Odpowiedź systemu drugiego rzędu

W tym rozdziale omówimy odpowiedź czasową systemu drugiego rzędu. Rozważ następujący schemat blokowy systemu sterowania w pętli zamkniętej. Tutaj funkcja przesyłania w otwartej pętli, $ \ frac {\ omega ^ 2_n} {s (s + 2 \ delta \ omega_n)} $ jest połączona z ujemnym sprzężeniem zwrotnym równym jedności.

Wiemy, że funkcja transferu systemu sterowania w zamkniętej pętli ma jedność ujemnego sprzężenia zwrotnego

$$ \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {G (s)} {1 + G (s)} $$

Zastąp $ G (s) = \ frac {\ omega ^ 2_n} {s (s + 2 \ delta \ omega_n)} $ w powyższym równaniu.

$$ \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {\ left (\ frac {\ omega ^ 2_n} {s (s + 2 \ delta \ omega_n)} \ right)} {1+ \ left (\ frac {\ omega ^ 2_n} {s (s + 2 \ delta \ omega_n)} \ right)} = \ frac {\ omega _n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ delta \ omega _ns + \ omega _n ^ 2} $$

W mianowniku potęga „s” wynosi dwa. W związku z tym powyższa funkcja transferu jest drugiego rzędu i mówi się, że system jestsecond order system.

Charakterystyczne równanie to -

$$ s ^ 2 + 2 \ delta \ omega _ns + \ omega _n ^ 2 = 0 $$

Korzenie charakterystycznego równania to -

$$ s = \ frac {-2 \ omega \ delta _n \ pm \ sqrt {(2 \ delta \ omega _n) ^ 2-4 \ omega _n ^ 2}} {2} = \ frac {-2 (\ delta \ omega _n \ pm \ omega _n \ sqrt {\ delta ^ 2-1})} {2} $$

$$ \ Rightarrow s = - \ delta \ omega_n \ pm \ omega _n \ sqrt {\ delta ^ 2-1} $$

• Dwa pierwiastki są urojone, gdy δ = 0.
• Te dwa pierwiastki są rzeczywiste i równe, gdy δ = 1.
• Te dwa pierwiastki są rzeczywiste, ale nie są równe, gdy δ> 1.
• Dwa pierwiastki są koniugatem zespolonym, gdy 0 <δ <1.

Możemy zapisać równanie $ C (s) $ jako,

$$ C (s) = \ left (\ frac {\ omega _n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ delta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2} \ right) R (s) $$

Gdzie,

• C(s) jest transformatą Laplace'a sygnału wyjściowego, c (t)

• R(s) jest transformatą Laplace'a sygnału wejściowego, r (t)

• ω_n jest częstotliwością naturalną

• δ to współczynnik tłumienia.

Wykonaj poniższe czynności, aby uzyskać odpowiedź (dane wyjściowe) systemu drugiego rzędu w dziedzinie czasu.

• Weź transformatę Laplace'a sygnału wejściowego, $ r (t) $.

• Rozważmy równanie, $ C (s) = \ left (\ frac {\ omega _n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ delta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2} \ right) R (s) $

• Zastąp $ R (s) $ wartość w powyższym równaniu.

• W razie potrzeby wykonaj częściowe ułamki $ C (s) $.

• Zastosuj odwrotną transformatę Laplace'a do $ C (s) $.

Odpowiedź krokowa systemu drugiego rzędu

Rozważmy sygnał kroku jednostki jako wejście do systemu drugiego rzędu.

