Systemy sterowania - modele matematyczne
Systemy sterowania można przedstawić za pomocą zestawu równań matematycznych znanych jako mathematical model. Modele te są przydatne do analizy i projektowania systemów sterowania. Analiza systemu sterowania polega na znalezieniu wyniku, gdy znamy dane wejściowe i model matematyczny. Projektowanie systemu sterowania polega na znalezieniu modelu matematycznego, znając dane wejściowe i wyjściowe.
Najczęściej używane są następujące modele matematyczne.
- Model równań różniczkowych
- Model funkcji transferu
- Model przestrzeni stanów
Omówmy pierwsze dwa modele w tym rozdziale.
Model równań różniczkowych
Model równań różniczkowych jest matematycznym modelem układów sterowania w dziedzinie czasu. Wykonaj poniższe kroki dla modelu z równaniami różniczkowymi.
Zastosuj podstawowe prawa do danego systemu sterowania.
Uzyskaj równanie różniczkowe w zakresie danych wejściowych i wyjściowych, eliminując zmienną pośrednią.
Przykład
Rozważ następujący układ elektryczny, jak pokazano na poniższym rysunku. Ten obwód składa się z rezystora, cewki i kondensatora. Wszystkie te elementy elektryczne są podłączoneseries. Napięcie wejściowe przyłożone do tego obwodu wynosi $ v_i $, a napięcie na kondensatorze to napięcie wyjściowe $ v_o $.
Równanie siatki dla tego obwodu to
$$ v_i = Ri + L \ frac {\ text {d} i} {\ text {d} t} + v_o $$
Zastąp prąd przepływający przez kondensator $ i = c \ frac {\ text {d} v_o} {\ text {d} t} $ w powyższym równaniu.
$$ \ Rightarrow \: v_i = RC \ frac {\ text {d} v_o} {\ text {d} t} + LC \ frac {\ text {d} ^ 2v_o} {\ text {d} t ^ 2} + v_o $$
$$ \ Rightarrow \ frac {\ text {d} ^ 2v_o} {\ text {d} t ^ 2} + \ left (\ frac {R} {L} \ right) \ frac {\ text {d} v_o} {\ text {d} t} + \ left (\ frac {1} {LC} \ right) v_o = \ left (\ frac {1} {LC} \ right) v_i $$
Powyższe równanie jest drugiego rzędu differential equation.
Model funkcji transferu
Model funkcji transferowej jest matematycznym modelem systemów sterowania w dziedzinie s. PlikTransfer function systemu liniowego niezmiennego w czasie (LTI) jest definiowany jako stosunek transformaty Laplace'a wyjścia i transformaty Laplace'a wejścia przy założeniu, że wszystkie warunki początkowe są zerowe.
Jeśli $ x (t) $ i $ y (t) $ są wejściem i wyjściem systemu LTI, to odpowiadające im transformacje Laplace'a to $ X (s) $ i $ Y (s) $.
Dlatego funkcja transferu systemu LTI jest równa stosunkowi $ Y (s) $ do $ X (s) $.
$$ ie, \: Transfer \: Function = \ frac {Y (s)} {X (s)} $$
Model funkcji transferu systemu LTI przedstawiono na poniższym rysunku.
Tutaj przedstawiliśmy system LTI z blokiem z funkcją transferu. Ten blok ma wejście $ X (s) $ i wyjście $ Y (s) $.
Przykład
Wcześniej otrzymaliśmy równanie różniczkowe układu elektrycznego jako
$$ \ frac {\ text {d} ^ 2v_o} {\ text {d} t ^ 2} + \ left (\ frac {R} {L} \ right) \ frac {\ text {d} v_o} {\ tekst {d} t} + \ left (\ frac {1} {LC} \ right) v_o = \ left (\ frac {1} {LC} \ right) v_i $$
Zastosuj transformatę Laplace'a po obu stronach.
$$ s ^ 2V_o (s) + \ left (\ frac {sR} {L} \ right) V_o (s) + \ left (\ frac {1} {LC} \ right) V_o (s) = \ left ( \ frac {1} {LC} \ right) V_i (s) $$
$$ \ Rightarrow \ left \ {s ^ 2 + \ left (\ frac {R} {L} \ right) s + \ frac {1} {LC} \ right \} V_o (s) = \ left (\ frac { 1} {LC} \ right) V_i (s) $$
$$ \ Rightarrow \ frac {V_o (s)} {V_i (s)} = \ frac {\ frac {1} {LC}} {s ^ 2 + \ left (\ frac {R} {L} \ right) s + \ frac {1} {LC}} $$
Gdzie,
$ v_i (s) $ to transformata Laplace'a napięcia wejściowego $ v_i $
$ v_o (s) $ to transformata Laplace'a napięcia wyjściowego $ v_o $
Powyższe równanie to transfer functioninstalacji elektrycznej drugiego rzędu. Model funkcji przenoszenia tego systemu przedstawiono poniżej.
Tutaj pokazujemy układ elektryczny drugiego rzędu z blokiem mającym wewnątrz funkcję przenoszenia. I ten blok ma wejście $ V_i (s) $ i wyjście $ V_o (s) $.