Systemy sterowania - kompensatory
Istnieją trzy typy kompensatorów - kompensatory opóźnione, wyprzedzające i opóźnione. Są to najczęściej używane.
Kompensator opóźnienia
Kompensator opóźnienia jest siecią elektryczną, która wytwarza sygnał wyjściowy o przebiegu sinusoidalnym z opóźnieniem fazowym po przyłożeniu wejścia sinusoidalnego. Obwód kompensatora opóźnienia w domenie „s” pokazano na poniższym rysunku.
Tutaj kondensator jest połączony szeregowo z rezystorem $ R_2 $, a moc wyjściowa jest mierzona w tej kombinacji.
Funkcja przenoszenia tego kompensatora opóźnienia wynosi -
$$ \ frac {V_o (s)} {V_i (s)} = \ frac {1} {\ alpha} \ left (\ frac {s + \ frac {1} {\ tau}} {s + \ frac {1} {\ alpha \ tau}} \ right) $$
Gdzie,
$$ \ tau = R_2C $$
$$ \ alpha = \ frac {R_1 + R_2} {R_2} $$
Z powyższego równania, $ \ alpha $ jest zawsze większe niż jeden.
Z funkcji transferu możemy wywnioskować, że kompensator opóźnienia ma jeden biegun przy $ s = - \ frac {1} {\ alpha \ tau} $ i jedno zero przy $ s = - \ frac {1} {\ tau} $ . Oznacza to, że biegun będzie bliżej początku w konfiguracji bieguna zerowego kompensatora opóźnienia.
Zastępujemy $ s = j \ omega $ w funkcji transferu.
$$ \ frac {V_o (j \ omega)} {V_i (j \ omega)} = \ frac {1} {\ alpha} \ left (\ frac {j \ omega + \ frac {1} {\ tau}} { j \ omega + \ frac {1} {\ alpha \ tau}} \ right) $$
Kąt fazowy $ \ phi = \ tan ^ {- 1} \ omega \ tau - tan ^ {- 1} \ alpha \ omega \ tau $
Wiemy, że faza wyjściowego sygnału sinusoidalnego jest równa sumie kątów fazowych wejściowego sygnału sinusoidalnego i transmitancji.
Tak więc, aby wytworzyć opóźnienie fazowe na wyjściu tego kompensatora, kąt fazowy funkcji transferu powinien być ujemny. Stanie się tak, gdy $ \ alpha> 1 $.
Lead Compensator
Kompensator ołowiu jest siecią elektryczną, która wytwarza sinusoidalne wyjście z przewodem fazowym, gdy przyłożone jest sinusoidalne wejście. Na poniższym rysunku przedstawiono obwód kompensatora ołowiu w domenie „s”.
Tutaj kondensator jest równoległy do rezystora $ R_1 $, a wyjście jest mierzone na rezystorze $ R_2.
Funkcja przenoszenia tego kompensatora ołowiu to -
$$ \ frac {V_o (s)} {V_i (s)} = \ beta \ left (\ frac {s \ tau + 1} {\ beta s \ tau + 1} \ right) $$
Gdzie,
$$ \ tau = R_1C $$
$$ \ beta = \ frac {R_2} {R_1 + R_2} $$
Z funkcji transferu możemy wywnioskować, że kompensator wiodący ma biegun na $ s = - \ frac {1} {\ beta} $ i zero na $ s = - \ frac {1} {\ beta \ tau} $.
Zastępujemy $ s = j \ omega $ w funkcji transferu.
$$ \ frac {V_o (j \ omega)} {V_i (j \ omega)} = \ beta \ left (\ frac {j \ omega \ tau + 1} {\ beta j \ omega \ tau + 1} \ right ) $$
Kąt fazowy $ \ phi = tan ^ {- 1} \ omega \ tau - tan ^ {- 1} \ beta \ omega \ tau $
Wiemy, że faza wyjściowego sygnału sinusoidalnego jest równa sumie kątów fazowych wejściowego sygnału sinusoidalnego i transmitancji.
Tak więc, aby wytworzyć skok fazowy na wyjściu tego kompensatora, kąt fazowy funkcji transferu powinien być dodatni. Stanie się tak, gdy $ 0 <\ beta <1 $. Dlatego zero będzie bliżej początku w konfiguracji biegunowo-zerowej kompensatora wiodącego.
Kompensator opóźnienia ołowiu
Kompensator Lag-Lead to sieć elektryczna, która wytwarza opóźnienie fazowe w jednym obszarze częstotliwości i przewodzenie fazowe w innym obszarze częstotliwości. Jest to połączenie kompensatorów opóźnienia i wiodących. Obwód kompensatora opóźnienia wyprzedzenia w domenie „s” pokazano na poniższym rysunku.
Ten obwód wygląda na to, że oba kompensatory są połączone kaskadowo. Zatem funkcja przenoszenia tego obwodu będzie iloczynem funkcji przenoszenia kompensatorów ołowiu i opóźnienia.
$$ \ frac {V_o (s)} {V_i (s)} = \ beta \ left (\ frac {s \ tau_1 + 1} {\ beta s \ tau_1 + 1} \ right) \ frac {1} {\ alpha} \ left (\ frac {s + \ frac {1} {\ tau_2}} {s + \ frac {1} {\ alpha \ tau_2}} \ right) $$
Wiemy, że $ \ alpha \ beta = 1 $.
$$ \ Rightarrow \ frac {V_o (s)} {V_i (s)} = \ left (\ frac {s + \ frac {1} {\ tau_1}} {s + \ frac {1} {\ beta \ tau_1}} \ right) \ left (\ frac {s + \ frac {1} {\ tau_2}} {s + \ frac {1} {\ alpha \ tau_2}} \ right) $$
Gdzie,
$$ \ tau_1 = R_1C_1 $$
$$ \ tau_2 = R_2C_2 $$