Transformata Laplace'a jednostkowego sygnału kroku wynosi,

$$ R (s) = \ frac {1} {s} $$

Wiemy, że funkcja transferu systemu sterowania w pętli zamkniętej drugiego rzędu to:

$$ \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {\ omega _n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ delta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2} $$

Przypadek 1: δ = 0

Zastępujemy $ \ delta = 0 $ w funkcji transferu.

$$ \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {\ omega_n ^ 2} {s ^ 2 + \ omega_n ^ 2} $$

$$ \ Rightarrow C (s) = \ left (\ frac {\ omega_n ^ 2} {s ^ 2 + \ omega_n ^ 2} \ right) R (s) $$

Zastąp $ R (s) = \ frac {1} {s} $ w powyższym równaniu.

$$ C (s) = \ left (\ frac {\ omega_n ^ 2} {s ^ 2 + \ omega_n ^ 2} \ right) \ left (\ frac {1} {s} \ right) = \ frac {\ omega_n ^ 2} {s (s ^ 2 + \ omega_n ^ 2)} $$

Zastosuj odwrotną transformatę Laplace'a po obu stronach.

$$ c (t) = \ left (1- \ cos (\ omega_n t) \ right) u (t) $$

Zatem odpowiedź skokowa jednostkowa systemu drugiego rzędu, gdy $ / delta = 0 $ będzie ciągłym sygnałem czasowym o stałej amplitudzie i częstotliwości.

Przypadek 2: δ = 1

Podstawienie, $ / delta = 1 $ w funkcji transferu.

$$ \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {\ omega_n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ omega_ns + \ omega_n ^ 2} $$

$$ \ Rightarrow C (s) = \ left (\ frac {\ omega_n ^ 2} {(s + \ omega_n) ^ 2} \ right) R (s) $$

Zastąp $ R (s) = \ frac {1} {s} $ w powyższym równaniu.

$$ C (s) = \ left (\ frac {\ omega_n ^ 2} {(s + \ omega_n) ^ 2} \ right) \ left (\ frac {1} {s} \ right) = \ frac {\ omega_n ^ 2} {s (s + \ omega_n) ^ 2} $$

Wykonaj częściowe ułamki $ C (s) $.

$$ C (s) = \ frac {\ omega_n ^ 2} {s (s + \ omega_n) ^ 2} = \ frac {A} {s} + \ frac {B} {s + \ omega_n} + \ frac {C } {(s + \ omega_n) ^ 2} $$

Po uproszczeniu otrzymasz wartości A, B i C jako 1 $, \: -1 \: i \: - \ omega _n $. Zastąp te wartości w powyższym częściowym rozszerzeniem ułamkowym $ C (s) $.

$$ C (s) = \ frac {1} {s} - \ frac {1} {s + \ omega_n} - \ frac {\ omega_n} {(s + \ omega_n) ^ 2} $$

Zastosuj odwrotną transformatę Laplace'a po obu stronach.

$$ c (t) = (1-e ^ {- \ omega_nt} - \ omega _nte ^ {- \ omega_nt}) u (t) $$

Zatem odpowiedź skokowa jednostkowa systemu drugiego rzędu będzie próbowała osiągnąć wejście krokowe w stanie ustalonym.

Przypadek 3: 0 <δ <1

Możemy zmodyfikować termin mianownika funkcji transferu w następujący sposób -

$$ s ^ 2 + 2 \ delta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2 = \ left \ {s ^ 2 + 2 (s) (\ delta \ omega_n) + (\ delta \ omega_n) ^ 2 \ right \} + \ omega_n ^ 2 - (\ delta \ omega_n) ^ 2 $$

$$ = (s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ omega_n ^ 2 (1- \ delta ^ 2) $$

Funkcja transferu staje się

$$ \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {\ omega_n ^ 2} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ omega_n ^ 2 (1- \ delta ^ 2)} $ $

$$ \ Rightarrow C (s) = \ left (\ frac {\ omega_n ^ 2} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ omega_n ^ 2 (1- \ delta ^ 2)} \ right) R (s ) $$

Zastąp $ R (s) = \ frac {1} {s} $ w powyższym równaniu.

$$ C (s) = \ left (\ frac {\ omega_n ^ 2} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ omega_n ^ 2 (1- \ delta ^ 2)} \ right) \ left (\ frac {1} {s} \ right) = \ frac {\ omega_n ^ 2} {s \ left ((s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ omega_n ^ 2 (1- \ delta ^ 2) \ right)} $ $

