedürü

Verilen yönlendirilmiş grafiğin temel döngü matrisini bulmak için bu adımları izleyin.

• Verilen yönlendirilmiş grafiğin bir ağacını seçin.

• Her seferinde bir bağlantı ekleyerek, bir f-döngüsü elde edeceğiz. Bu f-döngüsüne karşılık gelen elemanların değerlerini bir temel döngü matrisi satırında doldurun.

• Tüm bağlantılar için yukarıdaki adımı tekrarlayın.

Misal

Aşağıdaki Ağacına bir göz atın directed graph, insidans matrisi için dikkate alınır.

Yukarıdaki Ağaç d, e ve f olmak üzere üç dal içerir. Bu nedenle, a, b ve c dalları, yukarıdaki Ağaca karşılık gelen Eş-Ağacın bağlantıları olacaktır. Yukarıdaki Ağaca her seferinde bir bağlantı ekleyerek, bir tane alacağızf-loop. Yani, üç tane olacakf-loops, çünkü üç bağlantı var. Bu üç f döngüsü aşağıdaki şekilde gösterilmektedir.

Yukarıdaki şekilde renkli çizgilerle gösterilen dallar f-ilmekleri oluşturur. Her f döngüsünden Tie-set matrisinin satır bazlı eleman değerlerini alacağız. BöyleceTieset matrix Yukarıda değerlendirilen Ağaçlardan

$$ B = \ başla {bmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 1 \ son {bmatrix} $$

Yukarıdaki matrisin satırları ve sütunları, verilen yönlendirilmiş grafiğin bağlantılarını ve dallarını temsil eder. Bu insidans matrisinin sırası 3 × 6'dır.

number of Fundamental loop matricesYönlendirilmiş bir grafiğin değeri, yönlendirilmiş grafiğin Ağaç sayısına eşit olacaktır. Çünkü, her Ağaç bir Temel döngü matrisine sahip olacaktır.

Temel Kesim Seti Matrisi

Temel kesim seti veya f-cut setorijinal grafiğin iki ayrı alt grafiğe dönüşeceği şekilde bir grafikten kaldırılan minimum dal sayısıdır. F kesim seti yalnızcaone twigve bir veya daha fazla bağlantı. Bu nedenle, f-kesim setlerinin sayısı dal sayısına eşit olacaktır.

Fundamental cut set matrix C harfi ile temsil edilir. Bu matris, dal gerilimleri ile dal gerilimleri arasındaki ilişkiyi verir.

Eğer 'n' düğümleri varsa ve 'b' dalları bir directed graph, verilen grafiğin seçilen Ağaçta bulunan dal sayısı n-1 olacaktır. Bu nedenle, temel kesme seti matrisi 'n-1' satırlarına ve 'b' sütunlarına sahip olacaktır. Burada, satırlar ve sütunlar, seçilen ağacın dallarına ve verilen grafiğin dallarına karşılık gelir. Bu nedenle,order temel kesim seti matrisinin (n-1) × b.

elements of fundamental cut set matrix +1, -1 ve 0 olmak üzere şu üç değerden birine sahip olacaktır.

• Elemanın değeri, seçilen f-kesim kümesinin dal için +1 olacaktır.

• Öğelerin değeri, seçilen f kesiminin parçası olmayan kalan dallar ve bağlantılar için 0 olacaktır.

• Seçili f kesim setinin bağlantı akımının yönü f kesimli dal akımınınkiyle aynıysa, elemanın değeri +1 olacaktır.

• Seçili f kesim setinin bağlantı akımının yönü f kesimli dal akımının yönünün tersi ise, elemanın değeri -1 olacaktır.

Temel Kesim Seti Matrisini Bulma Prosedürü

Verilen yönlendirilmiş grafiğin temel kesim seti matrisini bulmak için bu adımları izleyin.

• Verilen yönlendirilmiş grafikten bir Ağaç seçin ve bağlantıları noktalı çizgilerle temsil edin.

• Her seferinde bir dal ve gerekli bağlantıları kaldırarak, bir f-cut seti elde edeceğiz. Bu f-cut setine karşılık gelen elemanların değerlerini, bir temel kesim seti matrisi satırında doldurun.

• Tüm dallar için yukarıdaki adımı tekrarlayın.

Misal

Aynısını düşünün directed graph , insidans matrisi bölümünde tartıştığımız. Bu yönlendirilmiş grafiğin d, e ve f dallarını ince dallar olarak seçin. Dolayısıyla, bu yönlendirilmiş grafiğin kalan a, b ve c dalları bağlantılar olacaktır.

twigs d, e & f düz çizgilerle temsil edilir ve links a, b & c aşağıdaki şekilde noktalı çizgilerle temsil edilmektedir.

Her seferinde bir dal ve gerekli bağlantıları kaldırarak, bir f-cut seti elde edeceğiz. Yani, üç dal olduğu için üç f-kesim seti olacak. Bu üçf-cut sets aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

Bir dizi dal ve C ₁ , C ₂ ve C ₃ bağlantılarını kaldırarak üç f-cut setimiz olacak . Her f-kesim setinden temel kesme seti matrisinin satır bazlı eleman değerlerini alacağız. Böylecefundamental cut set matrix Yukarıda değerlendirilen Ağaçlardan

$$ C = \ başla {bmatrix} 1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 \ son {bmatrix} $$

Yukarıdaki matrisin satırları ve sütunları, verilen yönlendirilmiş grafiğin dallarını ve dallarını temsil eder. Bu temel kesme seti matrisinin sırası 3 × 6'dır.

number of Fundamental cut set matricesYönlendirilmiş bir grafiğin değeri, yönlendirilmiş grafiğin Ağaç sayısına eşit olacaktır. Çünkü her Ağaçta bir Temel kesme seti matrisi olacaktır.