Systemy sterowania - błędy stanu ustalonego
Odchylenie sygnału wyjściowego układu sterowania od żądanej odpowiedzi w stanie ustalonym jest znane jako steady state error. Jest reprezentowany jako $ e_ {ss} $. Możemy znaleźć błąd stanu ustalonego za pomocą twierdzenia o wartości końcowej w następujący sposób.
$$ e_ {ss} = \ lim_ {t \ to \ infty} e (t) = \ lim_ {s \ to 0} sE (s) $$
Gdzie,
E (s) to transformata Laplace'a sygnału błędu, $ e (t) $
Omówmy, jak znaleźć błędy stanu ustalonego dla jednościowych sprzężeń zwrotnych i innych niż jedność systemów sterowania sprzężeniem zwrotnym jeden po drugim.
Błędy stanu ustalonego dla systemów sprzężenia zwrotnego Unity
Rozważ poniższy schemat blokowy systemu sterowania w pętli zamkniętej, który ma jedność ujemną sprzężenie zwrotne.
Gdzie,
- R (s) jest transformatą Laplace'a referencyjnego sygnału wejściowego $ r (t) $
- C (s) to transformata Laplace'a sygnału wyjściowego $ c (t) $
Znamy funkcję przenoszenia systemu sterowania w zamkniętej pętli z ujemnym sprzężeniem zwrotnym jedności jako
$$ \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {G (s)} {1 + G (s)} $$
$$ \ Rightarrow C (s) = \ frac {R (s) G (s)} {1 + G (s)} $$
Wynik punktu sumowania to -
$$ E (s) = R (s) -C (s) $$
Podstaw $ C (s) $ wartość w powyższym równaniu.
$$ E (s) = R (s) - \ frac {R (s) G (s)} {1 + G (s)} $$
$$ \ Rightarrow E (s) = \ frac {R (s) + R (s) G (s) -R (s) G (s)} {1 + G (s)} $$
$$ \ Rightarrow E (s) = \ frac {R (s)} {1 + G (s)} $$
Zastąp $ E (s) $ wartość we wzorze na błąd stanu ustalonego
$$ e_ {ss} = \ lim_ {s \ to 0} \ frac {sR (s)} {1 + G (s)} $$
Poniższa tabela przedstawia błędy stanu ustalonego i stałe błędu dla standardowych sygnałów wejściowych, takich jak krok jednostki, rampa jednostki i sygnały paraboliczne jednostki.
| Sygnał wejściowy | Błąd stanu ustalonego $ e_ {ss} $ | Błąd stały |
|---|---|---|
sygnał kroku jednostki |
$ \ frac {1} {1 + k_p} $ |
$ K_p = \ lim_ {s \ do 0} G (s) $ |
sygnał rampy jednostki |
$ \ frac {1} {K_v} $ |
$ K_v = \ lim_ {s \ do 0} sG (s) $ |
jednostkowy sygnał paraboliczny |
$ \ frac {1} {K_a} $ |
$ K_a = \ lim_ {s \ do 0} s ^ 2G (s) $ |
Gdzie $ K_p $, $ K_v $ i $ K_a $ to odpowiednio stała błędu pozycji, stała błędu prędkości i stała błędu przyspieszenia.
Note - Jeżeli którykolwiek z powyższych sygnałów wejściowych ma amplitudę inną niż jedność, należy pomnożyć odpowiedni błąd stanu ustalonego przez tę amplitudę.
Note- Nie możemy zdefiniować błędu stanu ustalonego dla jednostkowego sygnału impulsowego, ponieważ istnieje on tylko u źródła. Nie możemy więc porównać odpowiedzi impulsowej z wartością wejściową impulsu jednostki jakot oznacza nieskończoność.
Przykład
Znajdźmy błąd stanu ustalonego dla sygnału wejściowego $ r (t) = \ left (5 + 2t + \ frac {t ^ 2} {2} \ right) u (t) $ systemu kontroli ujemnego sprzężenia zwrotnego z $ G (s) = \ frac {5 (s + 4)} {s ^ 2 (s + 1) (s + 20)} $
Podany sygnał wejściowy jest połączeniem trzech sygnałów krokowych, narastających i parabolicznych. Poniższa tabela przedstawia stałe błędu i wartości błędu stanu ustalonego dla tych trzech sygnałów.
| Sygnał wejściowy | Błąd stały | Błąd stanu ustalonego |
|---|---|---|
$ r_1 (t) = 5u (t) $ |
$ K_p = \ lim_ {s \ do 0} G (s) = \ infty $ |
$ e_ {ss1} = \ frac {5} {1 + k_p} = 0 $ |
$ r_2 (t) = 2tu (t) $ |
$ K_v = \ lim_ {s \ to 0} sG (s) = \ infty $ |
$ e_ {ss2} = \ frac {2} {K_v} = 0 $ |
$ r_3 (t) = \ frac {t ^ 2} {2} u (t) $ |
$ K_a = \ lim_ {s \ do 0} s ^ 2G (s) = 1 $ |
$ e_ {ss3} = \ frac {1} {k_a} = 1 $ |
Otrzymamy ogólny błąd stanu ustalonego, dodając powyższe trzy błędy stanu ustalonego.
$$ e_ {ss} = e_ {ss1} + e_ {ss2} + e_ {ss3} $$
$$ \ Rightarrow e_ {ss} = 0 + 0 + 1 = 1 $$
Dlatego otrzymaliśmy błąd stanu ustalonego $ e_ {ss} $ as 1 w tym przykładzie.
Błędy stanu ustalonego dla systemów sprzężenia zwrotnego innych niż jedność
Rozważ poniższy schemat blokowy układu sterowania w pętli zamkniętej, który ma ujemne sprzężenie zwrotne bez sprzężenia zwrotnego.
Możemy znaleźć błędy stanu ustalonego tylko dla systemów sprzężenia zwrotnego jedności. Musimy więc przekształcić system sprzężenia zwrotnego nie-jedności w system sprzężenia zwrotnego jedności. W tym celu na powyższym schemacie blokowym należy uwzględnić jedną ścieżkę dodatniego sprzężenia zwrotnego i jedną ścieżkę ujemnego sprzężenia zwrotnego. Nowy schemat blokowy wygląda tak, jak pokazano poniżej.
Uprość powyższy schemat blokowy, zachowując ujemne sprzężenie zwrotne jedności bez zmian. Poniżej przedstawiono uproszczony schemat blokowy.
Ten schemat blokowy przypomina schemat blokowy układu sterowania w pętli zamkniętej z ujemnym sprzężeniem zwrotnym jedności. Tutaj pojedynczy blok ma funkcję transferu $ \ frac {G (s)} {1 + G (s) H (s) -G (s)} $ zamiast $ G (s) $. Możesz teraz obliczyć błędy stanu ustalonego, używając wzoru błędu stanu ustalonego podanego dla systemów jedności z ujemnym sprzężeniem zwrotnym.
Note- Nie ma sensu znajdowanie błędów stanu ustalonego dla niestabilnych systemów zamkniętej pętli. Tak więc musimy obliczyć błędy stanu ustalonego tylko dla stabilnych systemów z zamkniętą pętlą. Oznacza to, że musimy sprawdzić, czy system sterowania jest stabilny, czy nie, przed znalezieniem błędów stanu ustalonego. W następnym rozdziale omówimy stabilność związaną z pojęciami.