Wykonaj częściowe ułamki $ C (s) $.

$$ C (s) = \ frac {\ omega_n ^ 2} {s \ left ((s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ omega_n ^ 2 (1- \ delta ^ 2) \ right)} = \ frac { A} {s} + \ frac {Bs + C} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ omega_n ^ 2 (1- \ delta ^ 2)} $$

Po uproszczeniu otrzymasz wartości A, B i C jako $ 1, \: -1 \: i \: −2 \ delta \ omega _n $. Zastąp te wartości w powyższej częściowej ekspansji C (s).

$$ C (s) = \ frac {1} {s} - \ frac {s + 2 \ delta \ omega_n} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ omega_n ^ 2 (1- \ delta ^ 2) } $$

$$ C (s) = \ frac {1} {s} - \ frac {s + \ delta \ omega_n} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ omega_n ^ 2 (1- \ delta ^ 2)} - \ frac {\ delta \ omega_n} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ omega_n ^ 2 (1- \ delta ^ 2)} $$

$ C (s) = \ frac {1} {s} - \ frac {(s + \ delta \ omega_n)} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + (\ omega_n \ sqrt {1- \ delta ^ 2} ) ^ 2} - \ frac {\ delta} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ left (\ frac {\ omega_n \ sqrt {1- \ delta ^ 2}} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + (\ omega_n \ sqrt {1- \ delta ^ 2}) ^ 2} \ right) $

Zastąp $ \ omega_n \ sqrt {1- \ delta ^ 2} $ as $ \ omega_d $ w powyższym równaniu.

$$ C (s) = \ frac {1} {s} - \ frac {(s + \ delta \ omega_n)} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ omega_d ^ 2} - \ frac {\ delta} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ left (\ frac {\ omega_d} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ omega_d ^ 2} \ right) $$

Zastosuj odwrotną transformatę Laplace'a po obu stronach.

$$ c (t) = \ left (1-e ^ {- \ delta \ omega_nt} \ cos (\ omega_dt) - \ frac {\ delta} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} e ^ {- \ delta \ omega_nt} \ sin (\ omega_dt) \ right) u (t) $$

$$ c (t) = \ left (1- \ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ left ((\ sqrt {1- \ delta ^ 2 }) \ cos (\ omega_dt) + \ delta \ sin (\ omega_dt) \ right) \ right) u (t) $$

Jeśli $ \ sqrt {1- \ delta ^ 2} = \ sin (\ theta) $, to 'δ' będzie równe cos (θ). Zastąp te wartości w powyższym równaniu.

$$ c (t) = \ left (1- \ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} (\ sin (\ theta) \ cos (\ omega_dt) + \ cos (\ theta) \ sin (\ omega_dt)) \ right) u (t) $$

$$ \ Rightarrow c (t) = \ left (1- \ left (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ sin (\ omega_dt + \ theta) \ right) u (t) $$

Tak więc odpowiedź skokowa jednostkowa układu drugiego rzędu ma tłumione oscylacje (malejącą amplitudę), gdy „δ” mieści się między zerem a jedynką.

Przypadek 4: δ> 1

Możemy zmodyfikować termin mianownika funkcji transferu w następujący sposób -

$$ s ^ 2 + 2 \ delta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2 = \ left \ {s ^ 2 + 2 (s) (\ delta \ omega_n) + (\ delta \ omega_n) ^ 2 \ right \} + \ omega_n ^ 2 - (\ delta \ omega_n) ^ 2 $$

$$ = \ left (s + \ delta \ omega_n \ right) ^ 2- \ omega_n ^ 2 \ left (\ delta ^ 2-1 \ right) $$

Funkcja transferu staje się

$$ \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {\ omega_n ^ 2} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2- \ omega_n ^ 2 (\ delta ^ 2-1)} $ $

$$ \ Rightarrow C (s) = \ left (\ frac {\ omega_n ^ 2} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2- \ omega_n ^ 2 (\ delta ^ 2-1)} \ right) R (s ) $$

Zastąp $ R (s) = \ frac {1} {s} $ w powyższym równaniu.

$ C (s) = \ left (\ frac {\ omega_n ^ 2} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2 - (\ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}) ^ 2} \ right) \ left (\ frac {1} {s} \ right) = \ frac {\ omega_n ^ 2} {s (s + \ delta \ omega_n + \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}) (s + \ delta \ omega_n- \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1})} $

Wykonaj częściowe ułamki $ C (s) $.

$$ C (s) = \ frac {\ omega_n ^ 2} {s (s + \ delta \ omega_n + \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}) (s + \ delta \ omega_n- \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1})} $$

$$ = \ frac {A} {s} + \ frac {B} {s + \ delta \ omega_n + \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}} + \ frac {C} {s + \ delta \ omega_n- \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}} $$

Po uproszczeniu otrzymasz wartości A, B i C jako 1, $ \ frac {1} {2 (\ delta + \ sqrt {\ delta ^ 2-1}) (\ sqrt {\ delta ^ 2-1} )} $ i $ \ frac {-1} {2 (\ delta- \ sqrt {\ delta ^ 2-1}) (\ sqrt {\ delta ^ 2-1})} $ odpowiednio. Zastąp te wartości w powyższym częściowym rozszerzeniem ułamkowym $ C (s) $.

$$ C (s) = \ frac {1} {s} + \ frac {1} {2 (\ delta + \ sqrt {\ delta ^ 2-1}) (\ sqrt {\ delta ^ 2-1})} \ left (\ frac {1} {s + \ delta \ omega_n + \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}} \ right) - \ left (\ frac {1} {2 (\ delta- \ sqrt {\ delta ^ 2-1}) (\ sqrt {\ delta ^ 2-1})} \ right) \ left (\ frac {1} {s + \ delta \ omega_n- \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}} \ right) $$

Zastosuj odwrotną transformatę Laplace'a po obu stronach.

$ c (t) = \ left (1+ \ left (\ frac {1} {2 (\ delta + \ sqrt {\ delta ^ 2-1}) (\ sqrt {\ delta ^ 2-1})} \ right ) e ^ {- (\ delta \ omega_n + \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}) t} - \ left (\ frac {1} {2 (\ delta- \ sqrt {\ delta ^ 2-1} ) (\ sqrt {\ delta ^ 2-1})} \ right) e ^ {- (\ delta \ omega_n- \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}) t} \ right) u (t) $

Ponieważ jest nadmiernie wytłumiony, odpowiedź skokowa jednostki układu drugiego rzędu, gdy δ> 1, nigdy nie osiągnie wartości wejściowej kroku w stanie ustalonym.

Odpowiedź impulsowa systemu drugiego rzędu

Plik impulse response systemu drugiego rzędu można uzyskać za pomocą jednej z tych dwóch metod.

• Postępuj zgodnie z procedurą podczas uzyskiwania odpowiedzi krokowej, biorąc pod uwagę wartość $ R (s) $ jako 1 zamiast $ \ frac {1} {s} $.

• Wykonaj zróżnicowanie odpowiedzi krokowej.

Poniższa tabela przedstawia odpowiedź impulsową układu drugiego rzędu dla 4 przypadków współczynnika tłumienia.

Stan współczynnika tłumienia	Odpowiedź impulsowa dla t ≥ 0
δ = 0	$ \ omega_n \ sin (\ omega_nt) $
δ = 1	$ \ omega_n ^ 2te ^ {- \ omega_nt} $
0 <δ <1	$ \ left (\ frac {\ omega_ne ^ {- \ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ sin (\ omega_dt) $
δ> 1	$ \ left (\ frac {\ omega_n} {2 \ sqrt {\ delta ^ 2-1}} \ right) \ left (e ^ {- (\ delta \ omega_n- \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1 }) t} -e ^ {- (\ delta \ omega_n + \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}) t} \ right) $